【非线性方程解法的探讨6700字（论文）】

非线性方程解法的探讨27981前言 129947一、非线性方程的展开解法 227089（一）非线性方程的展开解法的一般步骤 220569（二）改进的tanh方法及其应用 321383二、非线性方程组数值解法——牛顿法及其变形 527680（一）牛顿法 530938（二）牛顿最优化方法 712305三、求解非线性矩阵方程的数值方法 93947（一）正定解存在的条件 919151（二）正定解的数值求法 916653结语 12参考文献： 13非线性方程解法的探讨摘要：在人类的文明进化历史上，数学一直相伴左右，随着生产实践和科学技术的迅猛发展，非线性科学在各领域内得到了广泛的应用，并取得了一系列可喜的成果。由于非线性偏微分方程的复杂性，到今天为止，在这个课题上，依然存在大量的偏微分方程没有精确解。在求解过程中，方式也是根据实际情况，在不断的创新中，很难得出一个通用的普遍的微分方程的精确解法，求解方法各有技巧。因此为了给数值计算等方法提供理论依据或讨论偏微分方程的解可能具有的性质，人们有时不求解方程而直接研究偏微分方程解的特性。本文介绍了三种非线性方程的解法，分别是展开法，牛顿法，以及非线性矩阵方程的数值解法。关键词：数学；非线性方程；解法前言数学，是我国应试教育必修课，这门课程以严密的计算，空间想象著称，是其他诸多学科的基础。不管是我国，还是放眼全球的教育体系中，数学都占据着核心地位。现代自然科学和工程技术的发展，正在改变着传统的科学划分和科学研究的方法。“数、理、化、天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科，与口新月异的新技术相结合，使用数值、解析关系式和几何图形并举的计算机方法，推出了横跨多种学科门类的新兴领域。这种发展的一个重要特征，可以概括为“非”字当头，即出现了以“非”字起首而命名的一系列新方向和新领域。其中，非线性科学在数学领域中占据十分重要的地位。它在一定程度上，打破了人们对传统数学的认识，扩展了人们对自然科学的研究，同时将非线性理论与实践很好的融合起来，一定程度上反映了人类认识自然，追求科学的进步。随着非线性科学研究的进展，非线性方程的求解成为广大数学、物理学、力学、工程技术科学和生命科学工作者研究非线性问题必不可少的课题之一，以及对所得解的研究都对现代科学技术的进步与发展将具有重要意义。随着现代科学技术的快速发展，人们为了更准确地理解这些现象的内在本质，就需要寻求对应方程的精确解。因此，非线性偏微分方程求解一直是众多学者关注的热点问题，这些问题的深入研究，对现代科学技术的进步与发展将具有重要意义。一、非线性方程的展开解法（一）非线性方程的展开解法的一般步骤首先，通过考虑到非线性方程的演化过程，如下：P（μ，μ1，μx，μtx，μxx，μtt，……）=0（公式1-1）其中，x，t是自变量，μ是未知函数，P是关于μ以及μ的偏导数的多项式。我们拟采用的方法的具体步骤如下：第一步：引入变换μ=μ（ξ），ξ＝x－ct，其中c是常数，进而方程(1-1)变成了常微分方程：P（μ，-cμi，μi，-cμii，μii，…）=0（公式1-2）第二步：我们引入变量f=f（ξ），其中，f满足如下常微分方程：dfdξ＝H（f）其中，H（f）为变量的多项式，在本文中我们主要考虑如下的一阶常微分方程：（i）dfdξ＝μ（1－f2）（1-（ii）dfdξ＝μ（1＋f2）（1-（iii）dfdξ＝－f2－λf－μ（1-（iv）dfdξ＝h0+h1f+h2f2+h3f3（1-在这里，μ，λ，h0，h1，h2为要确定的常数，μ≠0。第三步：拟设方程，具有如下形式：aifiμ＝i=lnaif这里m，n是未知的整数，而l，ai（i=l…n），bj=（j=0…m）为要确定的常数，而m，n的关系可以通过将（1-4）的公式带入方程（1-2），进而平衡（1-2）中f的最高次项和最低次项得到。第四步，根据第二步中得到的m，n的关系，对m进行赋值，将（1-4）还有（1-3）带入（1-2）中，能够获得一个分式，其分子为一个关于f的代数多项式，令fi（i=0，±1，±2，…）的系数为0，则得到一个代数方程组，解这个代数方程组则可以获得l，ai（i=l…n），bj=（j=0…m）的值，其中an2+al2≠0，b0≠0，bm≠0。