数学-湖南长沙雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考（三）带答案

C本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数x=1-i(i为虚数单位),z是z的共轭复数，则的值为2.设全集U=R,A={x|y=√2x-x²},B={y|y=2,x∈R},则([vA)A.{x|x<0B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数(一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数)的和，如30=7+23,6=3+3,在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是取值范围是则a,b,c的大小关系是A.a<b<(B数学试题(雅礼版)第1页(共8页)8.已知函数的零点分别为x₁,xz,…,xn,(n∈8.已知函数二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X服从正态分布N(100,10²),则下列选项正确的是0.6827,P(μ-2o≤s≤μ+2o)≈0.9545,P(μ-3o≤E≤A.E(X)=100B.D(X)=1010.下列说法正确的是A.若不等式ax²+2x+c<0的解集为{x|x<-1或x>2},B.若命题p:Vx∈(0,+～),x-1>lnx,则p的否定为：3x∈(0,D.若mx²+3x+2m<0对Vm∈[0,1]恒成立，则实数x的取值范围为的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来白,再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数g(x)的图A.B.函数g(x)的解析式为C.D.函数g(x)在区间上单调递增12.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA⊥平面ABC,PA=8,AB⊥AC,AB=AC=4,点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运,,,,则下列结论正确的是A.过点D作球的截面，截面的面积最小为4πB.过点D作球的截面，截面的面积最大为24πC.点Q的轨迹长为4a+4βD.点Q的轨迹长为4α+8β题号123456789得分答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据2,4,6,8,10,12,13,15,16,18的第70百分位数为的展开式中第4项是常数项，则7”除以9的余数为16.已知函数f(x)的定义域为[0,+~],且函数在区间[0,a]内的所有零点为x;(i=1,2,3,…,n).;,则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时17.(本小题满分10分)半径为R的圆内接△ABC,AB=√3R,∠ACB为锐角.(2)若∠ACB的平分线交AB于点D,CD=2,AD=2DB,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和(2)设b₁=(an+1)·2°,求数列{b,}的前n项和T.19.(本小题满分12分)CD=2AB=2EF=4,M为DF的中点.现将四边形BEFC沿EF折(2)求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)(2)是否存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立.21.(本小题满分12分)某梯级共20级，某人上梯级(从0级梯级开始向上走)每步可跨一级或概率为P,.(1)求他上到第10级的概率P₀(结果用指数形式表示);(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望.22.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率)其左、右焦点分别为 标原点).(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A,B两点，在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过点M?若存在，求出数学参考答案题号123456789答案BDDCCBAA4.C【解析】不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23共9个，中位数为11,任取两个数含有11的概率为p,,故选C.A.8.A【解析】由)为其中一个零点.,(0)0,今,所以f(x)共有三个零点,所以f(x)共有三个零点,故选A.9.AC【解析】∵随机变量X服从正态分布N(100,10²),∴正态曲线关于直线X=100对称，且EP(X≤120)与P(X≥90)不关于直线X=100对称，故D错误.故选AC.10.AD【解析】对于A,不等式ax²+2x+c<0解集为{x|x<-1或x>2},则方程ax²+2x+c=0的两根为则a=-2,c=4,所以a+c=2,故A正确；对于B,全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B不正确；对于C,sinA+cosA=sinB+cosB→2sinA·cosA=2sinB·cosB→sin2A=sin2B,又0<2A+2B<2π,所以或A=B,显然数学参考答案(雅礼版)—1,,的图象，再将所得图象向右平移12.ABD【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以AB,AC,AP为邻边的长方体的外接取BC的中点O₁,∴O₁为△ABC的外接圆圆心，∴OO₁⊥平面ABC,如图.此时截面圆的半径为r=√R²-OD²=2,∴最小截面面积为πr²=4π,A对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR²=24π,B对；公众号：数学北极星段弧圆心角为α,两段弧圆心角为β,弧长为(a+2β)×4=4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14.|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|因第4项为常数项，所以当r=3时，,所以n=18,则7l⁸=(9-2)l8,而2l⁸=8⁶=(9-1)⁶,1除9的余数为1,所以7"被9除余1.16.(7,9)【解析】函数g(x)=f(x)-2的零点转化为y=f(x)与的交点的横坐标，作出函数f(x)和)的图象可知，x₁=1,x₂=3,x₃=5,x₄=7,…,若则n=4,所以实数a的取值四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.数学参考答案(雅礼版)—210分令n=1,,所以a₁a₂=3.①……………令n=2,,所以a₂ag=15.②………………4分(2)由(1)知b=2n·22n-1=n·4”,两式相减，得-3T,=4¹+4²+…+4”-n·4"+1又MCC平面DCF,∴EF⊥MC.…………………5分(2)∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且DF⊥EF,DFC平面AEFD,∴DF⊥CF,∴DF,CF,EF两两垂直.设平面MAB,平面ABD的法向量分别为m=(x₁,yi,z₁),n=(xz,yz,z₂).取x₁=1,则m=(1,1,0)为平面MAB的一个法向量.………9分∴平面MAB与平面DAB夹角的余弦值可知g(x)在(0,+~)上单调递减，又g(1)=1>0,g(2)=In2-1<0,所以方程g(x)=0有且仅有一个根，即函数y=f(x)-x有且只有1个零点.……………4分数学参考答案(雅礼版)—3所以函数H(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+0)上单调递减，……………10分则恒成立，所以函数h(x)在(0,+～)上单调递减，又x→+%,h(x)→0,所以不可能存在正实数k,使得恒成立.………………12分,.………………………6分(2)由(1)知此人上到第5级的概率为,………8分X的可能取值