初中数学120大招-113 方程思想

方程思想【规律总结】方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。【典例分析】例1、如图所示，以□ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角三角形CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE，BE，则∠AEB的度数为(    )．A.120° B.135° C.150° D.45°【答案】B【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键．先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2x，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，

∵AD=DE=CE，

∴AD=DE=CE=BC，

∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，

∵∠DEC=90°，

∴∠EDC=∠ECD=45°，

设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，

∴∠ADE=180°-2x，∠BCE=180°-2y，

∴∠ADC=180°-2x+45°=225°-2x，∠BCD=225°-2y，

∴∠BAD=180°-(225°-2x)=2x-45°，

∴2x-45°=225°-2y，

∴x+y=135°，

∴∠AEB=360°-135°-90°=135°．

故选B．例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BC=5，AC=12，那么点D到AB的距离为__________．【答案】10【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理以及点到直线的距离的概念，解题关键是运用勾股定理列方程.作DE⊥AB于点E，先证明△BCD≌△BED，得出DE=CD，BE=BC=5，设DE=CD=x，则AD=12-x，由勾股定理求出AB和AE，然后在Rt△ADE中，根据勾股定理列方程求解即可．

【解答】

解：作DE⊥AB于点E，

∵∠C=90°，BD平分∠ABC，

∴∠BED=∠C=90°，∠CBD=∠EBD，

∵BD=BD，

∴△BCD≌△BED，

∴DE=CD，BE=BC=5，

设DE=CD=x，

则AD=12-x，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=13，

∴AE=AB-BE=13-5=8，

在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，

∴(12-x)2=x2例3、如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t【答案】解：(1)由题意可得

c=3a-b+c=04a+2b+c=3,

解得a=-1b=2c=3,

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)∵A(0,3)，D(2,3)，

∴BC=AD=2，

∵B(-1,0)，

∴C(1,0)，

∴线段AC的中点为(12,32)，

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E(3,0)，

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得

12k+m=323k+m=0,

解得k=-35m=95,

∴直线l的解析式为y=-35x+95，

联立直线l和抛物线解析式可得

y=-35x+95y=-x2+2x+3,

解得x=3y=0或x=-25y=5125,

∴F(-25,5125)，

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P(t,-t2+2t+3)，M(t,-35t+95)，

∴PM=-t2+2t+3-(-35t+95)=-t2+135t+65，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=12PM⋅FN+12PM⋅EH

=12PM⋅(FN+EH)

=12(-t2+135t+65)(3+25)

=-1710(t-【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中用t表示出△PEF的面积是解题的关键，在(3)中分两种情况，分别利用等腰直角三角形和相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．

(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

【好题演练】一、选择题如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为(    )A.5-252 B.5-52 【答案】A【解析】解：连接AF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=1，∠B=90°，

∵BE=EC=12，

∴AE=AB2+BE2=52，

由翻折不变性可知：AD=AH=1，∠AHP=∠D=90°，

∴EH=AE-AH=52-1，

∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB，

∴Rt△AFB≌Rt△AFH，

∴BF=FH，设EF=x，则BF=FH=12-x，

在Rt△FEH中，∵EF2=EH2+FH2，

一个角的余角是它的补角的25，这个角的补角是(    A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】

本题综合考查余角与补角，熟知余角和补角的定义是解答此题的关键，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解；

解答此题首先根据余角与补角的定义，设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．

【解答】

解：设这个角的度数为x，则它的余角为，补角为，

依题意，得，

解得，

∴这个角的补角是：．

故选D．

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为(    )A.35

B.53

C.34【答案】B【解析】【分析】

设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°.由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x.在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．

【解答】

解：设CE=x．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．

∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，

∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

AF2=52-32=16，

∴AF=4，DF=5-4=1．

在Rt△DEF中，由勾股定理得：

EF2=DE2在矩形ABCD中(AB<BC)，四边形ABFE为正方形，G，H分别是DE，CF的中点，将矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL，延长GH与KL交于点M，以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P，古代印度利用这个方法，可以得到与矩形ABCD面积相等的正方形的边长.若矩形ABCD的面积为16，HP:PF=1:4，则CH的值为(    )A.12 B.1 C.53 D.【答案】C【解析】【分析】

本题考查四边形的综合题，主要考查矩形的性质，正方形的性质，平移的性质，勾股定理，一元二次方程的解法．

关键是由HP:PF=1:4，设HP=x，则PF=4x，HF=5x，由正方形的性质得AB=BF=EF=CD=y，再用x、y的代数式表示KM、KP，在Rt△BKP中，由勾股定理得y=8x，再根据矩形的面积为16得y(y+10x)=16，把y=8x代入求解即可解答．