第五步，我们根据（1-1a）到（1-1d）的分解分为：（i）f=tanh（μξ）（1-5）（ii）f=tan（ηξ）（1-6）对于方程（1-1d），我们有下面定理：定理1：我们考虑常微分方程：fi=h0+h1f+h2f2+h3f3，满足h0=0，h2=0，h3≠0（i）假设h1≠0，那么方程（1-1d）存在一族解：f=±﹣ℎ3+c1h1（ii）如果h1=0，那么方程（1-1d）存在一族解：f=±1−2h3ξ+c2我们将以上结果以及第四步中得到的l，ai（i=l…n），bj=（j=0…m）的值代入拟设中，则可以得到方程（1-1）丰富形式的解。（二）改进的tanh方法及其应用Tanh方法是由Malfliet提出来的一种求解非线性方程的经典方法，它的基本思想是拟设方程的解可以表示成为tanh函数的多项式。进而通过齐次平衡方法确定多项式的阶数，最后将多项式代入非线性方程，将之转化为代数方程组，并利用matlab进行求解。之后，Abdul-MajidWazwaz对方程解的拟设加入了负指数项改进了这一方法。目前，该方法已经被广泛的应用于非线性方程的求解中。改进的tanh方法的一般步骤如下:首先，我们考虑如下的非线性演化方程:P（μ，μ1，μx，μtx，μxx，μtt，……）=0（公式1-9）其中，x，t是自变量，μ是未知函数，P是关于μ以及μ的偏导数的多项式。我们拟采用的方法的具体步骤如下：第一步：引入变换μ=μ（ξ），ξ＝x－ct，其中c是常数，进而方程(1-9)变成了常微分方程：P（μ，-cμi，μi，-cμii，μii，…）=0（公式1-10）第二步：我们引入变量f=f（ξ），其中，f满足如下常微分方程：（i）dfdξ＝μ（1－f2）（（ii）dfdξ＝μ（1＋f2）（1-在这里，μ要确定为常数，且不能为0。第三部：拟设方程（1-10），如下所示μ＝i=lnaifij这里m，n是未知的整数，而l，ai（i=l…n），bj=（j=0…m）为要确定的常数，而m，n的关系可以其次平衡方法得到。第四步，根据第2步中得到的m，n的关系，对m进行赋值，将（1-11）代入（1-10）可以得到一个分式，其分子为一个关于f的代数多项式，令fi（i=0，±1，±2，…）的系数为0，则得到一个代数方程组，解这个代数方程组则可以获得l，ai（i=l…n），bj（j=0…m）的值，其中an2+al2≠0，b0≠0，bm≠0，μ≠0。第五步，将得到的ai，bi（i=l…n，j=0…m）以及（1-1a），（1-1b）的解代入（2-3）即得到方程（1-10）丰富的行波解。再将ξ=x－ct代入原方程，并将第四步中得到的c取值代入，我们可以得到方程（1-9）丰富的行波解。二、非线性方程组数值解法——牛顿法及其变形（一）牛顿法牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：Xk+1=xk-式中：是f(xk)的雅可比矩阵，这个程序至少具有2阶收敛速度。由xk算到xk+的步骤为:①由xk算出f(xk)及；②用直接法求线性方程组的解；③求。由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准，其中P为迭代法的收敛阶，W为每迭代步计算函数值fi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同，均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小，根据效率定义，牛顿法(2)的效率为结构计算中的连续体模型—基础方程式分为理论分析和数值分析；另外则是里离散体模型—数值分析。牛顿法有很多变形，如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即：其中（k=0，1，…），式中I是单位矩阵。牛顿法是局部收敛方法，因而对初始近似x0限制较严，为放宽对x0的要求，扩大收敛范围，通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：其中（k=0，1，…）式中ωk的选择应使成立。

为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序：其中（i=1，2，…，m；k=0，1，…），这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为p=m+1，由xk计算xk+1的工作量为W=n2+mn，于是该法的效率。当n=10，m＝7时，=1。94当n＝100，m＝37时，=3。87，由此看到修正牛顿法比牛顿法效率高，且m越大效果越明显。在计算机上往往采用不计算偏导数的离散牛顿法，即其中（k=0，1，…），式中（i，j=1，2，…n），其中ej为基向量，，若取，则仍具有2阶收敛速度。其效率与牛顿法相同。

