关于高等数学上册复习归纳

高等数学(上册)复习资料

-:函数的两个要素：定义域对应法则

1两个函数相同：(1)定义域相同(2)对应法则相同

至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。例如：

y=sinx-oo<x<+oo与”=sinf-8<f<+oo是同一个函数。

2函数的几种特性

⑴有界性y=/(x)x&D

如果存在实数左，使得,则称/(x)在。上有上界

11

如果存在实数4，使得/(x)NZ,则称/(x)在。上有下界。

21

有界：既有上界，又有下界。即存在实数攵,k使得攵<f(x)<k等价于存在

I22I

k>0,使得|/(x)|WkxeD

(2)单调性

若对区间/内任意两点x<x,都有/(x)KQ)/(x),则称y=/(x)在/内单调增加

1212

(减少)。

若将“<(2)”改成“<(>)”称为严格单调增加(减少)。

⑶奇偶性

设函数y=f(x)的定义域关于原点对称

如果/(—x)=/(x),则称/(X)为偶函数

如果/(-X)=-/([),则称果尤)为奇函数

(4)周期性

若f(x+/)=/(x)则称/(x)是以/为周期的函数

注：周期通常指的是它的最小正周期

3复合函数

设y=/(")的定义域为。,又"=g(x)的定义域为。，且g(£))u。,则函数

11

y=/[g(x)]xe。称为由函数"=g(x)和函数y=/(")构成的复合函数。”称为中间变

量，记为：(/g)(x)=.f[g(x)]

4基本初等函数：

(1)鬲函数y=xu(2)指数函数y=ax(a>O,awl)

⑶对数函数y=k>gx特例”=e,y=]nx

a

(4)三角函数y=sinx,y=cosx等

(5)反三角函数y=arcsinx,y=arccosx等

5初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可

以用一个式子表示的函数。

x+1x<0,,…,,

例：/(x)=两个式子，故不是初等函数

-%2+1%>0

6函数的极限

当X-8时，若/(X)无限地接近于某个确定的数A,则称A为/(x)当xf8时的极

限。记为lim/(x)=A

x-x»

重要结论：lim/(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=A

X-XX)XT+OCXT-00

lim/(x)=A的几何意义：

一、y=A是他的水平渐近线例如：lim1=0

XTOOX

二、limf(x)=Alim/(x)=B而A。8,则说明它有两条渐近线。例

x—>-<J0

兀71

如：limarctanx,y=—,y=--两条渐近线。

Xf8乙乙

当xfx时，如果/(x)无限地接近于某一确定的常数A,则称A为/(X)当XfX时的

00

极限。记为：Um/(x)=A

f

注：(1)〃x)在X。处的极限存在与否与/(X)在》=%处有无定义没有关系。因为

定义中没有要求》=》，只是X->X

00

(2)x趋近于x的方式是任意的。(即可以从左边，也可以从右边)

0

左极限：当x从左边趋近于X(记为时，则称A为/(x)当

00

Xfx时的左极限。记为：lim/(x)=A或/(x-)=A。

00

・f£

右极限：lim"x)=A

即左右极限存在且相等

若：/(x-)^/(x+)则lim/(x)不存在

7无穷小量

定义：以0为极限的变量称为无穷小(量)

定义：当x-x°(或x-8)时，对应的函数值的绝对值|/(x)|无限增大

注意无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大

无穷大的几何意义：

lim/(x)=s,直线x=x是函数y=/(x)图形的铅直渐近线(回忆水平渐近

f°

线

定理二：在自变量的同一变化过程中，如果/⑴为无穷大’则金)为无穷小；反

则焉为无穷大。

之,如果/(x)为无穷小，且/(无)*0

无穷小的性质：

定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小

定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论：(1)有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。

(有极限n有界)

