湖北省宜昌市点军区天问学校2023-2024学年数学九年级上册期末经典模拟试题含解析

湖北省宜昌市点军区天间学校2023-2024学年数学九上期末经典模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.已知一个单位向量e，设a、8是非零向量，那么下列等式中正确的是（）.

1rr,r,rr

A..\e\a=a.D.

BC.印力’

2.关于x的一元二次方程,加一1=。的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.不能确定

3.下列关系式中，是反比例函数的是（)

kx=一变5

A.y一1B.y—&C.D.—=1

Xy3X

4.抛物线,=/+4%+3的对称轴是（)

A.直线x=lB.直线％二—1

C.直线％=—2D.直线x=2

5.如图，保持AABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘-1,画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角

形的关系是（）

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位

D.将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位

6.如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”.摩天轮是一个圆形，直径AB垂直水平地

面于点C,最低点B离地面的距离BC为L6米.某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D仰着头看见摩天轮

的圆心时，仰角为37",为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D，，当洋洋坐的桥厢F与圆心O在

同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为42。，已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位

置与摩天轮在同一平面上,则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是（）

（参考数据：sin37°M.6O,tan37M）.75,sin42°M.67,tan420=：0.90）

A.118.8米B.127.6米C.134.4米D.140.2米

7.将二次函数y=f-4x+3通过配方可化为y=a（x-/z）2+Z的形式，结果为（）

A.y=（x-2）2-lB.y=（x-2）123+3

C.y=（x+2）?+3D.y=（x+2）2-l

8.关于x的一元二次方程依2+笈+g=（）有一个根是-i,若二次函数丫=奴2+法+（的图象的顶点在第一象限，

设t=2a+或贝卄的取值范围是（）

11,/1,11

A.—</<—B.-—C.----4/<—D.—1</<—

424222

9.在同一时刻，身高1.5米的小红在阳光下的影长2米，则影长为6米的大树的高是（）

A.4.5米B.8米C.5米D.5.5米

10.如图，在3x3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰2个白色小正方形（每个白色小正

方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（）

41

D.-

153

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，OO的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.如果NB=60。，AC=6,那么CD的长为.

D

12.如图，是一个立体图形的三种视图，则这个立体图形的体积为

13.若x:y=5:2,贝!|(x+y):y的值是.

14.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30。，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45。，已知

甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是m（结果保留根号）

15.小球在如图6所示的地板上自由滚动,并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是一.

I■■I

16.在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有

名同学.

17.如图,A、B、。是。O上的点，若NAOB=1（X）,则NACB=_________度.

18.分解因式：a2-9=

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，已知AB是，。的直径，弦CD丄A6于点E，AM是ACE＞的外角ND4尸的平分线.求证：AM

是。的切线.

20.（6分）如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的

B处，往东航行2（）海里后到达该岛南偏西30。的C处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危

险.

21.（6分）解方程：

（1）X2+4X-1=0

（2）（X-2）2-3X（X-2）=0

22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABC。在第一象限内，A8〃x轴，点A的坐标为（5,4）

经过点。、点C作直线/,将直线/沿y轴上下平移.

（1）当直线/与正方形A8C。只有一个公共点时，求直线/的解析式；

（2）当直线/在平移过程中恰好平分正方形45。）的面积时，直线/分别与x轴、y轴相交于点E、点尸，连接8E、

BF,求A8EF的面积.

m

23.(8分)如图，A(8,6)是反比例函数y=—(x>0)在第一象限图象上一点，连接OA,过A作AB〃x轴，且AB=

X

OA(B在A右侧)，直线OB交反比例函数y=—的图象于点M

X

ni

⑴求反比例函数y=-的表达式；

x

⑵求点M的坐标；

⑶设直线AM关系式为y=nx+b,观察图象，请直接写出不等式nx+b-一口的解集.

X

24.(8分)如图，是半圆。的直径，。是弧4C的中点，四边形A8CD的对角线AC、BD交于点E.

(1)求证：ADCESADBC；

(2)若CE=石，CD=2,求直径8c的长.

25.(10分)在平面直角坐标系中，已知AO=A5=5,B(6,0).

(1)如图1,求sinNAOB的值.

(2)把AQ4B绕着点3顺时针旋转，点。、A旋转后对应的点分别为A/、N.

①当”恰好落在84的延长线上时，如图2,求出点M、N的坐标.

②若点C是0B的中点，点尸是线段上的动点，如图3,在旋转过程中，请直接写出线段CP长的取值范围.

k

26.(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数％=ax+b的图象与反比例函数丫2=1的图象交于点A(l,2)和

B(-2,m).

