2023届黑龙江省齐齐哈尔市八校联合体高三年级上册期中考试数学试题

2023届黑龙江省齐齐哈尔市八校联合体高三上学期期中考试数学试

题

一、单选题

1.已知集合A=N2，＜16,XCN},B={-2,-1,0,1,2},则AB=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2,3}D.{0,4}

【答案】B

【分析】先解不等式化简集合A,再进行交集运算即可.

【详解】因为A=k|2，<16,xeN}=3x<4,xeN}={0,l,2,3},又8={—2,—1,0,1,2},

所以A8={0,1,2}.

故选：B.

2.已知复数2=含，则|2+3i|=()

A.72B.73C.A/6D.5/5

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算化简z,可得)与|5+3i|.

z=l-2i,z+3i=l+i,

所以|N+3i|=Jf+F=&,

故选：A.

3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥

【答案】D

【分析】设每个等边三角形的边长为厂，正六棱锥的高为〃，正六棱锥的侧棱长为/,由正六棱锥的

结构特征结合勾股定理可得斤+/=尸，进而可以得出结论.

【详解】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的

边长为『，正六棱锥的高为〃，正六棱锥的侧棱长为/,由正六棱锥的高〃、底面的半径「、侧棱长/

构成直角三角形得，序+产=广，故侧棱长/和底面正六边形的边长厂不可能相等.

故选：D.

4.已知数列｛4｝是等差数列，数列｛〃,｝是等比数列，%+4=粤，且优始“>=8,幺注含=()

兀c兀c冗c2兀

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】D

【分析】根据等差数列，等比数列的性质化简计算即得.

【详解】因为数列｛4｝是等差数列，%+%=2%=与，

2兀

所以4=w，。3+4+“13=3%=2兀，

因为数列也｝是等比数列，b也也、。=垃=8,

所以a=2,b4hg-\=bl=4-1=3,

故选：D.

24

5.在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=2,NO=刁-，点E在边CB的延长线上，若AE=4,AEAC=

().

A.4B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】用基底表示目标向量，根据向量的数量积运算，结合四边形的几何特点，即可求得结果.

【详解】根据题意，连接AC,作图如下：

因为笄，四边形。为平行四边形，7T

ND=ABC故可得NBCD=NEBA=-,

又4£=他=4,故三角形/WE为等边三角形,则跳;=4；

y.AE=AD+DC+CE=--CE-CD+CE=-tCE-CD,

33

AC=-CB-CD=--CE-CD,

3

C£2+CD2CDCf|cosZBCD

2“I,14,1/

=——x36+16——x4x6x—=4.

932

故选：A.

(兀、71

6.已知角a满足2sin|a-:|=tan二；•cosa,则sin2a+2cos2a的值为()

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换可得tana=2,然后利用二倍角公式结合齐次式即得.

71

【详解】因为2sin(a-方tan—cosa

12

所以sina=^2-V3jcosa

所以sina=2cosa,即tana=2,

匚匚2「八22sincrcoscr+2cos2a2tana+22x2+26

所以sin2a+2cosa=--------------------z--------=--------=-------=—•

sin~a+cos~atan-a+12~+15

故选：B.

7

7.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为9sA与圆锥底面所成角为45。.若ASAA的

O

面积为5小，则该圆锥的侧面积为().

A.20丘兀B.306兀C.40&乃D.50历兀

【答案】C

【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.

【详解】如图：其中。是底面圆心，设半径为r,则A0=r,

7____________/7T

cosZASB=-,.AASBe(0,sinZASB=<1-cos2ZASB=—,

88

由于SA,SB都是母线，所以SA=S5,

△SAB的面积S5.」&4.&8。访458」5仆@1=5后,&4=4百，

228

在等腰直角三角形SAO中，AO=r=—SA=2x/10,

2

所以侧面积=^542%r=40底》；

故选：C.

8.己知定义在R上的偶函数/(x)满足/口-野一/［工_£)=0,7(2022)=1,若"尤)>/'(一无)，

则不等式/(x+2)>/的解集为()

A.(-8,0)B.(fl)C.(l,+oo)D.(3,+oo)

【答案】C

【分析】构造g(x)=e"(x),利用己知可得函数的单调性，利用周期性求出g(3)=e3〃3)=e2,化

简已知不等式，利用单调性即得.

