2012-2021年全国高考数学真题分类汇编 概率（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编概率（精解精析）

一、选择题

1.（2021年高考全国甲卷理科）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

()

1224

A.-B.—C.一D.-

3535

【答案】c

解析：将4个1和2个。随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空,

若2个0相邻，则有G=5种排法，若2个。不相邻，则有C；=10种排法，

1（）2

所以2个0不相邻的概率为-----=

5+1（）3

故选：C.

7

2.（2021年高考全国乙卷理科）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于一的

4

概率为

72322

a

A.9-B.3-2-9-

32

【答案】B

解析：如图所示：

设从区间（0,1）,。,2）中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为

Q={（x,yJ（）<x<l,l<y<2},其面积为％=lx1=1.

设事件A表示两数之和大于:，则构成的区域为A=1（x,y）|0<x<l,l<y[2,x+,

[3323S23

即图中的阴影部分，其面积为S,=l—-x；x==上，所以P（A）=U=*.

24432%32

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事

件。,A时应的区域面积，即可顺利解出.

3.(2020年高考数学课标III卷理科)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为

8，〃2，〃3，〃4,且£月=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()

r=l

A.Pi=p&=0.1,，2=P3=°，4B.Pi=P4=0.4,P2=P3=0.1

C.P]=%=0.2,〃2=P3=0.3D.P|=〃4=0.3,〃2=〃3=02

【答案】B

解析：对于A选项，该组数据的平均数为京=(1+4)XO.1+(2+3)XQ4=2.5,

方差为s；=(1-2.5)2x0.1+(2-2.5)2x0.4+(3-2.5)2x0.4+(4-2.5)2xO.l=0.65；

对于B选项，该组数据的平均数为焉=(1+4)X0.4+(2+3)X0.1=2.5,

方差为s；=(1—2.5)2x0.4+(2-2.5)2x0.1+(3-2.5)2x0.1+(4-2.5)2x0.4=1.85：

对于C选项，该组数据的平均数为京=(1+4)x0.2+(2+3)x0.3=2.5,

方差为《=(1一2.5『x0.2+(2-2.5『x0.3+(3-2.5)2x0.3+(4-2.5『x0.2=1.05；

对于D选项，该组数据的平均数为高=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,

方差为s：=(l—2.5『x0.3+(2—2.5『x0.2+(3—2.5)2x0.2+(4—2.5『x0.3=1.45.

因此，B选项这一组标准差最大.

故选：B.

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

4.(2019年高考数学课标全国I卷理科)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每

一“重卦”由从下到上排列的6个

爻组成，爻分为阳爻“------”和阴爻“一一”，右图就是一重卦.在所有重卦中随机

取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()

【答案】答案：A

解析：所有的重卦共有=64个，而恰有3个阳爻的重卦有C；=20个，所以所求概率

5.（2018年高考数学课标出卷（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成

员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2A,

P（X=4）<P（X=6）,则〃=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】B

解析：依题意可知X8（10,〃），则QX=〃pq=10x〃x（l—〃）=2.4,解得p=0.4或

p=0.6

又P（X=4）<P（X=6）,所以。p4°一〃）6<3〃6（］_#4即（］一〃）2<〃2,即

所以〃=0.6,故选B.

6.（2018年高考数学课标n卷（理））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界

领先的成果.哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如

30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

（）

1„1-1cl

AA.—B.—C.—D.—

12141518

【答案】c

解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两

个不同的数，共有C；0=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个

不同的数，其和等于30的有3种选法，故概率P=3=_L,故选c.

4515

7.（2018年高考数学课标卷1（理））下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形A6C的斜边6C,直角边AB,

AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II.其余部分记为III.在整个图形

中随机取一点，此点取自1,的概率分别记为匕旦,《则（）

K.P\=P?B.［=8C.2=鸟D.《=鸟+《

【答案】A

22

解析：如图：设5C=〃,A3=c,AC=6,Acr=h^c,AS}=-x4ab=2hc,

2

SNI=；乂万/-2bc

S..=—x7vc2+—7rb2-S...=—x7cc2+—7rb2--7va2+2bc=2bc

"22"222

/.¥=S”，；.P[=P",故选A.

8.（2017年高考数学新课标I卷理科）如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内

切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此

点取自黑色部分的概率是（）

（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】设正方形边长为,则圆的半径为,则正方形的面积为,圆的面积为.由图形的对称性

可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,

此点取自黑色部分的概率是，选B.

秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由

图可知其概率,故选B.

【考点】几何概型

【点评】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面

积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算.

