3.8 弧长及扇形面积（7大题型）（分层练习）（解析版）

第3章圆的基本性质3.8弧长及扇形面积（7大题型）分层练习考查题型一求弧长1．（2023春·湖南常德·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C是半径为6的上的三点．如果，那么的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可；【详解】解：如图，连接，

∵，∴，∵，∴的长是：，故选：C．【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式．2．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：四边形内接于，，，，的长．故选：．【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．（2023·河南周口·校联考三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，与网格分别交于格点B，C，交其中一条网格线于点A，则的长为

【答案】【分析】取格点O，连接，由，推出为等边三角形，得到，利用弧长公式计算即可．【详解】如解图，取格点O，连接，∵，∴点O为所在圆的圆心，∵为的半径，∴，由网格可知，，∴垂直平分，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，由弧长公式可得的长为，

故答案为：．【点睛】此题考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，正确取格点O，得到等边三角形解决问题是解题的关键．4．（2023·浙江·九年级假期作业）圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于．【答案】2π【分析】设扇形的半径是，先根据扇形面积计算公式求得，再根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：设扇形的半径是，由题意得：，解得：，∴扇形的弧长＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算等知识点，掌握扇形面积计算公式，弧长的计算公式是解答本题的关键．5．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．

(1)求证：；(2)连结、，若，的半径为2，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；（2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】（1）证：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵的半径为2，∴．

【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．考查题型二求扇形面积1．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可【详解】解：设扇形的半径为r，由题意得，，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可．【详解】解：由题意可得：，解得，故选：B【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键．3．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为．【答案】【分析】根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案；【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握．4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是．

【答案】【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【详解】设扇形的半径为，则解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图问题，解答本题的关键是确定“底面周长=展开图的弧长”这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．5．（2022秋·九年级单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径．【答案】18【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案．【详解】解：设弧所在的圆的半径为，由弧长公式得：，解得：，弧所在的圆的半径为18．【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．考查题型三求圆心角1．（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．【详解】解：设，，，解得：，圆心角的度数为：故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．2．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州中学校考阶段练习）若圆锥的底面圆半径是，圆锥的侧面展开图是一个半径为扇形，则此扇形的圆心角为（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长进行求解即可．【详解】解：设这个圆心角度数为n°，由题意得：，解得，故选C．【点睛】本题主要考查了求扇形圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长是解题的关键．3．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为度．

【答案】【分析】由题意得：，，设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，则，进行计算即可得．【详解】解：如图，

由题意得：，，设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，则，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．4．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是．【答案】/210度【分析】用圆的周长减去已知扇形弧长，求出另一个扇形的弧长，设另一个扇形的圆心角为，利用弧长公式求解．【详解】解：∵圆的周长为，∴另一个扇形的弧长为，设另一个扇形的圆心角为，根据弧长公式得，解得，即另一个扇形的圆心角度数为．故答案为：．【点睛】本题考查扇形的圆心角、弧长，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．5．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？【答案】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：，，∴．∴这个圆心角为．【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键．考查题型四求某点的弧形运动路径长1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有角的直角三角板中，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（）A． B．2π C． D．【答案】C【分析】连接，由垂径定理知，则点P在以为直径的上运动，设与交于点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接，∵点P为的中点，∴，∴点P在以为直径的上运动，设与交于点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长，∵，的半径为8，∴，，∴点P所经过的路径长为，故选：C．【点睛】本题主要考查了动点的运动轨迹，垂径定理，圆周角定理等知识，确定点P的运动路径是解题的关键．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）中，，，若将绕点B旋转，则顶点C运动的路径长是．【答案】或【分析】顶点C运动的路线长是就是以点B为圆心，为半径所旋转的弧，根据弧长公式即可求得．【详解】解：当时，∵，，∴，∴顶点C运动的路线长是；当时，∵，，∴，∴顶点C运动的路线长是；故答案为：或．【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．4．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为．【答案】【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【详解】解：,,转动一次的路线长是：转动第二次的路线长是：转动第三次的路线长是：转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点转动四次经过的路线长为：,顶点转动四次经过的路线长为：故答案为：【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．5．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，．(1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留）(2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，根据弧长公式即可求解；（2）如图，找出点的完整运动路径是由三段组成，分别求出面积即可求解．【详解】（1）解：由图①到图②：．（2）解：如图，，，．答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是．【点睛】本题考查旋转产生的点的路径问题，重点考查了弧长公式，掌握弧长公式，并能找出点的运动路径是解题的关键．考查题型五求扇形面积1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．2．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据计算即可．【详解】故选：D．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．3．（2023春·吉林长春·九年级长春外国语学校校考开学考试）如图，在中，，，，点E为的中点，以E为圆心，线段的长为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为．

【答案】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，最后根据扇形面积公式计算．【详解】解：∵，，∴，又∵，点E为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积计算，三角形内角和定理及外角性质，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．4．（2023·吉林松原·统考一模）如图所示，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）

【答案】【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．【详解】解：四边形是矩形，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．(1)求另外两个扇形的圆心角；(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．【答案】(1)和(2)【分析】（1）设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，根据周角为，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数；（2）利用扇形面积公式计算即可．【详解】（1）解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，由题意得：，解得：，另外两个扇形的圆心角分别为：答：另外两个扇形的圆心角分别为和．（2）解：由扇形面积公式得：，答：圆心角为的扇形的面积．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键．考查题型六求弓形面积1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，

∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．2．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，再根据即可得到解答．【详解】解：∵扇形，∴，又∵，∴为大圆的直径，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为结果保留．

【答案】/【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：连接、，过点作于点，

由题意可知：，，为等边三角形，，，，，，，，阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．4．（2022春·九年级课时练习）如图，点A，B，C，在半径为6的圆上，∠ACB=45°，则图中阴影部分的面积为（结果保留）．【答案】9π-18/-18+9π【分析】根据圆周角定理求出∠BOA，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：连接OA、OB，由圆周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA为等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积=-×6×6=9π-18，故答案为：9π-18．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5．（2022秋·安徽淮南·九年级淮南实验中学校考阶段练习）如图所示，以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．(1)求证：；(2)若，，求阴影部分弓形的面积．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）要证明，则要证明，由平行四边形的性质以及半径相等能够证明之；（2）先证明是等边三角形，利用，即可得到结论．【详解】（1）证明：连接．∵A为圆心，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴是等边三角形，过点A作于点H，则，∴，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识点的应用，关键是求出．考查题型七求其他不规则图形的面积1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转的性质知，则，，再根据进行计算即可得到答案．【详解】解：在中，，，，根据旋转的性质知，则，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，利用勾股定理求出，根据，计算即可．【详解】解：如图，连接，

四边形是平行四边形，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．3．（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，边长为2的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积是．

【答案】【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积解题即可．【详解】解：∵正方形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查利用扇形面积求阴影面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．【详解】解：正方形，∴，，∴，∵正方形的边长为2，∴∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，故答案为：．【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．5．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．

(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直线，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图所示，连结，

∵，，∴是等边三角形，∵，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．1．（2023·湖南永州·校考二模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可求，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．【详解】解：，，，，，，是等边三角形，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握性质及公式是解题的关键．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，若，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据，得，再根据圆周角定理得，即可求出答案．【详解】解：如图，连接，

，，，，，，的长为，故选：B．【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练记住弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）是关键．3．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，以B为圆心，长为半径画弧，交于点D．则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形可知阴影部分的面积，由此可解．【详解】解：中，，∴，∴，，∴阴影部分的面积．故选B．【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，解题的关键是掌握扇形的面积公式．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是()

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，，则，∴．故选：A．【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．5．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，以为直径的与相交于点E，与相交于点F，，已知，，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可．【详解】如图，连接，

∵为的直径，∴，∵，∴，∵平行四边形，，∴，∴，∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，平行四边形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式，圆周角定理是解题的关键．6．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（结果保留）．

【答案】【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：正五边形的内角和，，，故答案为：．【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．7．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，在矩形中，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径画弧，交于点E，若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】连接交于点F，利用矩形的性质证明，可得，进而可得，即可求解．【详解】如图，连接交于点F，∵四边形是矩形，∴，∵点O为的中点，点E为的中点，∴，

在和中，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，证明是解题关键．8．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）如图，用一个直径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）

【答案】5π【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，牢记弧长公式是解答本题的关键．9．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，以AB为直径作，与交于点D，BC与交于点，过点作，且，连接，，①的长为；②．

【答案】【分析】①连接、，由圆周角定理得出，即，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用圆周角定理得出，再根据弧长公式即可求出的长；②连接，证明是等腰直角三角形，求出．由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，进而得出，利用证明，得出．【详解】解：①如图，连接、．为的直径，，即，，，，．，，的长为．

故答案为：；②如图，连接，为的直径，，，是等腰直角三角形，．，，，，．在和中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，弧长的计算，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟练掌握各定理与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在扇形中，，，将扇形沿射线方向平移得到对应的扇形，交于点，若点恰好为弧的点，则图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】根据平移的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系求出，再根据图形中的面积关系进行计算即可求解.【详解】解：如图，连接，过点N作于点F，由平移可知，四边形是平行四边形，

∵点P是的中点，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴=.故答案为：.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求阴影部分的面积；【答案】(1)与相切，理由见解析(2)阴影部分的面积为【分析】（1）连接，如图，先利用为的中位线得到，再证明，接着证明得到，然后利用直线与圆的位置关系可判断为的切线；（2）先计算出，，则根据圆周角定理得到，接着利用，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分图形的面积等于扇形面积减去三角形面积进行计算．【详解】（1）解：与相切，理由如下：连接，，如图：

是中点，为的中点，为的中位线，，，，，，，在和中，，，，，且为半径，为的切线．（2）解：，，，，，∴在中，，∴，则，即的半径为，，，∴，设与交于点，∴，，∴，则，∵，，∴，阴影部分图形的面积，∴，∴阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，切线的证明方法，含角的直角三角形三边的关系、圆周角和扇形的面积公式等知识是解题的关键．12．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽，水最深，

(1)求圆的半径.(2)求阴影部分的面积.【答案】(1)8厘米(2)【分析】（1）设圆形切面的半径为r，过点O作于点D，交于点E，由垂径定理可求出的长，再根据最深地方的高度是得出的长，根据勾股定理即可求出的长．（2）先求得此时的水管半径，再求和，然后根据即可求得．【详解】（1）设圆形切面的半径，过点O作于点D，交于点E，

则最深地方的高度是，，在中，，即，解得.即圆的半径是；（2）在中，，，，.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答．13．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）在长方形中，弧是以为圆心的一段圆弧，．

求：(1)用含有的代数式表示阴影部分的面积；(2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由矩形的性质和弧是以为圆心的一段