(2)常数与无穷小量的乘积是无穷小

(3)有限个无穷小量的乘积也是无穷小

8无穷小的比较

定义：设a,B都是无穷小

(1)若limE=O,则称B是比a高阶的无穷小，记为：P=O(a)

a

(2)若limZ=8,则称B是比a低阶的无穷小

a

(3)若lim2=cw0,则称B与a是同阶无穷小

a

(4)若=则称B与a是等价无穷小，记为：a~0

a

最重要是等价无穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论

当X—>0时，sinx-x,tanx〜冗,In(l+x)-x,e(一l~x,arcsinx-xy

arctanx~九，VT+T-i-lx,1-COSX—X2,Qx-，(l+x)a-l〜a%

n2

注意其引申sinkx-kx,tan依~丘即上面的无穷小可换成其他无穷小

R

定理一：设&~8，P-P',且limL存在，贝

a

9函数的连续性

定义：设函数y=/(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

limAy=lim[/(%+Ax)-/(x)]=0,则称y=/(x)在点x处连续。

3…°°°

强调：Axf()包含Ax>0,Ax30；Ax<0,Ax30

|己：x+Ax=x,贝IJAy=f(x+Ax)—/(x)=/(x)-f(x)

0000

Av—>0相当于x—

o

△yf0相当于/%)

由此，我们得到连续的另一个等价定义

定义2:设y=/(x)在点x的某一邻域内有定义，如果lim/(x)=/(x),则称

00

fo

y=/(x)在点x处连续。

0

即：在X处的极限等于它在该点的函数值

0

与左、右极限相对应，也有左、右连续的概念

若limAy=0,即lim/(x)=/(x),则称/0)在点x处左连续

八00

Ar->0-xfXQ

若limAy=0,即lim/(x)=/(x),则称/(x)在点x处右连续

—工》,；。。

y=/(x)在点x处连续o左右都连续

0

即limf(x)=limf(x)=f(x)

ArfO-AvfO*

若函数y=/(x)在点处不连续，则称y=/(x)在点外处间断。%称为y=/(x)的间断

点。

(1)可去间断点

极限limf(x)存在，但y=f(x)在点外处无定义或y=/(x)在点七处有定义，但

o则称七为/(x)的可去间断点。

(2)跳跃间断点

若limf(x)与lim/(x)存在，但limf(x)limf(x)

XT婚.r->x+Xf%XT丐

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是左右极限都存

在。

第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。特点：是至少有一个单侧极限不存在。

常见的有无穷间断点。特点：至少有一个单侧极限为无穷大。

一切初等函数在其定义区间内是连续的

10函数的导数

定义：设函数y=/(x)在点x处的某个邻域U(x)内有定义，给x以增量Ax

000

(Ax*O,(x+Ax)eU(x)仍然在该邻域内)，希n竺=lim一存在。

°°©TOAx°AA

则称/(x)在/处可导。并称这个极限值为/(x)在\处的导数。记为：f'M,

,1df(x)dyf(x+Ax)-/(x)

y\,——即/(x)=hm——a------

x="odxdxAx—oA.V

关于导数的几点说明：

(1)导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化

的快慢程度。

(2)令x+Ax=x,当ArfO时xfx等价定义

00

/'(X)=lim"回一/您)或

°fx-x

00

(1)若定义中极限不存在，则称/(X)在%处不可导。在不可导中有一个特殊情

形。当limW=8,则称/(X)在X处的导数为无穷大。

(2)如果函数y=/(x)在开区间/内的每一点处都可导，就称函数y=/(x)在开区间

I内可导。

(3)对于任一个xe/,都对应着/(x)的一个确定的导数值，xf尸(幻。这个函

数叫做原来函数Ax)的导函数。记作：Vf'(x)半或驾

dxax

即LIM/(X+AX)-/(X)或

2r->0M

注：(1)导函数/'(X)简称为导数

⑵八…八刈

°三

(6)单侧导数

1、左导数

2、右导数

广。)存在0:(%)=广(%)

0-0+0

如果在开区间(。⑼内可导，且,⑸及都存在，就说在闭区间

(7)/(x)—f+(a)/(x)

上可导。

函数/(X)在点X。处的导数/'(%)的几何意义就是曲线y=fix)在对应点4%，北)处的切

线的斜率。

于是：曲线y=/(x)在点A*,y)处的切线方程可写成：

00

(1)/'(X)存在，则

0

切线方程：y-y=f'(x)(x-x)

00()

法线方程：y-y="?(x-x)