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）请直接写出力>丫2时，X的取值范围；

（3）过点B作BE//X轴，AD丄BE于点D,点C是直线BE上一点，若AC=2CD,求点C的坐标.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【分析】长度不为（）的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注

意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解.

【详解】解：A、左边得出的是。的方向不是单位向量，故错误；

8、符合向量的长度及方向，正确；

C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

。、左边得出的是"的方向，右边得出的是。的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量的性质.

2、A

【分析】根据根的判别式即可求解判断.

【详解】•.•△=b2-4ac=m2+4>0,故方程有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知判别式的性质.

3、C

【解析】反比例函数的一般形式是y=&（片0）.

x

【详解】解：A、当k=0时，该函数不是反比例函数，故本选项错误；

B、该函数是正比例函数，故本选项错误；

也

C、由原函数变形得到y-工，符合反比例函数的定义，故本选项正确；

x

D、只有一个变量，它不是函数关系式，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考査了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k#））,反比例函数的一般形

式是y=—（厚0）.

x

4、C

h

【解析】用对称轴公式x=-丁即可得出答案.

2a

h4

【详解】抛物线y=f+4x+3的对称轴“=一二=-----=-2,

2a2x1

故选：C.

【点睛】

本题考査了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键.

5、A

【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于x轴对称.

【详解】解:\•纵坐标乘以-1,

.••变化前后纵坐标互为相反数，

又•.•横坐标不变，

二所得三角形与原三角形关于x轴对称.

故选：A.

【点睛】

本题考査平面直角坐标系中对称点的规律.解题关键是掌握好对称点的坐标规律：（D关于x轴对称的点，横坐标相

同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标

与纵坐标都互为相反数.

6、B

【分析】连接EB,根据已知条件得到E',E,B在同一条直线上，且E'B丄AC,过F做FH丄BE于H,则四边形

BOFH是正方形，求得BH=FH=OB,设AO=OB=r,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：连接EB,

VD,E,=DE=BC=1.6

AESE,B在同一条直线上，且E，B丄AC,

过F做FH丄BE于H,

则四边形BOFH是正方形，

.♦.BH=FH=OB,

设AO=OB=r,

；.FH=BH=r,

VZOEB=37°,

OB

tan37°=-----=0.75,

BE

4

BE=—r,

3

1

.\EH=BD-BH=-r,

3

•・・EE'=DD'=49,

1

・・・E'H=49+—r,

3

VNFE'H=42。，

FH_r

...tan42°=而=49+丄,

3

解得r=63,

二AC=2x63+1.6=127.6米,

故选：B.

【点睛】

本题考查了解直角三角形一一仰角与俯角问题，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

7、A

【分析】根据完全平方公式：〃+2而+〃=（〃+9-配方即可.

【详解】解：y=f一叙+3

=x2-4x+4-l

=（x—21—1

故选A.

【点睛】

此题考查的是利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，掌握完全平方公式是解决此题的关键.

8、D

19/—10/10

【分析】二次函数的图象过点（一1,0）,则。一人+丄=0,而t=2a+-则〃=丄」，8二次函数的图象

266

的顶点在第一象限，贝j-2>o,>o,即可求解.

2a24a

【详解】••,关于x的一元二次方程ax2+bx+-=0有一个根是-1,

2

...二次函数丁=奴2+笈+：的图象过点（一1,0）,

ci—bH——09

2

・・b=aT,t—2。+b,

2

.2,—1.2t+2

则a=------,b=------,

66

•.•二次函数y=ax2+bx+^的图象的顶点在第一象限，

T八丄.丄〉0,

24a

2f-1727+2|m,1

将。=-----，b=------代入上式得:

66

2l+2

61

得

>o解<<-

竺2

2二

X6一

(2f+2y

1'A丿1

--一系一p>0,解得：或1</<3,

24(空当2

6

故：-1</<-,

2

故选D.

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与。的关系，以及二次函数与方程之间的转换,

根的判别式的熟练运用

9、A

【解析】根据同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得.

【详解】如图，由题意可得：AG=L5，AG=2,AC=6,AAgG~A46C

4G_AC1.5AC

由相似三角形的性质得:

丽，,即万=工

解得：AC=4.5（米）

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，理解题意，将问题转化为利用相似三角形的性质求解是解题关键.

10、C

【分析】根据题目意思我们可以得出总共有15种可能，而能构成轴对称图形的可能有4种，然后根据概率公式可计算

出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率.

【详解】解：如图所示

可以涂成黑色的组合有:

1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；

4,5；4,6；5,6；

一共有15种可能

构成黑色部分的图形是轴对称图形的：1,4；3,6；2,3；4,5；

4

...构成黑色部分的图形是轴对称图形的概率：—

故选：C.

