2024届河北省石家庄外国语教育集团数学九年级上册期末经典试题含解析

2024届河北省石家庄外国语教育集团数学九上期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.已知函数y=A是的图像过点（—2,3）,则人的值为（）

X

A.-2B.3C.-6D.6

2.抛物线y=3Y向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A.y=3（Λ-I）2-2B.y=3（x+l）2—2C.γ=3（x+l）2+2D.y=3（x-l）2÷2

3.如图，向量OA与OB均为单位向量，且OALOB,令n=OA+OB，则归1=（）

）B。

A.1B.√2C.√3D.2

4.如图，在ΔA8C中，NC43=65。，将AABC在平面内绕点A旋转到ΔΛB'C'的位置，^CC'//AB,则旋转角

5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2,AC=3√^米，坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩

带相连.若AB=IO米，则旗杆BC的高度为（）

A.5米B.6米C.8米D.(3+√5)米

6.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在X轴上，AOAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将AOAB

按顺时针方向旋转60。，得到AOAB0那么点A，的坐标为（)

A.(-2,2百)B.(-2,4)C.(-2,2√2)D.(2,2√3)

7.二次根式J7≡T有意义的条件是（）

C.x≥lD.X=-I

8.如图，从一块直径为24Cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A,B,C都在圆周上，将剪

下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）

A.30CmB.2百CmC.6cmD.12Cm

1—rn

9.对于双曲线y=——，当x>0时,y随X的增大而减小,则m的取值范围为（）

X

A.m>0B.m>lC.m<0D.m<l

10.如图，四边形。钻。的顶点坐标分别为（0,0）,（2,0）,（4,4）,（-2,2）.如果四边形夕。与四边形。43。位似,

9

位似中心是原点，它的面积等于四边形OABC面积的一倍，那么点A',B',。的坐标可以是（）

4

A.A'(0,3),B'(6,6),C'(3,-3)B.A'(3,O),B'(6,6),C,(-3,3)

C.A'(O,3),B'(6,6),C,(-3,3)D.A'(3,()),5'(6,6),C'(3,-3)

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.如图，在aABC中，BC=12,BC上的高AH=8,矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC

上.设DE=X,矩形DEFG的面积为那么〉关于X的函数关系式是.(不需写出X的取值范围).

12.如图，已知AB是半圆O的直径，ZBAC=20o,D是弧Ae上任意一点，则ND的度数是

13.小明掷一枚硬币10次，有9次正面向上，当他掷第10次时，正面向上的概率是.

14.二次函数V=(X-L)(蛆-6加)(其中m>0),下列命题：①该图象过点(6,0)；②该二次函数顶点在第三象限；③当

m

x>3时，y随X的增大而增大；④若当x<n时，都有y随X的增大而减小，则〃43+J.正确的序号是.

15.如图，某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75。方向上，且该舰艇以每小时10海里的速度沿南偏东15。

方向航行，U小时到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东75。方向上，则B处到灯塔C的距离为海里.

16.在平面直角坐标系中，点。为原点，抛物线y=-f—2x+c与>'轴交于点尸，以OP为一边向左作正方形OPBC,

点A为抛物线的顶点，当AABP是锐角三角形时，C的取值范围是.

17.如图，在心△。钻置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4),点8的坐标为(3,0),点P是mAQ4B内切圆

的圆心.将RrB沿X轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与X轴重合，第一次滚动后圆心为片，第二次滚

动后圆心为鸟，…，依此规律，第2020次滚动后，Hr△。钻内切圆的圆心go2。的坐标是

18.一组数据6,2,-1,5的极差为.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，CE是NDCB的角平分线，且交AB于点E,DB与CE相交于点0,

(1)求证：AEBC是等腰三角形；

20.(6分)根据学习函数的经验，探究函数y=x2+αx-4(x+"+4(⅛<0)的图象和性质:

(1)下表给出了部分X,y的取值；

XL-2-1012345L

3

yL30-1030-103L

由上表可知，α=,b=；

(2)用你喜欢的方式在坐标系中画出函数P=/+.*-4∖x+h∖+4的图象；

(3)结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；

(4)若方程x2+αx-4∣x+b∣+4=x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出,"的取值范围.