9.（2016高考数学课标I[卷理科）从区间[0,1]随机抽取2〃个数斗，々，…，X”，%，为，…，

%,构成〃个数对（％，x）,（X2,y2）,其中两数的平方和小于1的数对共

有加个，则用随机模拟的方法得到的圆周率兀的近似值为（）

4"2n4m2m

A.6B.团C.〃D.〃

【答案】C

【解析】几何概型问题：样本空间w=｛（x,y）|x挝0,l],y[01]）其面积为：Sw=1

事件“两数的平方和小于1的数对”对应的集合为：

A=｛（x,y）|Y+y2<]且X挝0,i],y[01|）

其对应区域面积为：s.=2,所以P（A）=y

A4SAArn

4/77

所以p=—,故选C.

n

10.（2016高考数学课标I卷理科）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至

8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10

分钟的概率是（）

1123

（A）-（B）-（0-（D）-

3234

【答案】B

【解析】如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段AC或03时，

才能保证他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率尸=3112=4.故选儿

402

11.（2015高考数学新课标1理科）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已

知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试

的概率为（）

A.0.648B.432C.0.36D.0.312

【答案】A

解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为第0.62x0.4+0.63-0.648,

故选A.

考点：本题主耍考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

12.（2014高考数学课标2理科）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率

是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气

质量为优良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D,0.45

【答案】A

解析：设A="某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则

P（B|A）==丝=08,故选A.

P（A）0.75

考点：（1）条件概率的求法；。

难度：B

备注：易错题

13.（2014高考数学课标1理科）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周

六、周日都有同学参加公益活动的概率（）

A.B.C.D.

【答案】D

解析：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种，

周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况:①一天一人一天三人有种;②每天2人有种，

则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为;或间接解法：4位同学都在周六或周日参加

公益活动有2种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为;选D.

考点：（1）古典概型的概率（2）分类讨论思想

难度：B

备注:高频考点

二、填空题

14.（2019年高考数学课标全国1卷理科）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队

赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主

主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果

相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

【答案】答案：0.18

解析：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输

一场，

若第1场或第2场输1场，则6=C；x0.6x0.4x0.52x0.6=0.072,

若第3场或第4场输1场，则g=O.62XC；XO.5XO.5XO.6=O.1O8,

所以甲以4：1获胜的概率是8+鸟=0.18.

15.（2017年高考数学课标H卷理科）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，

有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则-

【答案】

【命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力.

【解析】随机变量，

【知识拓展】离散型随机变量是高考考点之随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分

布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.

【考点】二项分布的期望与方差

【点评】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：

(1)一是是否为次独立重复试验.在每次试验中事件发生的概率是否均为P.

二是随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事

件恰好发生次的概率.

16.(2013高考数学新课标2理科)从〃个正整数1,2,•••〃中任意取出两个不同的数，若取出

的两数之和等于5的概率为‘，则"=________.

14

【答案】8

解析：由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，.•.在〃个数中任意取出

两个不同的数的总情况应该是1)=28,：.n=8.

考点：(1)10.5.2古典概型的概率问题：

难度：B

备注：高频考点

17.(2012高考数学新课标理科)某个部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或

元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：

小时)均服从正态分布N(1000,SO。)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使

用寿命超过1000小时的概率为

_3

【答案】-

8

解析：三个电/元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50b

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=；

设A=｛超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常),B=｛超过1000小时时，元件3

正常｝,C=｛该部件的使用寿命超过1000小时｝则

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P(A)=l-(l-p)2=］，

4

而P(B)=；.

313

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=-x-=-

428

考点：(1)10.4.3互斥事件、对立事件的概率：(2)10.9.2相互独立事件的概率；(3)

10.9.7服从正态分布的概率计算

难度：B

备注：高频考点

三、解答题

18.（2020年高考数学课标I卷理科）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累

计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮

空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两

人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比

赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为义，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率;

（3）求丙最终获胜的概率.

137

【答案】（1）—;（2）—；（3）—.

16416

1

【解析】（1）记事件M:甲连胜四场，则尸（M）=

（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件。为丙输,

则四局内结束比赛的概率为

P=P（A8A8）+P（AC4C）+P（BCBC）+P（BA3A）=4x（g）=；

3

所以，需耍进行第五场比赛的概率为P=l-P'=-；

4

（3）记事件A为甲输，事件3为乙输，事件C为因输,

记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，

则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC.BCBAC,

所以，甲赢概率为=+7x（1）=*•

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，

o7

所以丙赢的概率为P（N）=l-2x^=布.

【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考

查计算能力，属于中等题.

19.（2019年高考数学课标全国U卷理科）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成

10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学

进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的

结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

⑴求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【答案】⑴0.5；⑵0.1.

【官方解析】

（1）X=2就是10:10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或

者均由乙得分.因此P（X=2）=0.5x0.4+（1—0.5）x（l-0.4）=0.5.

（2）X=4且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的

得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.

因此所求概率为

[0.5x（l-0.4）+（1-0.5）x0.4]x0.5x0.4=0.1.

