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文档简介
2025届新高考数学精准冲刺复习数形结合思想
数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相
互转化来解决数学问题的思想.“数缺形时少直观,形少数时难入
微”,因此,数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)
“以形助
数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象
思维,揭示数学问题的本质;(2)
“以数定形”,把直观图形数量
化,使形更加精确.运用数形结合的思想解决问题时,要注意以下两个方面:(1)
一
定要准确把握有关函数与图象、方程与曲线、几何图形,否则极易导致
错误的结果;(2)
既要关注数,也要关注形,还要关注性,即数学问
题的本质特征.
1.(2023·四省适应性考试)已知平面向量
a
与
b
互相垂直,
a
=(6,-
8),|
b
|=5,且
b
与向量(1,0)的夹角是钝角,则
b
等于(
D
)A.(-3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.(-4,-3)D
C3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知
O
为坐标原点,点
P
1(cosα,sin
α),
P
2(cosβ,-sinβ),
P
3(cos(α+β),sin(α+β)),
A
(1,0),则下列式子正确的是(
AC
)AC4.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数
f
(
x
)=cosω
x
-1(ω>0)在区间
[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是
.[2,3)
热点1
依性识图[典例设计]例1
(2023·岳阳模拟)函数
f
(
x
)=sin
x
+
a
cos
x
(
a
<0)在一个
周期内的图象可能是(
C
)ABCDC总结提炼
依据函数的解析式(代数性质)识别函数的图象特征(几何性
质)通常有如下五个维度的考量:(1)
根据函数的定义域,判断图象的左右位置;根据函数的值域,判
断图象的上下位置.(2)
根据函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)
根据函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)
根据函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)
根据特殊点处的函数值,排除不合适的图象.[对点训练]1.函数
f
(
x
)=(
x
2-2
x
)e
x
的图象大致是(
B
)ABCDB解:令
f
(
x
)=0,则
x
=0或
x
=2,排除选项AC.当
x
→-∞时,
f
(
x
)→0,排除选项D.故选B.热点2
以形助数[典例设计]例2
(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(
a
,
b
)可以作曲线
y
=e
x
的两条切
线,则下列各式正确的是(
D
)A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<eaD解:设点
P
的坐标为(
a
,
b
).画出函数
y
=e
x
的图象如图所示,由此
非常直观地就可以判定只有点
P
(
a
,
b
)在曲线
y
=e
x
的下方和
x
轴上
方时才可以作出两条切线.所以0<
b
<e
a
.故选D.总结提炼
根据函数的图象特征,借助几何直观往往是快速突破并解决问题
的有效方法.比纯代数方法更优越,解题成本更低、效率更高.[对点训练]2.若
x
=
a
为函数
f
(
x
)=
a
(
x
-
a
)2(
x
-
b
)的极大值点,
a
≠0,
则下列各式正确的是(
D
)A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2D解:若
a
=
b
,则
f
(
x
)=
a
(
x
-
a
)3为单调函数,无极值点,不符
合题意,故
a
≠
b
.所以
f
(
x
)有
x
=
a
和
x
=
b
两个不同的零点,且
f
(
x
)在
x
=
a
左右不变号,在
x
=
b
左右变号.因为
x
=
a
为函数
f
(
x
)
=
a
(
x
-
a
)2(
x
-
b
)的极大值点,所以
f
(
x
)在
x
=
a
左右都是小
于零的.当
a
<0时,由
x
>
b
,
f
(
x
)≤0,画出函数
f
(
x
)的图象如
图①所示.由图可知,
b
<
a
<0,所以
ab
>
a
2.当
a
>0时,由
x
>
b
,
f
(
x
)>0,画出函数
f
(
x
)的图象如图②所示.由图可知,
b
>
a
>0,
所以
ab
>
a
2.综上所述,
ab
>
a
2一定成立.故选D.
A.4B.
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