期初专题复习六(方程与不等式应用题专项训练)(含答案)

二元一次方程组与一元一次不等式〔组〕应用题专项训练第一局部、二元一次方程组指导【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：〔1〕审：通过审题，找出能够表示题意两个相等关系；〔2〕设：把实际问题抽象成数学问题，分析数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；〔3〕列：根据审题得到的两个相等关系列出方程，进而列出方程组；〔4〕解：解这个方程组，求出两个未知数的值；〔5〕答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的根底上，写出答案.一、数字问题例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，那么这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14．点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象此题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，那么打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组，解得，因此，此商品定价为200元．点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率〔盈利百分数〕．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．三、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，那么每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得，解之，得．故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．点评：产品配套是工厂生产中根本原那么之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：〔1〕“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即；〔2〕“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：．四、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？分析：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，那么，整理，得，解得，因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．五、货运问题例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，那么，整理，得，解得，因此，甲、乙两重货物应各装150吨．点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．六、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改良了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得，解得.点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个根本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．第二局部、一元一次不等式〔组〕指导【知识链接】用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：题，找出不等关系；⑵设未知数；出不等式；⑷求出不等式的解集；出符合题意的值；作答。识别不等式〔组〕类应用题的几个标志，供解题时参考.一.以下情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.例1．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0.56元(“峰电”价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?分析：此题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过每月总电量的百分之几时,使用‘峰谷’电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1－x)＜0.53y.解得x＜89℅答：当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时，使用“峰谷”电合算．2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比拟隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．例2．周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2：3．⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比；⑵当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰Ａ处，且Ａ处离山顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远？⑶在题⑵所述内容〔除最后的问句外〕的根底上，设乙组从Ａ处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答〔要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有条件〕．解：⑴甲、乙两组行进速度之比为3：2．⑵设山腰离山顶的路程为x千米，依题意得方程为，解得x＝〔千米〕．经检验x＝是所列方程的解，答：山脚离山顶的路程为千米．⑶可提问题：“问B处离山顶的路程小于多少千米？”再解答如下：设B处离山顶的路程为ｍ千米〔ｍ＞0〕甲、乙两组速度分别为3k千米／时，2k千米／时〔k＞0〕依题意得＜，解得ｍ＜0.72(千米).答:B处离山顶的路程小于0.72千米.说明:此题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇”去突破,假设注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:乙组从A处走到B处所用的时间比甲组从山顶下到B处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.二.以下情况列一元一次不等式组解应用题1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系表达出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.例3.服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现方案用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元.假设设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?分析:此题存在的两个不等量关系是:①合计生产M、N型号的服装所需A种布料不大于70米;②合计生产M、N型号的服装所需B种布料不大于52米.解:(1),即.依题意得解之,得40≤x≤44.∵x为整数,∴自变量x的取值范围是40,41,42,43,44.(2)略2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了假设干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,那么还余8本;如果前面每人送5本,那么最后一人得到的课外读物缺乏3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请答复以下问题:(1)用含x的代数式表示m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.分析:不等字眼“缺乏3本”即是说全部课外读物减去5(x－1)本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.解:(1)m=3x+8(2)由题意,得∴不等式组的解集是:5<x≤∵x为正整数,∴x=6.把x=6代入m=3x+8,得m=26.答:略例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),到达或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(缺乏1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?分析:此题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“缺乏1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+1.2(x-5)来进行的,而实际收费是取上限值来进行的.解:设从甲地到乙地的路程大约是x公里,依题意,得10+5×1.2＜10+1.2(x-5)≤17.2解得10＜x≤11答:从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里.一元一次不等式〔组〕题型分类一、积分问题例1、某次数学测验共20道题〔总分值100分〕。评分方法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？分析：因为总共有20道题，一道未答，那么总共答了19道题。

解：设答对X道，那么答错〔19-X〕道题。根据题意得：

5X-2(19-X)≥60

7X≥98

X≥14

答：至少答对14题及格。二、比拟问题例2、暑假期间，两名家长方案带着假设干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。这两位家长应该怎样选择旅行社？解：设有X名学生去旅游。

当甲旅行社收费高于乙旅行社时：500×2+0.7×500X>0.8×500〔X+2〕，X<4当甲旅行社收费等于乙旅行社时：500×2+0.7×500X=0.8×500〔X+2〕，X＝4当甲旅行社收费小于乙旅行社时：500×2+0.7×500X<0.8×500〔X+2〕，解得X>4

答：当学生人数少于4人时，乙旅行社廉价；当学生人数等于4人时，甲乙旅行社一样廉价；当学生人数大于4人时，甲旅行社廉价。三、行程问题例3、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？解：设后半小时的速度至少为x千米/小时

50+〔1-1/2〕x≥120

50+1/2x≥120

1/2x≥70

x≥140

答：后半小时的速度至少是140千米/小时。拓展：爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的平安地区，导火索至少需要多长？假设导火索长为X厘米