21.（6分）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录,

小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线段），日销售量y（单位：千克）与上市时间X（单位:

天）的函数关系如图1所示，草莓的销售价P（单位：元/千克）与上市时间X（单位：天）的函数关系如图2所示设

第X天的日销售额为W（单位：元）

图2

(1)第11天的日销售额W为..元;

观察图象，求当16≤x≤20时，日销售额W与上市时间X之间的函数关系式及W的最大值;

（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15元，马叔叔到市场按照当

日的销售价P元千克将批发来的草莓全部售完，他在销售的过程中，草莓总质量损耗了2%.那么，马叔叔支付完来

回车费20元后，当天能赚到多少元?

22∙（8分）如图'直线y=”与双曲线y=5α>o）相交于点4且°A=√Σ,将直线向左平移一个单位后与双曲线

相交于点8,与X轴、y轴分别交于。、。两点.

（1）求直线BC的解析式及A的值；

（2）连结。8、AB，求A。LB的面积.

23.（8分）如图，AB.CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知45、CO在路灯光下的影长分别为

BM.DN,在图中作出EF的影长.

24.（8分）计算：I-Kl-A+2020°；

25.（10分）如图，在直角三角形48C中，ZC=90o,点。是AC边上一点，过点。作OEJLBO,交AB于点E,

14

若BO=I0,tanZABD=-,cosZDBC=-,求OC和48的长.

25

26.（10分）已知关于X的一元二次方程X?-（2k+l）x+k2+k=0

（1）求证：方程有两个不相等的实数根;

（2）若AABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为1.当△ABC是等腰三角形时，求k的

值

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【解析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解.

【详解】∙.∙反比例函数y=K的图象经过点（-2,3）,

X

Λk=-2×3=-l.

故选：C.

【点睛】

k

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=—(k为常数，k≠o)的图象是双曲线，图象上的点(χ,

X

y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

2、B

【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答.

【详解】解：抛物线y=3∕向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3(x+1)2-2,

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律.

3^B

【解析】根据向量的运算法则可得：|〃I=J(IQ1Od)=√Σ,故选B.

4,D

【分析】根据旋转的性质得出ABC^AB'C',利用全等三角形的性质和平行线的性质得出

∕CC'A=/CCA=65°,即可得出答案.

【详解】根据题意可得ABC^,AB'C1

：./CAB=∕C'AB=650,AC=AC

又Cc〃AB

二/CAB=/CCA=65°

Λ∕CC'A=NCCA=65°

二XCAC=180。一∕CC'A-NCCA=50°

故答案选择D.

【点睛】

本题考查的是旋转和全等，难度适中，解题关键是根据图示找出旋转角.

5、A

【解析】试题分析：根据CD：AD=I:2,AC=36米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=IO米，ND=90。可得：

BD=√ΛB2-AD2=8米，贝IJBC=BD-CD=8-3=5米•

考点：直角三角形的勾股定理

6、A

【分析】作BCJ_x轴于C,如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=4,AC=OC=2,ZBOA=60o,则易得A点坐标

和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC=26,然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得

ZAOA,=ZBOB,=60o,OA=OB=OAf=OBS则点A，与点B重合，于是可得点A，的坐标.

【详解】解：作BCLX轴于C,如图，

VΔOAB是边长为4的等边三角形

ΛOA=OB=4,AC=OC=I,NBoA=60°,

...A点坐标为（-4,O）,O点坐标为（0,0）,

在RtABOe中，BC=√42-22=2√3，

,B点坐标为（-2,2√3）;

VΔOAB按顺时针方向旋转60°,得到AOA∙B∖

二ZAOA,=ZBOB,=60o,OA=OB=OAr=OBr,

.∙.点A，与点B重合，即点A，的坐标为（-2,2√3）»

故选：A.