【解答】

解：∵在矩形ABCD中(AB<BC)，四边形ABFE为正方形，

∴AB=BF=EF=CD=y，

∵G，H分别是DE，CF的中点，

∴GH=EF，GH//EF，

∴四边形GEFH和四边形GHCD都是矩形，

∴GH=CD=y

∵HP:PF=1:4

∴设HP=x，则PF=4x，HF=5x，

∵矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL，

∴KL=BF=y，FL=CH=5x，

∴四边形HFLM是正方形，

∴LM=FH=5x，

∵以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P

∴KM=KP=KL+LM=y+5x，

在Rt△BKP中，由勾股定理得：BK2+BP2=PK2，

∴(5x)2+(y+4x)2=(y+5x)2，整理得16x2=2xy，y=8x，

又∵矩形ABCD的面积为16，

∴y(y+10x)=16，

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若AB=8，AC=6，则AE的长为(    )．A.9 B.7 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；再证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB-BE=AC+CF，即可得方程8-x=6+x，解方程即可求得答案．【解析】

解：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，BD=CDDE=DF,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴BE=CF；在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=8，AC=6，AE=AB-BE，AF=AC+CF，∴8-x=6+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB-BE=8-1=7．故选B．如图四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形．点A1，A.1 B.1.5 C.2 D.3.5【答案】B【解析】【分析】

此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．首先设C1的坐标为(a,0)，由四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形，点B3的坐标是(19【解答】

解：设C1的坐标为(a,0)∵四边形A1B1C1O，A2∴A3的坐标是：(19∴A1B1=a，A∵A3在直线∴5∵A∴∠A∵∠A∴△A2A∴A∴a整理得：4a解得：a=254(舍去∴点A1∴b=1②，把②代入①得：k=0.5，∴k+b=1.5．故选B．

二、填空题已知长方形ABCD，AD>AB，AD=10，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当S2-S1【答案】7.【解析】【分析】

本题主要考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质；

解答此题，首先根据图形列出S1和S2的代数式，然后得到S2-S1=b(10-AB)，可得b(10-AB)=3b，即可求出AB的值．

【解答】

解：∵S1=(AB-a)⋅a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)⋅a+(AB-b)(AD-a)，

S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)，

∴S2-S1

=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)⋅a-(AB-b)(AD-a)

=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)

=b⋅AD-ab-b⋅AB+ab如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=4x和y=9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=4x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是【答案】34或【解析】【分析】

联立y=kx、y=4x并解得：点A(2k,2k)，同理点B(3k,3k)，点C(3k,43k)，分AB=BC、AC=BC两种情况分别求解即可．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，方程思想，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

【解答】

解：联立y=kx、y=4x并解得：点A(2k,2k)，同理点B(3k,3k)，

点C(3春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒；丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒；丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20%，一个乙和

一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25%，问一个丁套餐的利润率为______.(利润率=利润【答案】18.75%【解析】【分析】

本题考查了三元一次方程组的应用、方程思想，属于较难题．

先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，得到方程组，得到x=40，再根据一个A礼盒的利润率为25%，可求出一个A礼盒的售价为50元，进而可得出一个B礼盒与一个C礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率．

【解答】

解：设甲套餐的成本之和m元，则由题意得1800-m=20%m，解得m=1500(元)．

设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由题意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，

同时消去字母y和z，可得x=40

所以y+z=90

A礼盒的利润率为25%，可得其利润=40×25%=10元，因此一个A礼盒的售价=40+10=50元．

设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得15×50+10a+10b=1800，整理得a+b=105(元)

所以一个丁套餐的售价=3×50+4(a+b)=150+420=570(元)

一个丁套餐的成本=3×40+4(y+z)=120+360=480(元)

因此一个丁套餐的利润率=570-480480×100%=18.75%如图1，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．

(1)若∠PEF=43∘，点Q恰好落在平行线AB上，则∠EFP= _______度．

(2)若∠PEF=60∘，∠CFQ=12【答案】解：(1)47°；

(2)40°或72°．【解析】【分析】

本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，分类讨论得思想、方程思想在几何中的运算，解答的关键是正确画出图形，分类讨论．

(1)当点Q恰好落在AB上时，PF⊥AB，则∠EFP=90°-43°=47°．

(2)分两种情况：①当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程求解；②当点Q在CD下方时，设∠CFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程解答．

【解答】

解：(1)如图1，当点Q落在AB上，∠FPE=∠FPQ=90°，

∴FP⊥AB，

∴∠EFP=90°-∠PEF=47°．

故答案为47°．

(2)①如图3，当点Q在平行线AB、CD之间时：

设∠PFQ的度数为x°，由折叠可得：∠EFP=x°，

∵∠CFQ=12∠PFC，

∴∠PFQ=∠CFQ=x°，

∵AB//CD，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴60+x+x+x=180，解得：x=40，即：∠EFP=40°；