若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法，而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法，如牛顿－赛德尔迭代法，牛顿－SOR迭代法，牛顿－ADI迭代法，等等。这些方法都具有超线性收敛速度，工作量也比牛顿法大，除了对某些特殊稀疏方程组外，通常用得校少。若将解线性方程组迭代法的思想直接用于非线性方程组(1)，进而把(1)化为一维方程求解，可得到另一类双重迭代法，由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同，则得到不同的双重迭代法。如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR－牛顿迭代法，在牛顿法中只计算一步而不进行迭代，则得一步的SOR－牛顿迭代，其计算公式可表示为，其中（i=1，2，…，n；k=0，1，…）ω为迭代参数，当ω=1时就是赛德尔-牛顿迭代法，这类方法对解维数高的稀疏的非线性方程组是有效的。（二）牛顿最优化方法非线性方程组数值解法-连续法，又称嵌入法，它可以从任意初值出发求得方程组(1)的一个足够好的近似解，是一种求出好的迭代初值的方法。连续法的基本思想是引入参数t∈【0，b】，构造算子H(x，t)，使它满足条件：H(x，0)=f0(x)，H(x，b)=f(x)，其中f0(x)=0的解x0是已知，方程：H（x，t）=0（公式2-1）在t∈【0，b】上有解x=x(t)，则x(b)=x*就是方程(1)的解。当b有限时，通常取b=1，例如可构造。H（x，t）=f（x）+（t-1）f（x0），t∈【0，1】(公式2-2)这里x0是任意初值，显然H(x0，0)=0，H(x，1)=f(x)。为了求得(公式2-1)在t=1的解x*=x(1)，可取分点0=t0<t1<…<tN=1在每个分点ti(i=1，2，…，N)上，求方程组H(x，ti)=0(i=1，2，…，N)（公式2-3）的解xi，如果取xi-1为初值，只要足够小，牛顿迭代就收敛，但这样做工作量较大。已经证明，如果方程组(2-16)只用一步牛顿法，当t=tN=1时，再用牛顿迭代，结果仍具有2阶收敛速度。若H(x，t)的偏导数Ht(x，t)及在D×【0，1】嶅Rn+1上连续。且非奇异，则由(2-4）对t求导可得到等价的微分方程初值问题:…………（公式2-4）于是求方程(2-1)的解就等价于求常微初值问题(2-3)的解，求(2-3)的解可用数值方法由t=0计算到t=tN=b得到数值解。已经证明只要N足够大，以xN为初值再进行牛顿迭代可收敛到方程(2-1)的解x*，这种算法称为参数微分法。上个世纪60年代中期，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形，从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求f(x)的导数存在，也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大。若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法，而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法，如牛顿－赛德尔迭代法，牛顿－SOR迭代法，牛顿－ADI迭代法，等等。这些方法都具有超线性收敛速度，工作量也比牛顿法大，除了对某些特殊稀疏方程组外，通常用得校少。若将解线性方程组迭代法的思想直接用于非线性方程组(1)，进而把(1)化为一维方程求解，可得到另一类双重迭代法，由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同，则得到不同的双重迭代法。如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR－牛顿迭代法，在牛顿法中只计算一步而不进行迭代，则得一步的SOR－牛顿迭代。三、求解非线性矩阵方程的数值方法矩阵方程是矩阵论中非常重要的数学分支，在数学本身及其它自然科学中有着广泛的应用。