【详解】/(x)是定义在R上的偶函数，

.•.f(x)=/(—X),则r(x)=-r(—x),即r(x)是奇函数,

由/W>fX-x)=-f(x),可得/(x)+/(x)>0,

构造g(x)=e"(x),则g。)=ei[/(x)+r(x)]>0,

所以函数g(x)单调递增，

.-./(x)=/(-x+3)=/(-x),即f(x)的周期为3,

则/(2022)=/(3)=1,即e3/(2022)=e3/(3)=e2；

不等式f*+2)>?可化简为e*+2"x+2)>e?,即g(x+2)>g(3),

所以x+2>3,解得x>l.

故选：C

二、多选题

9.已知等比数列也｝各项均为正数，满足/96=16,f=6,记等比数列｛%｝的前〃项的积

为则当刀,取得最大值时，”=()

A.8B.9C.10D.11

【答案】CD

【分析】利用等比数列的性质求出。9,q，判断数列｛%｝的单调性，进而即得.

【详解】因为七必6=16,由等比数列的性质可得，

所以4；=%吗6=16,因为%>0,

所以“9=4,

4+%£即=1

因为

8

生十%a3+a48

所以4=；,

，1c.

"io=砧=4*5=2,%=a,oq=1,

因为0<q=g<l,a.>0,

所以等比数列｛%｝为递减数列,

所以当“212时，a„<\,

...当〃=10或〃=11时，7；取得最大值.

故选：CD

10.已知平面a=(3,4),6=(7/)，则下列结论正确的是()

A.a+b=(10,5)B.忖=10问

C.a(a-b)D.a与b的夹角为45。

【答案】AD

【解析】由条件根据向量代数形式的加法运算、模、共线定理和夹角公式分别进行判断，从而得出

结论.

【详解】根据向量的坐标运算易知A选项正确；

因为W=5后，同=5,所以选项B错误

因为q_6=(T,3),3X3N4X(T),所以C错误

,ab25夜

因为cos<a,6>=而雨=荻&=行-，所以。与匕的夹角为45。，D选项正确.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查向量代数形式的坐标运算、向量的平行、向量的模、向量的夹角和数量积运

算.

11.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如

图，大正方形A8C。由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1,E为

。尸的中点，则()

A.cosZEAD=—B.卜。+4同=折C.AE=-AD+-ABD.ABAE=-

511555

【答案】ABC

【分析】A.根据小正方形的边长为1,E为。尸的中点，得至IJAE=2,大正方形的边长为石EF交BC

于点G,得到］FG//HB,E为的中点，G为8c的中点求解判断；D.利用向量的数量积运算求解

判断.

【详解】因为小正方形的边长为1,E为OP的中点，所以A£=2,大正方形的边长为石，所以

cosNEAD=4^二」5,A正确；

AD5

\AD+AE|=yj(AD+AE)2=A/AB7+AE2+2AD-AE=y/n>B正确;

c

如图：'8,

延长£尸交8c于点G,则FG〃HB,尸为CH的中点，可得G为BC的中点，FG=-HB=-DE,

22

2222

2142

=AD+-AB+-CB=-AD+-ABC正确；

5555f

ABAE=AB-^AD+^AB^=^ADAB+^AB2=2,D错误.

故选：ABC

12.己知函数^=2$布"-30>°）在区间停乃）上有且仅有一个零点，则0的取值可以为（）

A.-B.-C.1D.2

43

【答案】BD

【分析】根据正弦函数的零点，结合x的取值范围，即可容易求得结果.

【详解】令2sin/s-g〕=0,则=丘丘Z,解得§卜，力

V3J3CD=--------,/：€Z

x

又因为女整万），故（H+E+l'eZ,

故心（%+：,3&+11,&€2,

又函数丫=2$吊（8-?［（0>0）在区间（?,1）上有且仅有一个零点，

故当左=0时，或当％=1时，”《（gw｝

2

结合选项可知：。可以为§或2.