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的

特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。，45。，60°,90°,180。；解决本题的关键是正确理

解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形.

7、C

【解析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求出X的取值范围即可.

【详解】Y二次根式。万有意义，

Λx-l>O,

Λx≥l,

故选：C.

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题

关键.

8、A

【分析】圆的半径为12,求出AB的长度，用弧长公式可求得BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π.

BC24=12夜cm,

【详解】AB=√τ√τ

BC=也也1=6而

180

.∙.圆锥的底面圆的半径=6j∑τr÷（2π）=3λ∕2cm.

故选A.

【点睛】

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆

锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆

是解题的关键.

9、D

【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的

一元一次不等式，解不等式即可得出结论.

1—rn

【详解】∙.∙双曲线y=一~,当x>2时，y随X的增大而减小，

X

l-m>2,

解得：m<l.

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出l-m>2.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反

比例函数的单调性结合反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键.

10、B

【分析】根据位似图形的面积比得出相似比，然后根据各点的坐标确定其对应点的坐标即可.

9

【详解】解：•••四边形OABC与四边形O'A'B'C,关于点O位似，且四边形的面积等于四边形OABe面积的二，

4

.∙.四边形OABC与四边形O'A,B'C'的相似比为2:3,

Y点A,B,C分别的坐标(2,0),(4,4),(—2,2)),.•.点A',B',C'的坐标分别是(3,0),(6,6),(-3,3)或(-3,

0),(-6,-6),(3,-3).

故选：B.

【点睛】

本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比，注意有两种情况.

二、填空题（每小题3分,共24分）

3

11、y---x2+12x；

【分析】根据题意和三角形相似，可以用含X的代数式表示出OG,然后根据矩形面积公式，即可得到y与X的函数

关系式.

【详解】解：四边形OEPG是矩形，BC=n,BC上的高A"=8,Z）E=X,矩形DEFG的面积为N,

..DGHEF,

.∙.MDG^ΛABC,

8-xDG

二----=----,

812

得DG=3（8—X）,

2

3（8—x）32S

..y=X'---------=—X÷12x

229

故答案为：y=--x2+12x.

【点睛】

本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

12、IlO0

【解析】试题解析：∙.∙A8是半圆0的直径

:.ZACB=90.

.-.ZABC=90-20=70.

.∙.ZD=180-70=110.

故答案为110.

点睛：圆内接四边形的对角互补.

1

13、一.

2

【分析】根据概率的性质和概率公式即可求出，当他掷第10次时，正面向上的概率.

【详解】解：V掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现,

...她第10次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：

2

故答案为：ɪ.

2

【点睛】

本题考查了概率统计的问题，根据概率公式求解即可.

14、®®

【分析】先将函数解析式化成交点时后，可得对称轴表达式，及与X轴交点坐标，由此可以判断增减性.

【详解】解:

2+6

对称轴为X=Xl+∙¾=m=3+J_,

222m

①χ=∖∕2=6,故该函数图象经过（6,0）,故正确;

X=--(∙+1)=3+-L

②m>O,>3,

2m2m

该函数图象顶点不可能在第三象限，故错误;

③丫_再+电一机+6_1>3,则当x>3+，-时，y随着X的增大而增大，故此项错误;

ʌ—2—2—ɔɪ2m7/77

④当x<3+，-时，即w≤3+J,y随着X的增大而减小，故此项正确.

2m2m

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

15、20百

【分析】根据题意得出/ABC=90°,∕B4C=60°,据此即可求解.

【详解】根据题意：AB=2x1（）=20（海里）,

如图，根据题意:

NEB4=∕BM>=15°,

NEBC=NCAD=,

.∙.ZABC=ZEBA+ZEBC=150+75°=90°,

ZBAC=ZCAD-NBAD=75°—15°=60°,

BCBC

：,tan60°百,

AB20

ʌBC=20√3，

答：B处到灯塔C的距离为20后海里∙

故答案为：20√3∙

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现

了数学应用于实际生活的思想.