【点睛】

此题主要考查的是利用轴对称设计图案，正确得出所有组合是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、6

【分析】由AB是。。的直径，根据由垂径定理得出AD=AC,进而利用等边三角形的判定和性质求得答案.

【详解】解：连接AD,

的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,

.*.AD=AC,

VZB=60°,

.,.△ACD是等边三角形，

VAC=6,

/.CD=AC=6.

故答案为：6.

【点睛】

此题考查了垂径定理以及等边三角形数的判定与性质.注意由垂径定理得出AD=AC是关键.

12、128万

【分析】根据该立体图形的三视图可判断该立体图形为圆柱，且底面直径为8,高为8,根据圆柱的体积公式即可得答

案.

【详解】•••该立体图形的三视图为两个正方形和一个圆，

二该立体图形为圆柱，且底面直径为8,高为8,

这个立体图形的体积为乃X42X8=128万，

故答案为：128万

【点睛】

本题考查由三视图判断几何体；利用该几何体的三视图得到该几何体底面半径、高是解题的关键.

13.1

2

【分析】根据合比性质：孚=*,可得答案.

babcl

y5+27

【详解】由合比性质，得一-=—=

>,22

7

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键.

14、406

【解析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD,再利用锐角三角函数关系即可得出答案.

【详解】解：由题意可得：ZBDA=45°,

贝！JAB=AD=120m,

又•.,NCAD=30°,

...在RtAADC中，

tanZCDA=tan30°=-^^=^~，

AD3

解得：CD=40百(m),

故答案为40G.

【点睛】

CD

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tanNCDA=tan300=—是解题关键.

AD

15、3

5

【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论.

3

【详解】由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，所以它停在白色地砖上的概率=,.

考点：概率.

16、1

【解析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送

10份小礼品”，列出关于X的一元二次方程，解之即可.

【详解】解：设参加聚会的有x名学生，

根据题意得：

x(x-l)=110,

解得：x,=11,X2=-10(舍去)，

即参加聚会的有1名同学，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键.

17、130°.

【分析】

在优弧AB上取点D,连接AD,BD,根据圆周角定理先求出NADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解

即可.

【详解】

在优弧AB上取点D,连接AD,BD,

VZAOB=100o,

:.ZADB=—ZAOB=50。，

2

AZACB=1800-ZADB=130°.

故答案为130°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键.

18、(a+3)(a-3)

【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进

行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.先把式子写成a432,符合平方差公式的特点，再利用平方差公

式分解因式.

a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).

故答案为(a+3)(a-3).

考点：因式分解-运用公式法.

三、解答题(共66分)

19、见解析

【分析】根据垂径定理可证明NBAD=L/CAD,再结合角平分线的性质可得NDAM='NDAF,由此可证明

22

NOAM=9()。，即可证明AM是二。的切线.

【详解】证明：丄CD,A3是。。的直径，

-"­BC=BD，

.,.ZBAD=-ZCAD,

2

AM是NZMF的角平分线，

/.ZDAM=-ZDAF,

2

VZCAD+ZDAF=180°,

：.ZOAM=ZBAD+ZDAM=90°,

J.OAA.AM,

.,.AM是。。的切线，

【点睛】

本题考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理.理解“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是解

决此题的关键.

20、无触礁的危险，理由见解析

【分析】作高AD,由题意可得NACD=60°,NABC=30°,进而得出NABC=NBAC=30°,于是AC=BC=20海里,

在RtaADC中，利用直角三角形的边角关系，求出AD与15海里比较即可.

【详解】解：过点A作AD丄BC,垂足为D

BAC=3O°=NABC

.,.BC=AC=20

Asin60°=空

AD=20xsin60=10V3>15

所以货船在航行途中无触礁的危险.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确作出高线是解题的

关键.

21、(1)百=-2+6，X,--2-45;(2)xi=2,X2=-l.

【分析】(1)方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；

(2)提取公因式化为积的形式，然后利用两因式相乘积为0,两因式中至少有一个为0,转化为两个一元一次方程来

求解.

【详解】解：(D方程整理得：f+4x=i,

配方得：为2+4%+4=5,

即(x+2)2=5,

开方得：x+2=士也,

解得：\=-2+75,赴=-2-6；

(2)方程变形得：(x-2)[(x-2)-3x]=0,

即(x-2)(-2x-2)=0,

即x—2=0或—2x—2=0,

解得X]=2,W=-1.

【点睛】

本题考查解一元二次方程.熟练掌握解一元二次方程的方法，并能结合实际情况选择合适的方法是解决此题的关键.