故选：BD.

三、填空题

13.己知等比数列｛4｝的前"项和S"=；b3"T-l（4eR）,则20+'=.

【答案】9

【分析】根据等比数列的前〃项和公式的特点，结合已知条件，求得其首项和公比，再求结果即可.

【详解】因为当等比数列的公比4"时，S=3（1-0'）=_40,+4=_也尸+J

1-Q1—Q]—41—q1-q

又S,,=%3"T-1,故可得-普=㈤4=3,科-=一，解得q=2,2=3,

l-q\-q

故q=aq"'=2x3"T,S.=3"-1,贝lj2（"）=2^=9

%2x36

故答案为：9.

14.已知正方体ABC。-ABCA的棱长为⑺，点E为棱RG上一动点，点F为棱BB1上一动点，

且满足"=2,则三棱锥A-EFG体积取最大值时，则三棱锥片-EFG外接球的体积为.

【答案】y47r##|4n

【分析】根据正方体的性质可知NE87=NEC/=90。,进而利用直角三角形的性质得到外接球的球

心为EF的中点O,从而得到球的半径，利用球的体积公式即得.

【详解】取E尸的中点O,连接OG，Og,

由正方体的性质可得"G1平面BCQBi,

又；CFuBcqB],

AD.C,±C,F,即EQ-LG尸，

同理1

二ZEB,F=ZECIF=90°,

由直角三角形的性质可得OE=OF=OB.=OCt,

••.0为用-E/G的外接球的球心，EF为外接球的直径，

,:EF=2,

B「EFC,的外接球的半径恒为1,

•••三棱锥4-EFC,外接球的体积恒为与，

故答案为：~■

15.圣•索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已

有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单

位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任

何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座

建筑物A2,高为15(6-1)米，在它们之间的地面上的点M(8、M、。三点共线)处测得楼顶A和

教堂顶C的仰角分别是15。和60。，在楼顶4处测得塔顶C的仰角为30。，则小明估算索菲亚教堂的

高度为米.

【答案】306

【分析】根据已知条件，结合几何图形的特点，利用正余弦定理解三角形即可.

【详解】根据题意可得：AB=15(A/3-1),ZCAM=45°,ZCMA=105O,ZACM=30°,

A8AB15^5/3—1j

在三角形41仍中，sin15。=喘;，故可得=画浑万可=万千丁7赤石=300,

~TTT2-4^

CM30V2_CM

在三角形C4M中，由正弦定理可得：^――—=———,即一T-访，解得CM=60,

sinZ.ACMsin/.CAM--

22

在三角形COM中，sin60°=—：,故可得C£)=60x也=306.

CM2

即索菲亚教堂的高度为30

故答案为：30拒.

16.在平行四边形A8C。中，E是CO的中点，尸是线段8。上的一动点，若

__2-3x

AF=xAE+yDC(x>0,y>0)f则后1的最大值为.

【答案】旦

2

【分析】用基底表示向量A/，结合a£8三点共线求得xy的等量关系，利用消元法，结合均值

不等式，即可求得结果.

【详解】AF=xAE+yDC=x^AD+^AB^+yAB=^+y^AB+xAD,

因为。，尸,3三点共线，故可得：+y+x=l,即3x+2y=2,2-3x=2y,

2-3x="2y.=---<―=3==—1万

故方G2y由2y+「2E2,当且仅当2y=7,即八争户手时取得等

y\y

号.

即9言的最大值为立.

2y+12

故答案为：显

四、解答题

17.已知平面向量〃，6满足2〃+。=（2"?+5,4）,〃+36=（m+10,-3）,其中mwR.

⑴若a〃b,求实数加的值.

（2）若alb，若a+b与2A夹角的余弦值.

【答案】（1），"=一日

⑵-噜

【分析】（1）根据向量的坐标运算可得。=（加+1,3）,〃=（3,-2）,然后根据向量平行的坐标关系即

得；

（2）根据向量垂直的坐标表示可得m=1,然后利用向量夹角的坐标公式即得.