。f(x)。

0

⑵若/'(X)=8

0

切线方程：X=X

0

法线方程：y=y

0

定理：若f(x)在乙处可导。则/(X)在七处必连续

连续但不可导的例子：

y=国在x=0处

lim|x|=0=/(0)所以连续，但不可导

xfO

注：若不连续，则一定不可导

11函数的微分

定义：设函数y=/(x)在某区间内有定义，在x=x0处给自变量以增量效，如果相

应的函数的增量△)，总能表示为：Ay=AAr+o(Ar),其中A与以无关，o(Ax)是Ax的

高阶无穷小。则称函数y=/(x)在点七处可微。并称为/(x)在点x0处的微分。记

作：dy或df(x)即：办=AAxA称为微分系数。

定理：函数y=/(x)在处可微o函数y=/(x)在处可导

我们得到函数的可微性与可导性是等价的。(可微0可导)。

函数在x处的微分dy=f'{x}dx

12函数的不定积分

定义1设函数F(x)在某区间/上可导，且Vxe/有尸(x)^(x),则称F

(X)为函数/(X)在区间/上的一个原函数.

定理1设/(x)是f(x)在丽7二的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常

数)为/(x)的全体原函数.

定义设函数/(x)在区间/上有定义，称f(x)在区间/上的原函数的全

体为/(x)在/上的不定积分,记作J/(x)dr，其中记号“J”称为积分号，/

(x)称为被积函数，x称为积分变量.

定理1设尸(x)是f(x)在区间/上的一个原函数，则

Jf(x)dx=F(x)+C，

C为任意常数.

强调：c不能丢，F(x)仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。

通常，我们把/(X)在区间/上的原函数的图形称为/(幻的积分曲线，

不定积分的性质

(1)J［a/(x)+Bg(x)llx=aJ/(x)(ir+0Jg(x)dY，其中a,B为常数；

(2)色Jf(x)dx-f(x);

dx

(3)Jr(x)也于(x)+C,C为任意常数.

13函数的定积分

定义设函数/(x在区间［a,b~\上有界，今取〃+1个分点：

a-x<x<x<•<,<%,<x,<•••<%<x-by

oi2ni勺〃

将［a,b~\分成n个小区间［x.,x.］,其长度记为△,2,…，

〃)，并令人二maxk},

\<i<n1

若Lx.,x］(z-L2,n),极限

limZ/(1)△x

Jii

1。i=l

存在，且该极限值与对区间［a,bl的分划及S的取法无关，则称/(x)

在［a,bl上可积，且称该极限值为/(%)在［a,bl上的定积分，记为

“/⑴口，其中,/(尤)称为邀装眼数，》称为桂今褰量，a和人分别称为积分工

a

限和上限，［a,/?］称为积分区间，X/(".)△》,称为积分和.

/=1

注意：

(1)定积分是一个和式的极限，它是一个数。和式很复杂，区间的分法无穷

多，点的取法也无穷多。但是，极限与取法、分法无关。

(2)定积分由被积函数/(x)与积分区间川确定，与积分变量无关。即

ibf(x)dx=ibf(t)dt=\bfMdu。

aaa

⑶曲边梯形的面积AJ"(x)dx

a

(4)当被积函数在积分区间上恒等于1时，其积分值即为积分区间长度，

即r/(x)dx=ha-,

a

(5)可积条件

为方便起见，我们用R(［a,bl)表示区间［a,bl上所有可积函

数的集合，可以证明：

(1)若/(x)C(［a,b~\),则/(x)WR(［a,b~\)；

(2)若/(x)为［a,加上的单调有界函数，

则/(x)WR(la,bl)；

(3)若/(x)在[mb]上仅有有限个第一类间断点，

则/(x)七R([a,b~\).

定积分的几何意义：

(1)/(x)>0J"/(x)dx=S图

a

(2)/(x)<0J'"(x)dx=-S图

a

⑶/3)在L,川上有正有负图

\hf{x}dx=S-S+5面积的代数和

«123

总之，若/(x)GC(la,bl),则定积分卜/(x)dx的几何意义是表示由尤

a

轴、曲线、直线x=a与x=b所围成的各部分图形面积的代数和，其中位

于光轴上方的图形面积取正号，位于x轴下方的图形面积取负号.

定积分的性质

(1)当a=6时，

a

(2)当a时，J〃/(x)ck=J"/(x)cLt

ab

积分中值定理)设/(x)ec([a,b]),则m€e[a,b],使得

ihf(x)dx=f(€)(ba).