人要跑100米，速度为5m/s，那么人就要跑100/2=20秒，

导火索长为xcm，速度为0.8cm/s，那么导火索燃烧的时间就是X/0.8秒

导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会平安，就是：≥20∴x≥16四、车费问题例4、出租汽车起价是10元(即行驶路程在不超过5km以内需付10元车费),超过5km后,每增加1km加价1.2元(缺乏1km局部按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少km?解：设甲地到乙地的路程大约是xkm,

据题意,得17.2－1.2<10+1.2(x-5)≤17.2,

解之,得10<x≤11

答：从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km.仿练：某种出租车的收费标准是：起步价7元〔即行驶距离不超过3km都需要7元车费〕，超过3km，每增加1km，加收2.4元〔缺乏1km按1km计〕。某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km？解：设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm，据题意,得19-2.4＜7+2.4〔x-3〕≤19

解之,得7＜x≤8

答：此人从甲地到乙地经过的路程是7—8km〔不含7千米，含8千米〕。五、工程问题例5、用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？解：设B型抽水机每分钟抽x吨水，那么：≤x≤0.4≤x-1.1≤0.55答：B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽0.4至0.55吨水六、增减问题例6、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？设最多可挂重物为mkg，那么0.5m≤30-20m≤20(kg)

答：弹簧所挂物体的最大质量是20kg七、销售问题例7、水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？解：设按原价的x折出售

得：1000××10+1000××10×≥7×1000+2000

解得：x≥8

答：余下的水果至少按原定价的八折出售。八、数字问题例8、有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，这个两位数大于20且小于40，求这个两位数分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40

解法:设十位上的数为x,那么个位上的数为(x+2),原两位数为10x+(x+2),

由题意可得：20<10x+(x+2)<40,

解这个不等式得，1<x<3,

∵x为正整数，∴1<x<3的整数为x=2或x=3，

∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,

当x=3时，∴10x+(x+2)=35,

答：这个两位数为24或35

九、方案选择与设计原料维生素C及价格甲种原料乙种原料维生素C/〔单位/千克〕600100原料价格/〔元/千克〕84例9、某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购置这两种原料的价格如下表：现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购置甲、乙两种原料的费用不超过72元，〔1〕设需用千克甲种原料，写出应满足的不等式组。〔2〕假设按上述条件购置甲种原料的质量为整数，有几种购置方案？请写出购置方案．解：〔1〕；〔2〕解不等式组得：∴整数为7、8当＝7时，10－＝3，当＝8时，10－＝2答：有两种购置方案：方案一：甲种原料为7kg，乙种原料为3kg；方案二：甲种原料为8kg，乙种原料为2kg．例10、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校方案租用甲、乙两种汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．〔1〕设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；〔2〕如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案解：〔1〕设租用甲种汽车x辆，那么租用乙种汽车〔8-x〕辆，由题意得：解得：5≤x≤6．∴整数为5、6当＝5时，8－＝3，当＝6时，8－＝2答：共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．〔2〕方法一：第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800=15400元；第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800=15600元．15400＜15600答：第一种租车方案——租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；更省费用．方法二：设租用甲种汽车x辆，总费用为W那么W＝2000x+1800〔8－x〕＝200x+14400∴W随x的增大百增大，∴x＝5时费用最少答：选择租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；更省费用．例11、某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元．乙商品每件进价35元，售价45元．〔1〕假设该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？〔2〕该商场为使甲、乙两种商品共100件的利润不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案．分析：此题第一问中两种商品进货价恰好用去2700元，所以可以列方程直接解出．但是第二问中的利润给的是一个范围，我们只能列不等式组，找出它们的公共局部〔即解集〕，再分析其全部的方案．解：〔1〕设该商场能购进甲种商品x件，那么购进乙商品〔100－x〕件．由题意得：15x+35(100－x)=2700x=40〔件〕100－x＝60〔件〕〔2〕设该商场购进甲商品a件，那么购进乙商品〔100－a〕件．由题意得：〔〔不等式可列为〕解这个不等式组得：48≤a≤50∵a是正整数，∴a的取值可以取48、49、50三种情况．当a＝48时，100－a＝52，当a＝49时，100－a＝51，当a＝50时，100－a＝50答：进货方案有三种：方案1：购进甲商品48件，乙商品52件方案2：购进甲ZYB高温齿轮油泵商品49件，乙商品51件方案3：购进甲商品50件，乙商品50件第三局部、作业稳固1．是方程的解，那么的值是〔〕A．2B．C．1D．2．不等式x－2＜0的正整数解是()A．1B．0，1C．1，2D．0，1，2-1013．--101-101-1-101-101A．B．C．D．4．以下方程组中，属于二元一次方程组的是〔〕A．B． C． D．