由于在各个领域中都存在非线性现象，因此对非线性方程的求解问题是当今计算数学领域内最活跃的课题之一。在这一节中，我们研究求解非线性矩阵方程：X+A*+X-1A=（公式3-1）的数值算法，其中Q为n×n的阶正定矩阵，A为n×n阶非奇异矩阵，其中I为单位矩阵本文给出了矩阵方程存在正定解的充分及必要条件，构造了求解的迭代算法，并研究了这些算法的收敛定理及收敛速度。（一）正定解存在的条件在以后的讨论中，为了方便起见，方程的解总意味着是方程的正定解定理1，当且仅当A满足如下分解式：A=W*Z（公式3-2）矩阵方程（公式3-2）有解，其中w是一个非奇异的方阵，且矩阵的列向量是标准正交的，在这种情况下，X=W*W是方程的一个解。并且方程的所有解都可以用这种方式形成，更进一步，我们还可以要求W是个三角阵。证明：如果方程（公式3-2）有解X，则X可以分解成W*W，其中W为某非奇异矩阵，且由正定上三角分解定理我们可以使W为三角阵。将X=W*W代入方程（公式3-2），我们有W*W+（W-*A）*W-*A=L该式等价于令W-*A=Z，并且由3-2可知的列向量是标准正交的。反之，若A有分解式A=W*Z，设X=W*W，则X+A*X-1A=W*W+Z*WW-1W-*W*Z=W*W+Z*Z=I，即，X为方程(3-1)的解（二）正定解的数值求法在本节中，我们给出两种求解矩阵方程的迭代算法，并分别给出它们的收敛性定理及收敛速度。第一种迭代方法：X0=I，Xn+1=I-A*A，n=0，1，2(公式3-3）定理2，如果方程（3-1）有解X，那么由迭代法产生的矩阵序列{xk}收敛到矩阵方程的最大解XL。证明，首先我们将证明，对任意的n都有Xn≥XL。由迭代法（3-3），有X0=I，从而X0≥X。假设当n=k时，Xk≥X成立，那么就有：Xk+1-x=A*(X-1-)A≥0即，Xk+1≥X。由数学归纳法可知，对任意的n都有Xn≥X，同时x是方程3-1的任意解，所以对任意的n都有Xn≥XL。其次，我们将证明I=X0≥X1≥…Xn≥XL。由迭代法（3-3），我们有X0-Xt=I-(I-A*A)=A*A≥0因此，X0≥X1。假设当n=k时，Xk≥Xk+1，我们有Xk+1-Xk+2=A*()A≥0，即Xk+1≥Xk+2。由数学归纳法知，I=X0≥X1≥…Xn≥XL从上述分析中可以得知，因为迭代法产生的迭代序列{xk}是单调递减并且有下界，因此{xk}收敛到方程的解，并且收敛到XL。在第一种迭代算法中，可以得知每一步迭代都需要求一个矩阵的逆矩阵，这使得计算过程非常麻烦，计算结果非常不稳定。后来詹兴致和谢建强提出了一种无逆不动点迭代法，之后Guo，Lancaster等学者又逐步对这个免逆迭代法进行了改进，不仅使得收敛速度更快，而且还大大减少了计算量。下面给出El-Sayed和Al-Dbiban提出的迭代算法。第二代迭代算法：X0=Y0=I，YN+1=(I-XN)YN+I，Xn+1=I-A*Yn+1A，n=0，1，2，…本节主要研究了非线性矩阵方程X+A*+X-1A=Q的正定解的存在条件以及基于不动点定理的数值解法，前后给出了两种求解，该矩阵方程的迭代算法。当方程有解的时候可直接由这些算法数值算出方程的解。我们可以看到第二种算法的每一步的计算仅包括矩阵乘法，而且每步仅须计算三次矩阵的乘法，和第一种方法相比较，有效的避免了因为求矩阵的逆矩阵引起的结果不稳定性，同时在计算量上也减少了很多，更容易操作。结语目前微分方程研究的主体是非线性方程，特别是非线性偏微分方程。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程的研究。求解非线性偏微分方程远比求解线性偏微分方程是十分复杂，且难度很大。因此求非线性偏微分方程解析解的研究工作，这体现出了重要的理论价值和使用价值。在这一领域的研究中，无数学者经过多年的研究和探索，发现了不同的求解非线性偏微分方程精确解的方法，如backlund变换，齐次平衡方法，tanh方法，椭圆函数展开方法，f-展开法，非线性矩阵方程的数值方法等等。虽然非线性偏微分方程理论的研究取得了重大进展的精确解，有非线性偏微分方程精确解的，但由于非线性偏微分方程本身的复杂性、非线性偏微分方程的一种有效方法，非线性方程和变系数非线性偏微分方程没有形成系统，因此，这一研究在精确解的领域仍有很大的深入研究空间。参考文献：[1]陈月红.对“常微分方程”非线性部分的教学探讨[J].数学学习与研究,20