11327

22(1)y=-*+3或了=—x----；(2)一

22216

【分析】(1)根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线/的解析式，直线平移，斜率不变，

设平移后的直线方程为J=1x+b-,把点5和O的坐标代入进行解答即可；

(2)根据正方形是中心对称图形，当直线/经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABC。的面积，求得交点坐标，代

入根据待定系数法即可求得直线/的解析式，然后求得/?、尸的坐标，根据待定系数法求得直线BE的解

析式，得到与y轴的交点。的坐标，根据三角形面积公式即可求得.

【详解】(D•.•长为3的正方形A8CZ)中，点A的坐标为(5,4),

：.B(2,4),C(2,1),D(5,1),

设直线/的解析式为y=h,

把C(2,1)代入得，1=2A,解得&=；,

二直线/为：

设平移后的直线方程为

把点8的坐标代入，得：4=,x2+b,

2

解得b=3,

把点。的坐标代入，得：l=[X5+6,

2

3

解得：白=-7，

2

1]3

则平移后的直线/解析式为：y=]X+3或7=5X-于

(2)设AC和80的交点为P,

75

二尸点的坐标为(不，

22

1517

把尸点的坐标代入得，-=-x-+/>,

3

解得力=:，

4

13

此时直线/的解析式为7=一》+:，如图，

24

33

/.£(--,0),F(0,■—),

24

设直线BE的解析式为：y=mx+〃，

8

3m=—

——m+n=07

则《2解得:

12

2m+〃=4n=一

7

Q12

・，・直线8E的解析式为：y=,x+亍,

,12、

.*•Q(0,—),

7

12327

428

127327

:.△BE尸的面积=-x—x(—1•2)=—

228216

本题主要考査一次函数的图象的平移和正方形的性质的综合，掌握待定系数法和求直线和坐标轴的交点坐标是解题的

关键.

23、(l)y=—；(2)M(1,4)；(3)0V烂8或-1.

x

【分析】⑴根据待定系数法即可求得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=10,由AB〃x轴即可得点B的坐标，即可求得直线OB的解析式，然后联立方程求

得点M的坐标；

(3)根据A、M点的坐标，结合图象即可求得.

【详解】解：(1)TA(8,6)在反比例函数图象上

m

，6=—,即m=48,

8

48

，反比例函数y=的表达式为y=一；

x

(2)VA(8,6),作AC丄x轴，由勾股定理得OA=10,

VAB=OA,

.*.AB=10,

AB(18,6),

设直线OB的关系式为y=kx,

A6=18k,

1

Ak=-,

3

・・,直线OB的关系式为y=；x,

i

y=-x

3

由.，解得x=±l

_48

y

x

又•・,在第一象限

Ax=l

故M(L4)；

(3)：A(8,6),M(L4),

观察图象，不等式nx+b--WO的解集为：0VxW8或xNl.

【点睛】

本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点

的坐标.

24、（1）见解析；（2）2石

【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得NACD=NO5C,S.ZBDC=ZEDC,可证△OCEs2\o8C；

（2）由勾股定理可求OE=L由相似三角形的性质可求8c的长.

【详解】（1）丫。是弧AC的中点，

：•AD=CD，

：.ZACD=ZDBC,且N8OC=NEOC,

:厶DCEs^DBC；

(2)•.•BC是直径，

AZBDC=90°,

DE—JCEt-CD?=15-4=L

":ADCEs^DBC,

.DEEC

'"15C~~BC'

.1_>/5

••—,—,

2BC

：.BC=2y/5.

【点睛】

本题考査了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解答本题的关键.

4122437249

25、⑴)；(2)②N(F，《)；⑶-<CP<9

【解析】(1)作AH丄OB,根据正弦的定义即可求解；

(2)作MC丄OB,先求出直线AB解析式，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义求出M点坐标，根据MN〃OB,

求出N点坐标；

(3)由于点C是定点，点P随AABO旋转时的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆，故根据点和圆的位置关

系可知，当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长.又因为BP的

长因点D运动而改变，可先求BP长度的范围.由垂线段最短可知，当BP垂直MN时，BP最短，求得的BP代入

CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN,所以点P与M重合时，BP=BM最长，代入CP=BP+BC求CP的最大值.

【详解】(D作AH丄OB,

VAO=AB=5,B(6,0).

AH(3,5)

：•AH=3,AH=ylACP-OH2=4

AH4

sinZ.A.OB=------=—

AO5

(2)由(D得A(3,4),又仇6,0)

4

求得直线AB的解析式为：y=--x+8

•••旋转，/.MB=OB=6,

作MC丄OB,VAO=BO,

:.ZAOB=ZABO

424

二MC=MBsinZABO=6x-=

5y

2412

即M点的纵坐标为《，代入直线AB得x=不

—1224、

M(—,—),

55

VZNMB=ZAOB=ZABO

；.MN〃OB,又MN=AB=5,

则二+5=学

3724

二Mg,7

Jh