矩阵线性方程组

第二章线性方程组的解

高斯消元法通知：11月15日的课换到11月5日上午上课时间不变，地址：东2-201教室；下午上课时间不变，地址：东2-103教室我们以往求解方程组，方程个数与未知量的个数总相等，但实际问题中，两者不一定相等。求解方程组的方法通常是消元法，即高斯消元法。求解过程中，实际上利用了三种行初等变换，并且总是详细地写出方程组。行初等变换保证了方程组总是同解的，但每一步都详细地写出方程组则是不必要的。早在汉朝的《九章算术》实际上就用了增广矩阵初等变换法，这正是本章要论述的。下面我们讨论一般线性方程组.n个未知量的线性方程组的一般形式为：其中未知量第i个方程第j个未知量xj的系数常数项全为0齐次线性方程组否则为非齐次线性方程组上述线性方程组表示成矩阵形式为系数矩阵未知量列向量常数项列向量问题：(1)方程组是否有解?(2)如果有解,它有多少解?如何求出它的所有解?为增广矩阵

高斯消元法就是对方程组作初等行变换,等价于上述矩阵方程左乘初等矩阵，由于

初等矩阵的可逆性，这是一个同解过程。

实际上是对增广矩阵作初等行变换的过程。例1解线性方程组解初等行变换

因此

例2解线性方程组解初等行变换以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1,x3的一组值,而x2可取任意实数,所以方程组有无数解.自由未知量那么这个解的几何意义是什么呢？每一个方程都表示三维空间中的一张平面，取两张平面的交集，就是一条直线。所以，方程组的解表示一条直线上的所有点，因此，解有无数个。方程组的所有解可表示为:自由未知量例3解线性方程组解初等行变换以为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为0=1这是一个矛盾方程,因此原方程组无解.

综上所述,线性方程组的解有三种可能的情况:唯一解,无解,无穷多解.

一般地，给出线性方程组Ax=b，用初等行变换和列互换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.r(A)=r其中思考题：为何列互换可以，但是其余的两种列变换却不可以？提示：1，从方程组的等价性考虑，作其余两种列变换是否改变了方程组；2，作列互换的时候，方程组形式上发生了改变，但是本质上没有发生变化。不过需要注意什么？1，当dr+1=0且r=n时，此时，不失一般性，未知量编号仍按原次序，则方程组有以下唯一解：此时，易写出与之对应的方程组。不过由于进行了列互换，对应方程组中的未知量编号次序会有差别，但方程组仍然同解。显然，方程组有解当且仅当

r(A)=r()

。下分几种情况讨论.r(A)=r()=n。2，若dr+1=0,且r＜n时,此时对应的方程组为＜n

移项可得

其中是自由未知量,共有(n-r)个,当这(n-r)个自由未知量取不同的值时,就得到方程组Ax=b

不同的解.若令其中为任意实数,则方程组Ax=b

有无穷多解,这些解的全体，即通解可表为.此时，

综上,可得如下定理(线性方程组有解的判定定理)线性方程组Ax=b有解的充要条件是当＜n时,方程组有无穷多解;当＝n时,方程组有唯一解;当时，无解.3，若dr+1≠0,方程组中出现矛盾，故无解。推论1齐次线性方程组Ax=0一定有零解;如果r(A)=n,则只有零解;它有非零解的充分必要条件是r(A)＜n.

推论2若齐次线性方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个数,即m＜n

,则它必有非零解;若m=n,则它有非零解的充要条件是|A|=0.例4解齐次线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:r2-2r1r3-r1r3-r2r2÷

(-3)

r1-2r2由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由此可得x3,x4为自由未知量,可取任意实数.令x3=c1,,x4=c2,写成向量形式为：例5解齐次线性方程组解对增广矩阵A施行初等行变换r2-3r1r3-2r1r3-r2r(A)=2,r(B)=3,故方程组无解.例6设有线性方程组问λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解(1)当λ≠0且λ≠3时,r(A)=r(B)=3,有唯一解.(2)当λ=0时,r(A)=1,r(B)=2,方程组无解.(3)当λ=-3时,r(A)=r(B)=2＜3,有无穷多解.当λ=-3时由此可得通解(x3为自由未知量)注本例中矩阵A是一个含参数的矩阵,由于λ+1,λ+3

等因子可以等于0,故不宜做诸如这样的变换.如果作了这种变换,则需对λ+1=0(或λ+3=0