【分析】

（1）本题首先可以通过题意推导出P（X=2）所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”,

然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；

（2）本题首先可以通过题意推导出P（X=4）所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两

球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.

【解析】。）由题意可知，所包含的事件为''甲连赢两球或乙连赢两球”，

所以.

（2）由题意可知，P（X=4）包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分"

所以.

【点评】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题

的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题.

20.(2019年高考数学课标全国I卷理科)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道

哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对

比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，

再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试

验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定，对于每轮试验，若施以甲

药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠

治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种

药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为c和£,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，P,々=0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0,ps=1,p,=apiA+bpt+cpM

(i=l,2,,7).

其中a=P(X=—1),b=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,£=0.8.

⑴证明：｛Pm—pJ(i=0』,2,,7)为等比数列；

(ii)求并根据Pq的值解释这种试验方案的合理性.

【答案】(1)解：X的所有可能取值为一1,0,1,

p(X=—1)=(1—2)4，P(X=0)=邮+(1—a)(l—£),P(X=l)=a(l-/7).

所以X的分布列为

X-101

p(1一。)£加+(1—a)(l—4)

(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此Pj=0.4/2,+0.5Pi+Q.lpM,故0.l(p,.+1-p,)=0.4(p,.-p,_,),即

PHI-Pi=4(Pi-Pi).

又因为P/PO=PIHO,所以.}«=(),1,2,,7)为公比为4,首项为P1的等比数

列.

(ii)由(i)可得

48-1

+

Pi=Pg-Pl+Pl-P6+Pl-Po+PO=(。8一。7)+(27一口6)++(P「%)=工—Pl

由于P8=l，故P]=f3-，所以

82148-1

/、、、44-11

PA=（P4-P3）+（P3-02）+（P2一回）+（PI一％）=-^—PI=—■

P4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治

愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为04=击土0.0039,此时得出错误结论的概率非

常小，说明这种试验方案合理.

21.（2018年高考数学课标II卷（理））（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投

资额y（单位：亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量r的两个线性回归模

型.根据2000年至2016年的数据（时间变量f的值依次为1,2,,17）建立模型①：

j=-30.4+13.5f；根据2010年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,,7）建立模

型②：y=99+17.5z.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

【答案】解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y=-30.4+13.5xl9=226.1（彳乙元）.

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

3=99+17.5x9=256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

J,=-30.4+13勺上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好

地描述环境基础设施投资额，的变化趋势.2010年至2016年的数据对应的点位于一条直

线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，，利用

2010年至2016年的数据建立的线性模型»=99+173可以较好地描述2010年以后的环境

基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.

(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预

测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用

模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得分.

22.(2018年高考数学课标卷1(理))(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一

箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，

先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设

每件产品为不合格品的概率都为〃(0<〃<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求/(p)的最大值点Po.

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的P。作为p的值.己

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支

付25元的赔偿费用.

⑴若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】解析：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为/5)=亡0〃2(1-〃尸.

因此f'(p)=C；°[2p(l-—18.2(1-p)q=2C；°M1-P)"d-10p).

令/'(P)=。，得p=0.L当pe(0,0.1)时，f'(p)>0；当pe(0.1,l)时,f'(p)<0.

所以/(p)的最大值点为

(2)由(1)知,p=0.1.

(i)令y表示余下的iso件产品中的不合格品件数，依题意知丫：8(180,0.1),

X=20x2+25?,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25/)=40+25EK=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

23.(2017年高考数学新课标I卷理科)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检

验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：).根据长期生产经验,

可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.

（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的

数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产

过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得,，其中为抽取的第个零件的尺寸,.

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天

的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）.

附：若随机变量服从正态分布，贝I,,.

【答案】（1）,；（2）详见解析.

【分析】（1）根据题设条件知一个零件尺寸在之内的概率为，则零件的尺寸在之外的概率为,

而,进而可以求出的数学期望.（2）⑴判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天

内抽取的个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率大还是小,若小即合理；（ii）根据题设条件

题出的估计值和的估计值,剔除之外的数据,算出剩下数据的平均数，即为的估计值,剔除之

外的数据,剩下数据的样本方法,即为的估计值.

【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在之外的概

率为O0026

故.因此.

的数学期望为.

（2）⑴如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有，一天内抽取的16个零件中，出

现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有

理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行

检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需

对当天的生产过程进行检查.

剔除之外的数据9.22,剩下数据的平均数为

因此的估计值为

剔除之外的数据,剩下数据的样本方差为,因此的估计值为.

【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.

【点评】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平，求

解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机

变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的

分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的

原则.

24.（2017年高考数学课标IH卷理科）某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本

每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据

往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:。C）有关.如果最高气温不低于25,需求

量为500瓶;如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求

量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下

面的频数分布表：

最[10,15[15,20[20,25[25,30[30,35[35,40

高))))))

气

温

天216362574

数

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位:瓶）的分布列；

（H）设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量

n（单位:瓶）为多少时,丫的数学期望达到最大值？

【答案】（I）分布列略；（II）n=300时,丫的数学期望达到最大值,最大值为520元.

