2023-2024学年四川省泸州市泸县高二年级下册开学考试数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年四川省泸州市泸县高二下册开学考试数学（文）

试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,...,

840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为

A.11B.12C.13D.14

【正确答案】B

【详解】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.

二从编号1—480的人中，恰好抽取480/20=24人，

接着从编号481〜720共240人中抽取240/20=12人

考点：系统抽样

2.抛物线y=4/的焦点坐标是（）

A.(0,1)B.(1,0)C.D.

■

【正确答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标.

【详解】将抛物线y=4x2的化为标准方程为f=；丁，p=g,开口向上，焦点在V轴的

正半轴上，

所以焦点坐标为［o,《

故选：C.

3.已知两直线4:x-y+6=0与（：—3x+3y—2=0,则4与4间的距离为（）

8728百

A.V2C.73

-T亍

【正确答案】B

【分析】把直线，2的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.

2

【详解】直线，2的方程化为：X—V+§=显然，“〃2，

所以4与，2间的距离为d==述.

3

故选：B

4.执行如图所示的程序框图，如果输入。的值为-1,则输出5=()

A.2B.-3C.3D.-4

【正确答案】B

【分析】利用程序框图的循环结构依次计算即可

【详解】初始化数值。=-1,k=l,S=0,循环结果执行如下:

第一次：S=0—1=—1»4=1,k=2；

第二次：S=—1+2=1,a=—1,k=3；

第三次：S=l—3=—2,tz=l,%=4；

第四次：S=—2+4=2,a=-i,k=5；

第五次：S=2—5=—3,。=1,左=6；

结束循环，输出S=—3.

故选:B.

5.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”与事件“这

个三位数大于342”()

A.是互斥但不对立事件B.不是互斥事件

C.是对立事件D,是不可能事件

【正确答案】B

【分析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.

【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶数有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.

故选：B.

6.已知加，”是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若加//〃,〃//a,则加//aB.若加//a,"?//夕，则a/力

C若m//a,m工。，则al•夕D.若a,则加_L〃

【正确答案】C

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得

答案.

【详解】解：对于A：若机//〃///a,则〃?//a或加ua,故A错误；

对于B：若m//a,机//尸，则a//〃或a与夕相交，故B错误；

对于C：若〃?//a,加，/，根据面面垂直的判定定理可得a故C正确；

对于D：若al夕,加//%〃//月则加与〃平行、相交、或异面，故D错误：

故选：C

7.“机＞6”是“方程/+/一加x+4y+/w+7=0是圆的方程”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】若方程X2+/一加工+句+加+7=0表示圆，贝I」（一加）2+42—4（〃z+7）>0,

即加2-4加一12>0，解得加>6或加<一2,

故“〃?>6”是“方程》2+72一必+4夕+加+7=0是圆的方程”的充分不必要条件，

故选：A

8.命题P：若a>6,且必>0,则ln@>0,命题4：在448c中，若/>8,贝iJsinZ〉sin8.

b

下列命题中为真命题的是（）

A.（->p）AqB.PMC.p八DD.

（「p）A（［q）

【正确答案】A

【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性判断命题P的真假，根据大角对大边及正弦

定理可判断命题q的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.

【详解】解：若a>b,且M>0,则0<@,

b

当a>b>0时，—>1.所以ln3>0,

bb

当0〉。>6时，0<@<1,所以山区<0,

bb

综上命题P为假命题，则F为真命题，

在^ABC中，若4>B,则

由正弦定理得sin/〉sinB,

所以命题夕为真命题，为假命题，

所以（一）「）△q为真命题，夕△夕，pA（—1^）,（「〃）△（—1夕）为假命题.

故选：A

9.在矩形力8c。中，AB=\,BC=五,尸Z_L平面/BCD,P4=l,则PC与平面

Z8CD所成角是.

A.30°B,45°C,60°D.90°

【正确答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面Z8CQ的法向量以及直线尸C方向向量，利用空间

向量夹角余弦公式可求出PC与平面48s所成角.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1),C(1,0,0),.•.定=(1,立—1),

易知平面48GD的一个法向量为3(0,0,1),

•••房力赢_1_

2,

.•.PC与平面Z8CD所成的角为30°，故选A.

求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，

利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利

用空间向量夹角余弦公式求解即可.