16、一2VCV-I或IVCV2

【分析】首先由抛物线解析式求出顶点A的坐标，然后再由对称轴可判定AAHP为等腰直角三角形，故当"8P是

锐角三角形时，IV忸HV2,即可得出C的取值范围.

【详解】∙.∙y=γ2一2χ+c

.∙.顶点A的坐标为(―l,c+l)

令PB与对称轴相交于点H,如图所示

.∙.PH=AH,即AAHp为等腰直角三角形

二当"BP是锐角三角形时，1VIBHV2,

ΛBP=OP,P(O,c)

二-2<c<-1或1<c<2

故答案为-2<c<-l或l<c<2.

【点睛】

此题主要考查二次函数图象与几何图形的综合运用，解题关键是找出临界点直角三角形，即可得出取值范围.

17、(8081,1)

【分析】由勾股定理得出AB=质赤=5'得出RSoAB内切圆的半径=F=L因此P的坐标为⑷1),

由题意得出P3的坐标(3+5+4+1,1),得出规律：每滚动3次一个循环，由2020÷3=673…1,即可得出结果.

【详解】解：•••点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),

ΛOA=4,OB=3,

22

ʌAB=√Q4+Ofi=5

3+4-5

ΛRtΔOAB内切圆的半径=-------=1,

2

.∙.P的坐标为(1,1),P2的坐标为(3+5+4-1,1),即(11,1)

V将RtAOAB沿X轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与X轴重合，第一次滚动后圆心为Pi,第二次滚动后圆

心为Pz,...»

设Pl的横坐标为X,根据切线长定理可得

5-(x-3)+3-(x-3)=4

解得：x=5

.∙.Pι的坐标为(3+2,1)即(5,1)

/.P3(3+5+4+1,1),即(13,1),

每滚动3次一个循环，

V2020÷3=673...1,

第2020次滚动后，RtAOAB内切圆的圆心P2020的横坐标是673x(3+5+4)+5,

即P2020的横坐标是8081,

.∙.P202()的坐标是(8081,1)；

故答案为：(8081,1).

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、坐标与图形性质等知识；根据题意得出规律是解题的关

键.

18、7

【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.

三、解答题(共66分)

19、（1）证明见解析（1）』

12

【解析】试题分析：（1）欲证明AEBC是等腰三角形，只需推知5C=5E即可，可以由N1=N3得到：BC=BEi

（D通过相似三角形ACOOS的对应边成比例得到J=J=一，然后利用分式的性质可以求得一=—.

EBOB5DB12

解：（I）：四边形ABCD是平行四边形，

.∙.CDIIAB,

.,.ZI=Z1.

,/CE平分NBCD,

.-.ZI=Z3,

ZI=Z3,

.-.BC=BE,

AEBC是等腰三角形；

（1）∙.∙ZI=Z1,Z4=Z5,

.∙.MCoDSΔEOB,

.CD_0D

"EB^0B,

•••平行四边形ABCD,

.∙.CD=AB=2.

∙.∙BE=BC=5,

,CD_pP_7

"EB"0B"5,

.0B__5_

"DB^T2'

点睛：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.在判定两个三角形相似时，

应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通

过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长.

20、（1）-1,-1；（1）详见解析；（3）函数关于X=I对称；（4）0<m<l.

【分析】（1）将点（0,0）、（1,3）代入函数y=χi+αx-4∣x+”+4,得到关于a、方的一元二次方程，解方程组即可求

得；

(1)描点法画图即可；

(3)根据图象即可得到函数关于x=l对称;

(4)结合图象找，当X=-I时，y=-1；当X=Ly=3；则当OV∕n<l时，方程χi+αx-4∣x+0∣+4=X+，”至少有3

个不同的实数解.