【解析】（1）依题意可知的所有可能取值为

其中,，

所以的分布列为

X200300500

122

P———

555

（2）①当时:，此时，当时取到.

②当时：

若，则，

若时，则

若时,则

的分布列为

X800-2n2n

j_22

P

5

此时，当时取到.

③当时,若，则

若时,则

若时,则

的分布列为

X800-2n1200-2/12n

122

p———

555

二阮）

④当时，易知一定小于③的情况.

综上,当为瓶时,的数学期望达到最大值.

【考点】离散型随机变量的分布列;数学期望；

【点评】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率;要理解

两种特殊的概率分布一一两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是0=1,2,）;

二是检验分布列的正误.

25.（2016高考数学课标H卷理科）（本题满分12分）某险种的基本保费为"（单位：元），继续

购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如

下:

上年度出险次

01234>5

数

0.85。1.25a1.15a

保费a1.5a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

⑴求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(川)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

3

【答案】(1)0.55；(2)—；(3)

【解析】(I)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当

且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(II)设3表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当

旦仅当•年内出险次数大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15,

P(AB)P(B)().15_3

又「(B|A)

P(A)-P(A)~055-TT

3

因此所求概率为二.

11

(III)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为

X0.85aCl1.25a\.5a1.75a2a

P0.300.150.200.200.100.05

E(X)=0.85a?0.30a?0.151.25a?0.201.5a?0.201.75。仓。10+勿0.05=1.23a

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：工也=1.23.

a

26.(2016高考数学课标I卷理科)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使

用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，

每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机

器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的

易损零件数，得下面柱状图：

891011更换的易损零件数

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记

X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器的同时购买的易损零

件数.

⑴求X的分布列；

（II）若要求P（X4〃）20.5,确定〃的最小值；

（川）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一，应选

用哪个？

【答案】⑴

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

（II）19（川）〃=19

【官方解答】⑴由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器三年内需更换的易损零件数为

8,9,10,11的概率分别为O2,0.4,0.2,0.2.从而

p（X=16）=0.2x0.2=0.04,P（X=17）=2x0.2x0.4=0.16,

X=18）=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24

p（X=19）=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24,

P（X=20）=2x0.4x0.2+0.2x0.2=0.2

P（x=21）=2x0.2x0.2+0.2x0.2=0.08，P（x=22）=0.2x0.2=0.（M

所以X的分布列为

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

(II)由⑴得尸(xW18)=0.44,P(xW19)=0.68,故〃的最小值为19

(川)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)

当”=19时，

£r=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08+(19x200+3x500)xO.(M=4040

当“=20时，

Er=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

要令P(xW“)20.5,0.04+0.16+0.24<0.5,+0.16+0.24+0.24三0.5

则〃的最小值为19

可知当〃=19时所需要的费用的期望小于当〃=20时所需要的求用的期望.•.故应选

〃=19

【民间解答】⑴每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件A,.为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)

记事件先为第二台机器3年内换掉z+7个零件(j=1,2,3,4)

由题知P(A)=P(A)=P(A)=P(4)=P(4)=P(&)=0.2,

P(&)=P⑻=0.4

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X

则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22

p（x=16）=P⑷P（4）=02x0.2=0.04

p（X=17）=P（A）P（3j+P（A2）P（4）=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16

P（X=18）=P（A）P（4）+P（4）P（B2）+P（A,）P（4）=0.2X0.2+0.2X0.2+0.4X0.4=0.24

P（X=19）=P（A）P（鸟）+P（4）P（员）+P（4）P（52）+P（A,）P（4）

=0.2X0.2+0.2X0.2+0.4X0.2+0.2X0.4=0.24

P（X=20）=P（4）P（8j+P（A）P⑻+P（A）/J（82）=04X0.2+0.2X0.4+0.2X0.2=0.2

P（x=21）=P（$）P（6）+P（A,）2闯=0.2x0.2+0.2x0.2=0.08

P（x=22）=P（4）P⑸=0.2x0.2=0.04

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

⑵要令P（xW〃）N0.5，0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.240.5

则”的最小值为19.

⑶购买零件所需费用含两部分：

一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用

当”=19时，费用的期望为19x200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4040

当〃=20时，费用的期望为20x200+500x0.08+1000x0.04=4080

所以应选用〃=19.

27.（2015高考数学新课标2理科）（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,

3两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度

评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

如也区8地区

4

5

6

7

8

9

(H)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于8地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的

评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的

概率.

【答案】(1)详见解析;(II)0.48.

解析：(I)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均

值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.

(II)记Cm表示事件：“A