【详解】（1）因为2。+〃=（2根+5,4）,°+3。=（〃?+10,-3）,

所以5a=3（2々+。）一（。+3/?）=3（2桃+5,4）-（m+10,-3）=（5m+5/5）,

即。=（加+1,3）,

所以力=2々+人一2。=（2机+5,4）—2（〃2+1,3）=（3,—2）,

又4〃〃，

所以_2（m+l）_3x3=0,

解得加=_?；

（2）因为〃_Lb，

所以〃/=3（a+l）-2x3=0,

解得他=1,

所以a=（2,3）,

所以a+b=（2,3）+（3,-2）=（5,1）,a-26=（2,3）-2（3,-2）=（-4,7）,

所以〃+8=，？万=后，|a-2^|=7（-4）2+72=V65,

（〃+方）（。-2方）_-4x5+lx7__V10

所以cos（q+b,a-2b）=

|tz+/?|-|a-2b|\[26x\[6510

18.已知数列｛q｝的前〃项和为s,=四土皆土D

O

（1）求数列｛〃,｝的通项公式；

（2）若切,」,设7；是数列他,｝的前”项和，求证7；＞二.

an«+1

【答案】（1）为="2；（2）见解析

【解析】（D由“〃22）求得注意4=6即可;

⑵由2=＞，＞41T：-击放缩后可裂项相消求和，从而证得结论.

(n-1)/I(2H—1)

【详解】（1）当“22时，S.-

6

〃(力+1)(2〃+1)(7?-1)/?(2/?-1)2

a----------------------------="

66

当九=1时，4=E=1满足上式，所以%=r.

,心入1111

⑵由⑴知，2=17>析1?

nn+1

1n

所以北=4+d+么++^„>i-1+|-1++——

nn+\n+\77+1

【点睛】本题考查由前〃项和求通项公式，考查放缩法证明不等式.在由5“求明时，一定要注意

4=s,_S,T中有〃22,因此4=£需另外计算验证.

19.在锐角二ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,且满足三=—-

cosCcosA+cosB

⑴求角C的大小；

（2）若c=6,角A与角3的内角平分线相交于点。，求△A8D面积的取值范围.

【答案】（i）c=W；

【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得A+8=2C,进而即得；

（2）设NZMB=a,利用正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换可得

°ABD,然后利用三角函数的性质即得.

a+b

【详解】⑴V

cosCcosA+cos3

sinC_sinA+sinB

由正弦定理可得,

cosCcosA+cosB

整理可得：sinCcosA+sinCeos3=sinAcosC+sin3cosC,

BPsinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB,

B|J：sin(C-A)=sin(B-C),

又因为锐角ABC,

所以C-AG

所以C—A=8—C,

即A+3=2C,又A+B+C=TT,

所以c=q；

(2)由题意可知/A£>8=与，

设=所以/AB£»=2-a,

3

又0<2a<工，B=n---2ae0,—

23I2

所以

AD

在△加中，由正弦定理可鱼即

sinZABD

所以

a=^sin(2a+0-且,

5=—ABADsina-x^x2sinasiner=-sinacosa---sin2

ABD2UJ222I6；4

又ae

所以2a+gen2兀

o3'T

所以sii“2a+E卜

C一hh

即△ATM积的取值范围为

20.己知向量a=(cos2c9x—sin2Gx,sine")，b=(6,2coscox),设函数/U)=ab(x£R)的图象关于直

线x=5对称，其中。为常数，且36(0，1).

(1)求函数7U)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若将y=/(x)图象上各点的横坐标变为原来的1;，再将所得图象向右平移JgT个单位，纵坐标不变，

63

得到尸贴)的图象，若关于X的方程力(x)+*=0在[o目上有且只有一个实数解，求实数％的取值范

围.

57r7E

【答案】(1)7=6兀；单调递增区间为-7+6/71,5+6%兀,%£Z.(2){k\-6<k<6或k=-2}.

jr

【分析】(1)先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到/(x)=2sin(2ox+W),

再利用对称性求出。值，再利用三角函数的性质进行求解；(2)先利用三角函数图象变换得到

〃(x)=2sin(2x-*再令2x-§=利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.