—4网+4=0

【详解】解：⑴将点(0,0)、(1,3)代入函数y=x∣+αx-41x+句+4(⅛<0),得<

l+α-4∣l+⅛∣+4=3

解得«=-1,b=-1,

故答案为-L-1;

(4)I'方程x∣+ar-4∣x+"+4=x+,"至少有3个不同的实数解

.∙.二次函数y=x'+αx-4∣x+⅛∣+4的图像与一次函数y=x+ιn至少有三个交点,

根据一次函数图像的变化趋势，

二当0<∕∕ι<l时，方程x∣+αx-4∣x+力∣+4=X+"?至少有3个不同的实数解，

故答案为0<,"<l.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

21、(1)1980；(2)w=-5(x-1)2+180,W有最大值是680元；(3)∏2元

【分析】(1)当3≤xV16时，设P与X的关系式为p=kx+b,当X=Il时，代入解析式求出P的值，由销售金额=

单价X数量就可以求出结论；

(2)根据两个图象求得两个一次函数解析式，进而根据销售问题的等量关系列出二次函数解析式即可；

(3)当χ=15时代入(2)的解析式求出P的值，再当x=15时代入(1)的解析式求出y的值，再由利润=销售总额

-进价总额-车费就可以得出结论.

【详解】解：(D当3≤x≤16时设P与X之间的函数关系式为p=kx+b

依题意得把(3,30),(16,17)代入,

[30=3⅛+Z?伙=—1

解得W

∖rl=∖6k+b6=33

P=-x+33

当X=U时，p=22

所以90×22=1980

答：第U天的日销售额W为1980元.

故答案为1980；

(2)当ll≤x≤20时设y与X之间的函数关系式为y=kιx+bι,

90=1Ul+b,

依题意得把(20,0),(11,90)代入得

0=20^1+⅛l

K=-10

解得

4=200

y=-10x+200

当16≤x≤20时设P与X之间的函数关系式为：p=k2x+b2

依题意得，把(16,17),(20,19)代入得

17=16⅛2+⅛2

19=20&j+b)

解得IQ=',b2=9:

2

1

..p=-x+9

2

w=py=(5x+9)(~10x+200)

=-5(χ-1)2+1805

:•当16<x<20时，w随X的增大而减小

.∙.当x=16时，W有最大值是680元.

(3)由(1)得当3≤x≤16时，p=-x+33

当x=15时，p=-15+33=18元，

y=-IOXI5+200=50千克

利润为：50(1-2%)×18-50×15-20=112%

答：当天能赚到112元.

【点睛】

此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是根据题意分别列出一次函数与二次函数求解.

22、(1)直线BC的解析式为y=x+1,k=li(2)2.

【解析】(1)根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，由直线y=X和OA=&即可求得A的坐标，然后代入双

k

曲线y=2(χ>O)求得A的值；

X

(2)作AE_Lx轴于E,B/Lx轴于尸，联立方程求得5点的坐标，然后根据

SgOB=S梯形AbB+SABOF~SsOE~S梯形AErB，求得即可.

【详解】解：(I)根据平移的性质，将直线y=X向左平移一个单位后得到y=X+1,

...直线BC的解析式为y=χ+i,

∙.∙直线y=x与双曲线y=A(χ>0)相交于点A,

X

ΛA点的横坐标和纵坐标相等，

,：0A=母,

.∙.A(l,l),

Z=IXl=I；

(2)作AE_Lx轴于E,BEJ_x轴于尸,

r1[-l+√5-I-√5

1X=-----------X=-----

y=——2

解∙X得/二或2

y=X+lyJ+∙y上B

I2r2

.1+ʌ/ʒ1÷ʌ/ʒ

・・D(----------,--------)，

22

*∙*SAAoB=S梯形AEFB+^ΛBOF-SMOE=S悌尤^AEFB9

■,SiM)B=S梯形AEFB

ɪ

7AOEX

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属

于中考常考题型.

23、详见解析.

【分析】连接