10.已知直线/：y=x+m与曲线x=j4—y2有两个公共点,则实数机的取值范围是

()

A.[-2,272)B.(-2>/2,-2]C.[2,272)D.

(-272,2]

【正确答案】B

【分析】画出图像,当直线/过点48时，求出加值;当直线/与曲线％=产了相切时.求出

团，即可得出加的取值范围.

【详解】画出如下图像：

曲线x=，4—V有两个公共点;

直线/与曲线相切时,m=-2V2,

因此当-2及＜〃?W-2时，直线/与

曲线x=j4—/有两个公共点.

故选B

本题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思

想，准确判断出曲线方程所表示曲线形状，且根据题意画出图形是解决问题的关键，属于中档

题.

11.已知三棱锥尸一力8C的各顶点都在同一球面上，且尸力，平面4BC,AB=2,ZC=1,

乙IC8=90。，若该棱锥的体积为2叵，则此球的表面积为（）

3

A.16%B.20万C.8%D.S*

【正确答案】B

【分析】

作出三棱锥，找出球心的位置，进而求出球的半径，根据球的表面积公式即可求解.

【详解】作出三棱锥尸—4SC,如图:

因为平面N8C,则4_L8C,

又因为N/C8=90。，所以BC1AC,由ZCcPZ=4,

所以SCI平面尸4C,所以8CLPC,

所以APCB为直角三角形，

及APAB为直角三角形，

所以三棱锥尸—Z8C的外接球球心在PB的中点上，

Vp.„r=-S,„r-PA^-x-xlxy/3-PA^—，解得p4=4,

K-ADC3A/loC32，3

所以PB=JU+22=2#,

故三棱锥P-ABC的外接球半径r=J?，

所以外接球表面积为4不/=4〃x5=20万.

故选：B

12.设，（0,彷，点8为双曲线C:=1(“>0,6>0)的左顶点,线段Z8交双曲线一条

3

渐近线于。点，且满足cosNOC8=1，则该双曲线的离心率为（）

A.立B.6C.-

D.y[5

23

【正确答案】D

【分析】

先求出点C的坐标，再根据余弦定理即可求出.

【详解】解：40乃),5(-a,0),

h

・.・直线46的方程为歹=-x+b,

a

V抛物线的一条渐近线方程为歹=--X,

a

由余弦定理可得相=S+S-2X£X£X3,

44225

2

整理可得5/=c,

即e=£=y/5,

a

故选：D.

本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知圆G：x?+＞2+2x+3〉+1=0,圆。2：x2+y2+4x+3y+2=0,则圆£与圆

C2的位置关系是.

【正确答案】相交

【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距

离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.

【详解】£：/+；/+2%+3丁+1=0化为(x+l)2+[y+|)=1,

2

C2:x+•/+4x+3y+2=0化为(X+2)2+(V+T)=9，

则两圆圆心分别为：。[(一1,一5),5),半径分别为：R=^,r=~~~)

圆心距为4=1,•.♦姮+之＞1＞姮—3,

2222

所以两圆相交.

故相交.

14.命题“3X()G[2,4],xl—mx0+〃z+3〉0"是真命题，则m的取值范围是.

【正确答案】(-8,7)

r2+3

【分析】依题意可得天。e[2,4],xl-mx0+m+3＞0是真命题，参变分离得到m＜」一

在[2,4]上有解，再利用构造函数利用函数的单调性计算可得.

*+3

【详解】3X0G[2,4],x；—加所+加+3＞0等价于掰＜」一在[2,4]上有解.

%-1

设/'(刈=二^，f=x—lw[L3],则g(f)="+1厂+3=/+1+2在口,2]上单调递减,

x-1tt

在(2,3]上单调递增，

19

又g⑴=7,g(3)=y,所以g«)<7,即〃?<7.

故(-8,7)

15.某公司的班车在8：00准时发车，小田与小方均在7：40至8：00之间到达发车点乘坐

班车，且到达发车点的时刻是随机的，则小田比小方至少早5分钟到达发车点的概率为

9

【正确答案】—

32

【分析】设小田到达发车点的时间为x,小方到达发车点的时间为》(x,y)所构成的区域为

Q={(x,y)140<x<60,40<^<60},小田比小方至少早5分钟到达发车点为事件

/={(x，V)|y-xN5},作出示意图，利用面积型的几何概型的概率计算公式计算即可.