【详解】(1V(x)=ab=6(cos2cox—sin2Gx)+2sincuxcos①x

=>/3cos2a>x+sin2cox=2sin2①x-\—.

3J

•••直线x=5是y=/(x)的图象的一条对称轴，

7T7[]

兀/+―=E+—(左RZ),即co=k-\—(女£Z).

326

「1/1吟

又①6(0,1),：.(D=~,/(x)=2sin-X+—,

65)

：.T=6n.

令-5+2E效5x+彳万+2也，kGZ,得——+Gkit^ic—+6Zx,kez,

5TT7T

即函数/(x)的单调递增区间为1+6Eq+6A兀,左ez.

(2)由(1)得/U)=2sin[!x+f],将y=/(x)图象上各点的横坐标变为原来的!，再将所得图象向右

平移T个单位，纵坐标不变，得到y=2sin(2x-£)的图象，.•.恤)=2sin(2xq).

方程/7。)+上=0在0,；上有且只有一个实数解,

即方程2sim+左=0在-争争上有且只有一个实数解，

亦即y=2sinf,的图象与直线y=T有且只有一个交点,

画出图象分析可知一后0一(<6或一％=2,即4G或Z=-2.

故实数&的取值范围是伙或％=-2}.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学

生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题.解决本题的易错点在于三角函数的图

象变换，学生往往得到错误的结果“力(x)=2sin2x”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自

TT7T

变量x”而言，如本题中h(x)=2sin[2(x—y)+—J.

21.如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体抬血和QABC.

⑴求证：PQ1AB.

(2)求二面角Q-4P-3的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵遮

''33

【分析】(1)连接8与A3相交于点0,过点产、。分别作PEL平面丽、。尸，平面ABC,垂

足分别为E、F,证明出四边形AC8D为菱形，可得出证明出四边形也2所为平行四边

形，可得出PQ〃。，即可证得结论成立；

⑵设A£>=2G，取线段尸。的中点〃，连接。证明出ON_L平面AC8O,以点。为坐标原点,

04、0C、。例所在直线分别为X、，、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角

Q-AP-3的余弦值.

【详解】(1)证明：因为△43。与4?C共面，所以连接CD与48相交于点。，

因为月板和QABC是相同的正四面体，所以，ABC,都是等边三角形，

则AC=BC=A8=AD=8D,所以四边形4CBO为菱形，则。为A8的中点，

过点尸、。分别作PEL平面说、。尸，平面ABC,垂足分别为E、F,

根据正四面体的性质可知E、尸分别为△A8。、他C的中心且瓦厂在OC上，

且PE//QF,

设正四面体上钻£>的棱长为26，则0£>=AZ>sin60=3,DE=-OD=2,

PE_L平面ABD,£>Eu平面钻£>,:.PELDE,

PE=\JPD2-DE2=2近，同理可得QF=2>/2,

所以，PE=QF,故四边形PQFE为平行四边形，故尸Q/CQ,

因为四边形AC8O为菱形，WlJCDlAfi,因此，PQ-LAB.

(2)解：设A£>=2⑸取线段尸。的中点“，连接OM,

易知0E=0F=g00=l,所以，。为EF的中点，

因为四边形PQFE为平行四边形，则PQ//EF且PQ=EF,

因为。、M分别为EF、P。的中点，则OE〃尸加且

所以，四边形PEOM为平行四边形，则。例〃尸£,所以，OMJ■平面4C3D,

因为A3LC。，以点0为坐标原点，OA、0C、QM所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示

的空间直角坐标系，

则A（后,0,0）、网-后0,0）、尸（0,-1,2夜）、Q（0,l,2夜），

设平面AP。的法向量为m=（西,％zj,PQ=（0,2,0）,AP=（-73,-1,272）,

〃八PQ=2y=0

]取A,=20,可得〃?=（2夜,0,百卜

m-AP=_迅芭一y+2叵Z[=0

设平面APB的法向量为“=（孙％，z?），8A=（26,0,0b

n-BA=2>/3X=0

2取％=