2022-2023学年北京市大兴区高三年级下册数学摸底检测试卷

大兴区2022〜2023学年度第二学期高三年级摸底检测

高二数学

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

(1)已知集合U={xeN|-2cx<5},集合A={0,l,2},则C0A=()

(A){0,2,3}(B){-1,0,2,3}

(C){-1,3,4}(D){3,4}

(2)若复数z满足i-z=3-4i,则目=()

(A)1(B)5

(C)7(D)25

(3)若a为任意角，则满足cos(a+h^)=cosa的一个人值为()

4

(A)2(B)4

(C)6(D)8

(4)在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制.当一个人的基因型

为A4或A。时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa时，这个人就是单眼皮.随

机从父母的基因中各选出一个A或者。基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信

息，贝I“父母均为单眼皮''是"孩子为单眼皮''的()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(5)已知三个函数y=M,y=y,y=Iog3x,则()

(A)定义域都为R(B)值域都为R

(C)在其定义域上都是增函数(D)都是奇函数

2

(6)双曲线。:公-卓=1的渐近线与直线x=l交于A,8两点，且|AB|=4,那么双曲线C

的离心率为()

(A)收(B)上

(C)2(D)A/5

(7)设{%}是各项均为正数的等比数列，S,,为其前〃项和.己知小多=16,53=14,若存

在小使得4,生,•，。%的乘积最大，则〃。的一个可能值是()

(A)4(B)5

(C)6(D)7

(8)一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画错误的画

X.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则〃?的值为()

题号学生12345678得分

甲XVXVXX4X30

乙XX477XX725

丙VXXXT7X25

TXVXq7X47m

(A)35(B)30

(C)25(D)20

(9)点P在函数y=O的图象上.若满足到直线y=x+a的距离为及的点P有且仅有3个,

则实数«的值为()

(A)2&(B)2+

(C)3(D)4

(10)如图，正方体A8CD-44CQI的棱长为2,点。为底面ABC。的中心，点P在侧面

8CG丹的边界及其内部运动.若D01.OP,则物面积的最大值为()

⑴芈⑻竽

(C)V5(D)2若：\/

力厂.

第二部分(非选择题共110分)A—~iB

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)在(«+')6的二项展开式中，常数项为-15—.(用数字作答)

X

22

(12)能说明“若加〃+2)/0,则方程上+上=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一

tn〃+2

组tn.n的值是.

34

(13)在AABC中，a=4,cosA=-,cosB=-,则AABC的面积为.

55

(14)矩形ABCD中，4?=2,BC=1,。为4?的中点.当点P在3C边上时，ABOP^］

值为;当点P沿着8C,CD与Q4边运动时，AROP的最小值为.

(15)曲线C:J(x+l)2+y2.J(x—l)2+y2=3,点P在曲线C上.给出下列三个结论：

曲线C关于y轴对称；

曲线C上的点的横坐标的取值范围是［-2,2］；

若4-1,0),8(1,0),则存在点P,使的面积大于

2

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

已知函数f(x)=Asin(+>)(4>0,0>0,0<e<])同时满足下列四个条件中的三个:

/(_令=0；②/(0)=一1；③最大值为2；④最小正周期为万

(I)给出函数“X)的解析式，并说明理由；

(II)求函数f(x)的单调递减区间

(17)(本小题14分)

如图，四边形ABC。为正方形，MA//PB,MAA.BC,ABLPB,MA=\.AB=PB=2.

(I)求证：平面43a)；

p

(II)求直线PC与平面PDM所成角的正弦值.

(18)(本小题14分)/

为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市或，//r模拟冬奥

会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项牛/……匕京市中小

学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：/\/

(I)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选一座野滑轮人

数都超过40人的概率;

(II)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练

选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(III)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技

术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲

同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为

“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.

(19)(本小题15分)

已知椭圆C:=1(">8>0)的焦距和长半轴长都为2.过椭圆C的右焦点尸作斜率为

k伏N0)的直线/与椭圆C相交于P,Q两点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP,AQ分别与直线x=4相交于点求证:

以MN为直径的圆恒过点F.

(20)(本小题14分)

己知函数f{x)=ex-ax1,aeR.

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在点A(0J(0))处的切线方程;

(II)若f(x)在区间(0,田)上单调递增，求实数”的取值范围；

(III)当。=一1时，试写出方程/(x)=l根的个数.(只需写出结论)

(21)(本小题14分)

设集合人制。”生,外,可}，其中是正整数，记当=4+%+%+4.对于

a,.,eA(1<z<j<4),若存在整数左，满足k(q+%)=5.,则称q+%整除54，设%是满

足q+%整除S”的数对(，•,/)«</)的个数.

(I)若4={1,2,4,8},B={1,5,7,11),写出%,%的值;

(II)求孙的最大值；

(III)设A中最小的元素为a,求使得叫取到最大值时的所有集合A.

