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平方和数列求和S=12+22+32+42++n2=?＜法一＞利用立方差公式:n3-(n-1)3二1・[n2+(n-1)2+n(n-1)]=2n2+(n-1)2-n贝9n=2时，23-13=22+12-2n=3时，33-23=2・32+22-3n=4时，43-33=242+32-4n3-(n-1)3=2・n2+(n-1)2-n将上式累加，n3-l3=2・(22+32+...+n2)+[l2+22+...+(n-1)2]-(2+3+4+...+n)=3・(l2+22+32+...+n2)-2-n2-(1+2+3+...+n)+13S二n3+n2+_Ln(n+1)2二丄n(2n+1)(n+1)2•'•S」n(2n+1)(n+1)＜法二＞由n2=n(n+1)-n，S=(1x2-1)+(2x3-2)++[n(n+1)-n]=[1x2+2x3+...+n(n+1)]-(1+2+...+n)设S'=1x2+2x3+...+n(n+1)，贝卩S二S'-丄n(n+1)2Vn(n+1)二丄[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3•S'二丄[1x2x3-0+2x3x4-1x2x3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3二丄n(n+1)(n+2)3•'•S二丄n(n+1)(n+2卜丄n(n+1)32二n(n+1)(丄n+丄)36=Ln(2n+1)(n+1)6＜法三＞图像法QQQQnQnQnQnQnQnQnQnQns二圆圈内所有数字和将这个正三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形再将第二个正三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，所有圈内的数字都变成了2n+1•S=(2n+1)(1+2+3+...+n)=n(2n+1)(n+1)6＜法四＞待定系数法求和之后的表达式会升一次幂，所以求和的函数最高是三次项。设f(n)=an3+bn2+cn+d(n是正整数)n=1,f(1)=1n=2.f(2)=12+22=5n=3.f(3)=12+22+32=14(3)n=4.f=12+22+32+42=30(4):(a+b+c+d=18a+4b+2c+d=527a+9b+3c+d=14-64a+16a+4c+d=30Ld=0・*.f=二n3+二n2+二n(n)延伸：13+23+33+43+••…+n3二二n

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