【详解】设小田到达发车点的时间为x,小方到达发车点的时间为y,(x,y)所构成的区域

为

Q={(x,y)|40<x<60,40<^<60),对应的面积5=20x20=400,则小田比小方至

少早5分钟到达发车点为事件〃={(x,y)|y-xN5},作出示意图，则符合题意的区域为

y-x=5[y-x=5

“8C及其内部区域，联立个“，解得0(55,60),联立{s，解得8(40,45),

y=60[y=40

1225

则S“BC=—X15X15=——,由几何概型的概率计算公式，知小田比小方至少早5分钟到

"ABC22

225

达发车点的概率为才=9.

40032

本题考查面积型的几何概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.

16.过抛物线V=2px(p>0)的焦点下作斜率大于0的直线/交抛物线于4B两点(4在

8的上方)，且/与准线交于点C,若赤=3而，则=.

\BF\

【正确答案】2

【分析】

\BB\JBF\_\AA\

分别过a8作准线的垂线，垂足分别为4,B、，由可求.

\BC\~\BC\~\AC\

【详解】分别过48作准线的垂线，垂足分别为4，B],

JJ,...也/=2

y+X+3x3'••|BF\x

故答案为：2.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知P：X2-7x+10<0.q：x2-4mx+3m2<0.其中掰>0.

(1)若掰=4且。人4为真，求x的取值范围；

(2)若「4是力的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【正确答案】(1)4<x<5；(2)-<m<2

3

【分析】(1)由。人4为真，可知24都为真，进而求出命题24,可得到答案；

(2)先求出命题由「4是的充分不必要条件，可得。是9的充分不必要条件，进

而可列出不等式，求出实数，”的取值范围.

【详解】由7x+10<0,解得2<x<5,所以P：2<x<5,

又一—4加x+3"/<o,且相>0,解得相所以q.m<x<3m

(1)当机=4时，q：4cxe12,

因为P八4为真，所以，4都为真，所以4Vx<5.

(2)因为「夕是力的充分不必要条件，所以P是4的充分不必要条件，

m<2

因为P：2<x<5,q：m<x<3m>所以<3机25,解得*W"7<2.

八3

M〉0

本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要

条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.

18.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量(单位：吨)的数

据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.

分组频数

[2,4)2

[4,6)10

[6,8)16

[8,10)8

[10,12]4

合计40

（1）求频率分布直方图中a,b的值；

（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量

为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均

用水量不低于8吨的概率.

【正确答案】（1）02;（2）0.7；（3）

【详解】试题分析：（1）利用频率分布直方图中小矩形的高的实际意义进行求解；（2）利用频

率来估计概率；（3）先利用分层抽样得到各层抽得的人数，列举出所有基本事件和满足要求

的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.

试题解析：（1）因为样本中家庭月均用水量在［4,6）上的频率为史=0.25,

40

在［6,8）上的频率为，=0.4,

40

所以。=喳=0.125,—=0.2

22

（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，

9Q

所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是一=0.7.

40

利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于

6吨的概率约为0.7

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量

为7的样本，

则在［6,8）上应抽取7x3=4人，记为48,C,。，

28

Q

在［8,10）上应抽取7x—=2人，记为瓦尸，

28

4

在10,12］上应抽取7、一=1人，记为G

28

设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，

则所有基本事件有：

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},

{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G}，共21种.

事件包含的基本事件有：{4E}，{4用，{4G},

{B,E},{B,F},{B,G},{（7,号,{。,可,{。。}乂，号,{。,尸},{。,6},共12种.

124

所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为一=—

217

考点：1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.古典概型.

19.从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第i个家庭的月收入%（单位：千元）与

101010

月储蓄乂（单位：千元）的数据资料，计算得£菁=80,£B=20,£X,»=184,

i=li=li=］

10

W＞：=720.

/=l

（1）求家庭的月储蓄y对月收入X的线性回归方程$=院+机

（2）判断变量x与V之间是正相关还是负相关；

（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，

并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式.

八£七乂一如歹

y=bx+a中，b=r------二—，a-y-bx>其中x,y为样本平均值.

gx；-nx

/=!