大兴区2022〜2023学年度第二学期高三年级摸底检测

高三数学参考答案与评分标准

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

12345678910

DBDACDABCc

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)15

(12)m-4,n-2(答案不唯一，满足《/=〃+2>0或m<0,〃+2<0即可)

(13)6

(14)2;-2

(15)①②(只写对一个3分)

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题14分)

解：(I)若函数/(x)满足条件③，

则/(0)=Asins=-1,这与A>0,0<e<、矛盾，所以f(x)不能满足条件

③........2分

所以〃x)应满足条件①②④

24

由条件①得-7t,且0>0,所以折2.......4分

由条件②得A=2.......6分

再由条件④得f(—)=2sin(---F(p)=0f且0<“<一

632

所以.......8分

所以f(x)=2sin(2x+。)........9分

(II)由2A7r+、42x+]42&;r+m，(&wZ).......2分

k7V+—<x<k7r+—,(keZ).......4分

1212

所以/(x)的单调递减区间为伙乃+今,版■+蜘(AeZ).......5分

(17)(本小题14分)

解：(I)证明：因为MA//PB,所以「.......2分

又因为ABLPB，且A5BC=B,.......4分

所以P5J_平面ABCD........5分

(II)(方法一)因为四边形A2CD为正方形，PB_L平面ABC£>,MA//PB,

所以俩俩垂直，如图建立空间直角坐标系A-盯z,.......2分

则P（0,2,2）,A/（0,0,1）,C（2,2,0）,D（2,0,0）,........4分

PC=(2,0,-2),PO=(2,—2,—2),PM=(0,—2,-1).

设平面P£)A7的法向量为〃=(x,y,z),..............5分

n-PD=Q(2x-2y-2z=0

贝匹，即｛c,c，

n-PM=0-2y-z=0

令z=2，则x=l,y=T.所以平面PDM的法向量为

n=(1,-1,2).................7分

\PC-n\G

设直线PC与平面PDM所成的角为e,所以Sing=II=一........9分

陷雨6

所以直线尸C与平面尸。M所成角的正弦值为也.

6

（方法二）因为平面ABCD,所以P8LA8，PB±AD.

因为四边形ABC。为正方形，所以AB,3c.

如图建立空间直角坐标系B-xyz...................2分

则P（0,0,2）,A/（2,0,1）,C（0,2,0）,D（2,2,0）,................4分

PC=（0,2,-2）,PD=（2,2,-2）,PM=（2,0-1）.

设平面PDM的法向量为〃=（x,y,z）...................5分

（

则《u-PD-0，即、2x+2y，-2z=0，

[fj-PM=0[2x-z=0

令z=2,则x=l,y=l.所以平面PDM的法向量为〃=（L1,2）...............7分

设直线PC与平面POW所成的角为6,所以sine=4^=5l................9分

MW6

所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为由.

6

（18）（本小题14分）

解：（I）设“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”的事件为A,...............1分

4x3

「2---------）

贝W施=1?………4分

2

（II）X的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所........1

分

「002i「I「1o「200o

P（X=0）=*=；，P（X=1）=誓=4，P（X=2）=W=A

joJLqoIDjoLJ

X的分布列为:

X012

\_82

P

31515

E（X）=0x1+1x—+2x-=-

........7分

'/315155

(III)答案不唯一.

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为"优''的概率发生了变化.理由如下:

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C；-0.12-0.9+C^-0.13=0.028.

指导前，甲同学总考核为“优''的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核

达至「优”的概率发生了变化.

答案示例2：无法确定.理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C<0.12-0.9+Cj-0.13=0.028.

虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变

化....3分

(19)(本小题15分)

解：(I)由已知得a=2,c=l,.......2分

所以从=42一C2=3.......4分

所以椭圆C的方程为三+£=1.......5分

43

(IDA(-2,0),F(l,0),设直线/的方程为y=Z(x-l).......1分

y=k(x-V)

由丁消元得：(3+4公)/-83％+4&2-12=0........2分

---1—1

43

A>0

设尸(芯,凶)，Q(工2，%)，则，弘24左2-12........3分

又直线AP的方程为>，=△—(》+2),令了=4得M(4,包-)

%+2X1+2

同理可得N(4,@^).......5分

%2+2

4—0

所以直线加的斜率为kFM=上‘一=义L

4—1X2+2

直线FN的斜率为k=•:j........6分

FN

所以G.k=2%2y2_4/(>-1)(当-1)_442[巧々一(毛+々)+1]

FMFN

~x,+2X2+2~(x,+2)(X2+2)-xtx2+2(xt+x2)+4

4/2(4Z2-12-8/+3+4后2)-36k2,八八

4代-12+2x8犬+4(3+4公)36k2

所以R0_LRV,即以MN为直径的圆恒过点厂........10分

注：第(II)问，用以下方法证明相应给分

用①FM-FN=0；②8为线段MN的中点，证忸同=g|MN|；③以MN为直径

的圆的方程；

(20)(本小题14分)

解：(I)a=l,所以/1(x)=e"——

所以f'(x)=ex-2x........2分

所以切线斜率4=/'(0)=1，又/(0)=1.......4分

所以切线方程为y=x+l.......5分

(II)f'[x}=ex-2ax.......1分

因为/(x)在区间(0,^o)上单调递增

所以对Vxe(0,+oo),都有f\x)>0恒成立

即Vxe(0,+oo),恒成立，等价于a4(J)1nhi.......2分

2xlx

设g(x)=g，xe(0,+a>),则g，(x)=e：.......3分

2x2x~

令g'(x)=0,得x=l.......4分

当x变化时，/(x),f(x)变化情况如下表：

X(0,1)1(1,+°0)

f'(x)—0+

f