设/(x)GC([a,),F(x)是/(x)在[a,b]上的一个原函数，则

JVU)d^=F⑹F(a).

a

要掌握的具体内容：

如何求极限；

如何求导数与微分

如何求不定积分与定积分

导数和定积分的应用

一如何求极限

求极限的方法

(1)约去零因子法(适用于XfX时的?型)

(2)无穷小因子分出法(适用于xfoo时的三型)

00

当Xf00时有理分式的极限为

(3)有理化(适用于含有根式的极限)

(4)通分(适用于00-00型)

(5)利用两个重要极限

1第一个重要极限lim吧=1

A->0X

这个极限的特点：

⑴黑⑵小

0x

推广：lim,其中“(x)是x的该变化过程中的无穷小

某过程〃(1)

2第二个重要极限

lim(l+3，=e(e是无理数，e=2.71828)

X->00X

几种变形

有如下特点：

(1)b型

(2)加号上的量与肩膀上的量互为倒数

1

推广：若limi/(x)-oo,贝Ijlim1+=e

M(X)

若lim〃(x)=0,lim[1+〃(x)上晨=

(6)等价无穷小替换

当了一>0时，sinx-x,tanx~x,ln(l+x)-xarcsinx-x,

arctanx〜x,Vr+7-i~—x,1-cosx-—%2,ax-1-x\na,(l+x)a-l~ax

n2

注意其引申sinbr~hr,tankx~kx即上面的无穷小可换成其他无穷小

R

定理一：设&~。，p~P',且lim匕存在，贝IJ

a

强调：乘积时才用等价无穷小代替，在加减中不能代替

,即被替换的无穷小必须处于乘积因子位置

tan%—sinx

例：hm---------------

XTOsin犷

原式=lim二=0错在加减中不要替换

*->0月

(7)利用无穷小的性质(定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小)

(8)利用左右极限与极限的关系(适用于分段函数在分段点处的极限)

(9)连续性的定义(设连续函数y=/(x)在点*的某一邻域内有定义，贝IJ

limf(x)=f(x))

0

f0

(10)洛必达法则

，型，艺型直接使用法则，

000

0.8型，将其中的一个倒下来，化成:型或方型，再使用法则。

000

型，通分后化成，型，再使用法则。

卜,00,8。型，化成以e为底的指数，或取对数后化成0日

以上10种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合

二如何求导数

(1)基本求导公式

求导公式：

(1)(c)'=0

⑵(河)'=日加7特例：(x)'=l,(#)'=—

2y/xXX2

(3)(a^)'=aAna特例：(e』y=ex

⑷(logx)，=特例：(lnx)'=L=」

&xlnaxx

(5)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx

(6)(arcsinx)'-(arccosx)'=--=2=；

Jl-X2-X2

(2)求导的四则运算法则：

(―)z=―—―(v0)(cu)'=cuc为常数

VV2

(3)复合函数的求导法则

定理三：如果〃=g(x)在点x处可导，而y=/(必)在点w=g(x)处可导，则复合函数

y=/[g(x)]在点x处可导，且其导数为：

±

公或y'=f'W-g'(x)链式法则

duax

力

：函数对X的导数$：/(〃)对，，的导数

五

au

："=8(用对,*求导

复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

(4)参数方程的求导法

x=(p(f)

若参数方程、确定y与x之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。

6

外

人

求

式

公

导

=而

石W⑺y对，的导数比上x对/的导数

一W7

力

也=幺第半对，的导数比上X对，的导数

二阶导数

dx2dxax

dt

(5)隐含数的求导法

什么叫隐含数

定义：由方程所确定的函数y=/(x)称为隐函数

隐函数的求导法则：

用复合函数的求导法则直接对方程两边求导

(6)对数求导法：先两边取对数，然后按照隐函数的求导方法求导。

适用范围：(1)鬲指函数(2)多个函数相乘或还有开方的情况

(7)变限函数的求导

①'(x)=色

dr„

—=f(w(x))u(x)/(v(x))vz(x).

dx心)