【正确答案】（1）y=0.3x-0.4

（2）正相关（3）1.7千元

【分析】（1）由题意得到”=10,求得京亍，进而求得2,3,写出回归方程；.

⑵由3=0.3〉0判断；

（3）将x=7代入回归方程求解.

【小问1详解】

由题意知

-1A80。-1吕20

〃=10,x=w5x-=w=8^=TUp=w

a-〃xy__

则3----------=0.3,a=y-bx=-0.4,

£X：_〃（X）2

/=1

所以所求回归方程为j=0.3x—04

【小问2详解】

因为否=0.3>0,

所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.

【小问3详解】

将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为$=0.3X7-0.4=1.7（千元）.

20.在四棱锥。一/BCD中，底面N8CQ是直角梯形，BC//AD,AD1AB,E,尸分

别是棱48,尸。的中点.

p

BC

(1)证明：EF”平面PAD；

(2)若CD=CAB=叵BC=2JL且四棱锥尸-ABCD的体积是6,求三棱锥F-PAD

的体积.

【正确答案】(1)证明见解析.

(2)2.

【分析】(1)取的中点G,连接EG,FG.运用面面平行的判定和性质可得证；

(2)过点。作C"_LZ。，垂足为H,连接EO,PE,设点尸到平面NBCD的距离为人

根据棱锥的体积求得再利用三棱锥E-P4O的体积与三棱锥P-/OE的体积相等，三

棱锥F-PAD的体积与三棱锥E-PAD的体积相等，可求得答案.

【小问1详解】

证明：如图，取CO的中点G,连接EG,FG.

因为尸，G分别是棱尸C,的中点，所以FG〃PD,又尸G<z平面P4。，PDu平

面P4O,所以FG〃平面尸/£).

因为且E,G分别是棱48,的中点，所以EG〃/。，又EGu平面P4D,

Z0u平面P4。，所以EG〃平面尸ZD.

因为EG,FGu平面ERG,且EGflFG=G,所以平面EFG〃平面尸/。.

因为EFu平面EFG,所以EF”平面PAD.

【小问2详解】

解：过点。作C〃_LN。，垂足为H,连接EO,PE,

则四边形48C”是正方形，从而CH=AH=AB=2.

因为CD=6,4B，所以CD=OCH，则£>H=C〃=2，

从而直角梯形ABCD的面积S="+4"2=6.

2

设点尸到平面/8CZ）的距离为〃，则四棱锥尸一ZBCD的体积P='S//=』x6//=6,解

33

得人=3.

因为三棱锥E-尸/0的体积与三棱锥P-ZOE的体积相等，

所以三棱锥E—尸/0的体积匕=-xlx4xlx3=2.

132

因为比7/平面PAD,所以三棱锥F-PAD的体积与三棱锥E-0/0的体积相等，

所以三棱锥F-PAD的体积为2.

21.已知抛物线y=2px（p>0）的焦点为凡过b且与x轴垂直的直线交该抛物线于48两

点，|M=4.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点下的直线/交抛物线于P,0两点，若々的面积为4,求直线/的斜率（其中

。为坐标原点）.

A

【正确答案】（1）V=4x：（2）土

3

【分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得2。=4,从而可得结果：（2）

设直线/的方程为y=Mx-l）,尸（不弘）,。（七,乃），x=2+l代入/=4x,得

K

/-包-4=0,利用弦长公式，结合韦达定理可得的|PQ|值，由点到直线的距离公式,

k

=--|Pg|-J=2,2,+1=4,从而可得结果.

根据三角形面积公式可得a”。

2I川

【详解】（1）由抛物线的定义得A、B到准线的距离都是p,

所以|AB,—2p—4,

所以抛物线的方程为/=4x.

（2）设直线/的方程为了=内方1）,P（x,,%）,。（如必）.

因为直线/与抛物线有两个交点,

所以得x=^+l,代入/=4x,得/一空—4=0,且△=£+16>0恒成立,

kkk

,4

则n%+%=%，%%=-4,

4（左2+1）

所以|尸0|

k2

\-k+0|

又点。到直线1的距离d='——

止+i

所以S“鹿二；归。|々=2，：+1=4,解得％2=；,即4=±3.

2阳33

本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能

力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简,

然后应用根与系数的