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文档简介

2025届新高考数学精准冲刺复习数形结合思想

数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相

互转化来解决数学问题的思想.“数缺形时少直观,形少数时难入

微”,因此,数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)

“以形助

数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象

思维,揭示数学问题的本质;(2)

“以数定形”,把直观图形数量

化,使形更加精确.运用数形结合的思想解决问题时,要注意以下两个方面:(1)

定要准确把握有关函数与图象、方程与曲线、几何图形,否则极易导致

错误的结果;(2)

既要关注数,也要关注形,还要关注性,即数学问

题的本质特征.

1.(2023·四省适应性考试)已知平面向量

a

b

互相垂直,

a

=(6,-

8),|

b

|=5,且

b

与向量(1,0)的夹角是钝角,则

b

等于(

D

)A.(-3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.(-4,-3)D

C3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知

O

为坐标原点,点

P

1(cosα,sin

α),

P

2(cosβ,-sinβ),

P

3(cos(α+β),sin(α+β)),

A

(1,0),则下列式子正确的是(

AC

)AC4.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数

f

x

)=cosω

x

-1(ω>0)在区间

[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是

⁠.[2,3)

热点1

依性识图[典例设计]例1

(2023·岳阳模拟)函数

f

x

)=sin

x

a

cos

x

a

<0)在一个

周期内的图象可能是(

C

)ABCDC总结提炼

依据函数的解析式(代数性质)识别函数的图象特征(几何性

质)通常有如下五个维度的考量:(1)

根据函数的定义域,判断图象的左右位置;根据函数的值域,判

断图象的上下位置.(2)

根据函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)

根据函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)

根据函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)

根据特殊点处的函数值,排除不合适的图象.[对点训练]1.函数

f

x

)=(

x

2-2

x

)e

x

的图象大致是(

B

)ABCDB解:令

f

x

)=0,则

x

=0或

x

=2,排除选项AC.当

x

→-∞时,

f

x

)→0,排除选项D.故选B.热点2

以形助数[典例设计]例2

(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(

a

b

)可以作曲线

y

=e

x

的两条切

线,则下列各式正确的是(

D

)A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<eaD解:设点

P

的坐标为(

a

b

).画出函数

y

=e

x

的图象如图所示,由此

非常直观地就可以判定只有点

P

a

b

)在曲线

y

=e

x

的下方和

x

轴上

方时才可以作出两条切线.所以0<

b

<e

a

.故选D.总结提炼

根据函数的图象特征,借助几何直观往往是快速突破并解决问题

的有效方法.比纯代数方法更优越,解题成本更低、效率更高.[对点训练]2.若

x

a

为函数

f

x

)=

a

x

a

)2(

x

b

)的极大值点,

a

≠0,

则下列各式正确的是(

D

)A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2D解:若

a

b

,则

f

x

)=

a

x

a

)3为单调函数,无极值点,不符

合题意,故

a

b

.所以

f

x

)有

x

a

x

b

两个不同的零点,且

f

x

)在

x

a

左右不变号,在

x

b

左右变号.因为

x

a

为函数

f

x

a

x

a

)2(

x

b

)的极大值点,所以

f

x

)在

x

a

左右都是小

于零的.当

a

<0时,由

x

b

f

x

)≤0,画出函数

f

x

)的图象如

图①所示.由图可知,

b

a

<0,所以

ab

a

2.当

a

>0时,由

x

b

f

x

)>0,画出函数

f

x

)的图象如图②所示.由图可知,

b

a

>0,

所以

ab

a

2.综上所述,

ab

a

2一定成立.故选D.

A.4B.

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