2025届新高考数学精准冲刺复习立体几何接、切、截及轨迹问题

2025届新高考数学精准冲刺复习立体几何接、切、截及轨迹问题

考点梳理考情回顾高考预测截面问题2023新高考Ⅱ卷第14题热点：考查球的接、切

问题，研究截面、探求

轨迹问题，以选择题，

填空题的形式呈现.球的接、切问题2023新高考Ⅰ卷第12题2022新高考Ⅰ卷第8题2022新高考Ⅱ卷第7题

A.100πB.128πC.144πD.192πA2.（2022·全国乙卷）已知球

O

的半径为1，四棱锥的顶点为

O

，底面的

四个顶点均在球

O

的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

（

C

）C3.（2023·全国甲卷）在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝4，

O

为

AC

1的中点.若该正方体的棱与球

O

的球面有公共点，则球

O

的半径的取

值范围是

⁠.

1.“截面、交线”问题，一是与解三角形、多边形的面积、扇形的弧长

与面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.2.空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点，也是高考命题的热

点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球

问题，利用等体积法求内切球的半径.3.“轨迹”问题，添加了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的

立体几何题赋予了活力，题型新颖，将立体几何问题与平面几何中的解

三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立联系，使得它

们之间灵活转化.

热点1

截面问题[典例设计]例1（1）

（多选）如图，正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为2，

E

为

A

1

D

1的中点，

F

为

CC

1上的一个动点，设由点

A

，

E

，

F

构成的平面

为α，则下列说法中，正确的是（

BCD

）A.平面α截正方体的截面可能为三角形B.当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形答案：BCD

总结提炼

作几何体截面的方法（1）

利用平行直线找截面；（2）

利用相交直线找截面.[对点训练]1.（多选）（2022·江苏六校联考）如图，直四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1

的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，

E

，

F

分别是

AB

，

BC

的中

点，过点

D

1，

E

，

F

的平面记为α，则下列说法中，正确的是（

BC

）A.平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25BC123456789101112131415161718192021222324

2.（2022·芜湖模拟）已知正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的所有棱长均为2，

D

为棱

AB

的中点，则过点

D

的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的

取值范围是

⁠.解：如图，设正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的上、下底面的外接圆圆心分别为点

O

1，

O

2，连接

O

1

O

2，取

O

1

O

2的中点

O

，则点

O

为正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的外接球的球心.连接

AO

2，

AO

，

OD

.

设正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的外接球的半径为

R

.

热点2

球的接、切问题[典例设计]例2

（2022·保定模拟）已知在三棱锥

P

－

ABC

中，

PA

⊥平面

ABC

，

∠

BAC

＝120°，

PA

＝

AB

＝

AC

＝2，则该三棱锥外接球的表面积为

（

C

）A.12πB.16πC.20πD.24πC解：因为

PA

⊥平面

ABC

，所以把三棱锥

P

－

ABC

补成直三棱柱

PB

'

C

'

－

ABC

，如图，三棱锥

P

－

ABC

与直三棱柱

PB

'

C

'－

ABC

的外接球是同

一个球.设点

E

，

F

分别为上、下底面三角形的外心，连接

EF

，取

EF

的

中点

O

，则点

O

为直三棱柱

PB

'

C

'－

ABC

的外接球的球心.连接

AF

，

AO

.

总结提炼

求空间几何体的外接球半径的常用方法（1）

模型法：把几何体嵌入长方体中，使几何体的顶点和长方体的若

干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球重合，长方体外

接球的半径就是几何体外接球的半径.如果已知图形中有多个垂直关

系，那么便可以考虑用此种方法.（2）

解三角形法：找到球心

O

和截面圆的圆心

O

'，找到

OO

'、球的

半径

OA

、截面圆的半径

O

'

A

，确定Rt△

OO

'

A

，解Rt△

OO

'

A

，得到

球的半径

OA

.

6π

[典例设计]

D

（2）

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的内切球的体积

为

.

总结提炼

解决空间几何体的内切球问题的常用方法（1）

等体积法：以三棱锥为例，利用内切球的球心与四个顶点的连线

分割成的四个小三棱锥的体积之和与原三棱锥的体积相等求解.（2）

截面法：处理旋转体的内切球问题时，利用轴截面，将原问题转

化为平面几何图形的内切圆问题求解.[对点训练]5.（2022·西安模拟）六氟化硫，化学式为SF6，在常温常压下是一种无

色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面

具有广泛用途.如图，六氟化硫的分子结构为正八面体结构（正八面体

的每个面都是正三角形）.若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表

面积为（

C

）C

热点3

轨迹问题[典例设计]例4（1）

（多选）在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

是棱

AD

的中

点，

AA

1＝

AD

＝4，

AB

＝5，点

P

在侧面

BCC

1

B

1上（包括边界）运

动，则下列说法中，正确的是（

ACD

）A.直线MP与直线DD1所成角的最大度数为90°B.若∠D1MP＝60°，则点P的轨迹为椭圆C.不存在点P，使得AC∥平面D1PMACD

总结提炼

空间几何体表面的动点问题（1）

定性分析动点的轨迹多利用几何法.（2）

定量计算与动点的轨迹可利用空间向量法，一般步骤是：①

观察图