(8)如何求微分力＞=

先求出函数的导数，则=

千万不要忘记写dx

三如何求积分

基本积分公式①0dx=b+C(女为常数)，

②=X"+l+C（aWl）,

Q+1

特别地：jLit=-2.+c=2yjx+c

X2Xy/x

③fldr=lnIxI+C（x#0）,

x

④Je^Ax=ex+C,

⑤Jtzv（ix=——〃X+C（Q>0且aWl）,

In。

Jcosxdx=sinx+C,

⑥

Jsinxdx-cosx+C,

⑦

⑧sec2xdx=fanx+C,

⑨Jesc2xdx-co/x+C,

⑩Jsecxtanxdx-secx+C,

OJescxcotxdx-cscx+C,

f］dr=arcsinx+C

O

J1-X2

OJ—!-dr-arctanx+c

1+X2

积分的方法

一,分项积分

』［af(x)+Pg(x)lk二ajf(x)dx+PJg(x)dx,其中a,B为常数;

「［a”x)+pg(x)lk=a，"(x)dx+pJ"g(x)dr

二换元法

第一换元法(凑微分)

J/州(x))W'(x)cU=J/(甲(x))N(x)

u=V(x)=F(u)+c

〃=V(x)/(力(x))+C.

(注意：中间的换元过程可省略。)

第二换元

对于定积分的第二换元法要注意：

(1)换元必换限

(2)当a<b时，不一定有a<。，但下限一定要对应下限，上限一定要对应上限

(3)a,B选取可能不唯一，原则上：不自找麻烦，"-用越小越好

三分部积分

注意：1将谁看成/

2回归法

对于定积分还有三个要注意的地方

分段函数的定积分

如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分

的和。

,,1+x2,x<0、，»,

例：/(X)=,计算Jf(x)dx

e-x,x>0-i

J1f(x)dx=J°f(x)dx4-11f(x)dx=J°(1+%2)dx+11e-^dx

解：'0-1o

07

=(x+")+-p=_一£-1

o3

-1

例：/(x)=|x+l|,求.f(x)dx

-3

x+1,x>-1;

解：因为/(x)=

—x—1,x<—1

二奇零偶倍

三、广义积分

(1)无穷积分

定义：//⑶公=]im\'f(x)dx

ar—>+oca

若广义积分J°/(x)dx与1Ax)公都收敛，则Pv(x)dx收敛，且定义为这两个广义

-co0-oo

积分之和。

limf(x)cbc+limf[x}dx

/->-<»I/->+oo0

计算：)^f(x)dx=F(x)|+00=limF(x)-F(a)

aaxte

(2)瑕积分

定义：若x=b为/(x)的瑕点，则b/(X)公=limj'/(x)dx

at^b-a

若x=a为/(x)的瑕点，则!hf(x)dx=lim

aia+f

若x=ce(a,》)为f(x)的瑕点，则!hf(x)dx=limJ'f(x)dx+limlhf(x)dx

r->c-，TC+

计算：

若x=b为/(x)的瑕点，则上/。)公=尸。)|〃=limF(x)—/3)

aax->b-

若x=a为f(x)的瑕点，则Pf(x)dx=F(x)|b=F(b)~limF(x)

aaXTa+

若x=ce(a/)为/(x)的瑕点，贝IJ

6f(x)dx=J，/(x)dx+卜/(x)dx=尸⑴/+F(x)\h

aacac

=limF(x)-F(a)+F(b)-limF(x)

x—>c-x—>c+

四应用题

(-)求曲线的切线，法线

(-)求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值。

确定函数单调区间，极值的步骤为：

(1)写出定义域

(2)找出驻点和导数不存在的点，将定义域进行划分。

(3)判断各区间导数的符号，并判断单调性，。

(4)写出单调区间，求出各极值点的函数值，即得全部极值。

判断凹凸区间，曲线拐点的步骤：

(1)写出定义域，求,〃⑴

(2)令/"*)=(),解出实根，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行划分。

对每一点x,考察尸'(X)在x的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两

00

侧符号相反，则(XJ(x))为拐点，否则不是。

00

求最值的步骤：

(1)在内找出驻点和不可导点，X,xX

I2n

(2)计算〃x)及/(a)JS)

i

(3)从这些值中找出最大值、最小值。

(三)与中值定理有关的证明题

(四)利用单调性证明不等式

(五)关于闭区间上连续函数性质的证明题

(六)求平面图形的面积

记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。

记住：被积函数是右边的函数减左边的函数

(七)求体积

平面截面面积为已知的立体体积

旋