②如图4，当点Q在CD下方时：

设∠CFQ的度数为x°，

由∠CFQ=12∠PFC得：∠PFC=2x°，∴∠PFQ=3x°，

由折叠得∠PFE=∠PFQ=3x°，

∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴2x+3x+60=180，解得：x=24，

∴∠EFP=3x°=72°，

综上：∠EFP的度数为40°或72°．

故答案为40°春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒，丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒，丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20％，一个乙套餐和一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25％，问一个丁套餐的利润率为________．(利润率=利润成本【答案】18.75%【解析】【分析】

本题考查了三元一次方程组的应用、方程思想以及有理数的混合运算．

先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，则由题意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，可同时消去y和z，得到x=40，再根据一个A礼盒的利润率为25%，可求出一个A礼盒的售价为50元，进而可得出一个B礼盒与一个C礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率．

【解答】

解：设甲套餐的成本之和m元，则由题意得1800-m=20%m，解得m=1500(元)．

设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由题意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，

同时消去字母y和z，可得x=40

所以y+z=90

A礼盒的利润率为25%，可得其利润=40×25%=10元，因此一个A礼盒的售价=40+10=50元．

设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得15×50+10a+10b=1800，整理得a+b=105(元)

所以一个丁套餐的售价=3×50+4(a+b)=150+420=570(元)

一个丁套餐的成本=3×40+4(y+z)=120+360=480(元)

因此一个丁套餐的利润率=570-480480×100%=18.75%如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为______．

【答案】3或3【解析】【分析】

分两种情形：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6；②如图2中，当∠DEF=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，利用勾股定理构建方程即可；

本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

【解答】

解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，

∵BC=AB2-AC2=8，

∴BD=BC-CD=8-6=2，

∵tan∠ABC=DFBD=ACBC，

∴DF2=68，

∴DF=32．

②如图2中，当∠DEF=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，

在Rt△BDE中，(8-x三、解答题在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y=-233x2-433x+23与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C．

(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；

(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A【答案】(1)y=-233x+233；(-2,23)；(1,0).

(2)当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，

如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，

在y=-233x2-433x+23中，令y=0可求得x=-3或x=1，

∴C(-3,0)，且A(-2,23)，

∴AC=(-2+3)2+(23)2=13，

由翻折的性质可知AN=AC=13，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN2-AD2=13-4=3，

∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，由题意CM最大是4

当ON=23+3时，则MN>ON>CM，与MN=CM矛盾，不合题意，

∴N点坐标为(0,23-3)；

当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=23，

∴tan∠DAM=MDAD=3，

∴∠DAM=60°，

∵AD//x轴，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=12MN=32，NP=32MN=332，

∴此时N点坐标为(32,332)；

综上可知N点坐标为(0,23-3)或(32,332)；

(3)①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC//EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∠ACK=∠EFH∠AKC=∠EHFAC=EF

∴△ACK≌△EFH(AAS)，

∴FH=CK=1，HE=AK=23，

∵抛物线对称轴为x=-1，

∴F点的横坐标为0或-2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点横坐标为0时，则F(0,233)，此时点【解析】【分析】

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在(2)中确定出N点的位置是解题的关键，在(3)中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

(1)由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；

(2)当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；

(3)当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得FH=CK=1，HE=AK=23，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E(-1,t)，F(x,y)，由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．

【解答】

解：(1)∵抛物线y=-233x2-433x+23，

∴其梦想直线的解析式为y=-233x+233，

联立梦想直线与抛物线解析式可得y=-233x+233如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x轴相交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点(1)求抛物线的解析式;(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由;(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】

解：(1)∵抛物线y=a(x+1)2-4与y轴相交于点C(0,-3)．

∴-3=a-4，

∴a=1，

∴抛物线解析式为y=(x+1)2-4=x2+2x-3，

(2)△BCM是直角三角形

理由：由(1)有，抛物线解析式为y=(x+1)2-4，

∵顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4，

∴M(-1,-4)，

由(1)抛物线解析式为y=x2+2x-3，

令y=0，

∴x2+2x-3=0，

∴x1=-3，x2=1，

∴A(1,0)，B(-3,0)，

∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，

∴BC2+CM2=BM2，

∴△BCM是直角三角形，

(3)存在，N(-1+222,32)或N(-1-222,32)或(-2,-3)，

∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，

∴①点N在x轴上方的抛物线上，

如图，

由(2)有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，

∴BC=32，CM=2，

∴S△BCM=12BC×CM=12×32×2=3，

设N(m,n)，

∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，

∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，

∴S△ABN=S△BCM=3，

∵A(1,0)，B(-3,0)，

∴AB=4，

∴S△ABN=12×AB×n=12×4×n=2n=3，

∴n=32【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决(3)的关键，也是初中阶段常用的方法．求解最后一问时，由于点的位置不确定，所以需要分类讨论．

(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；

(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；

(3)根据题意对N分类讨论，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM如图，直线AB//CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．(1)若∠PEF=48∘，点Q恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP(2)若∠PEF=75∘，∠CFQ=1【答案】解：(1) ①如图 ①，当点Q落在AB上时，FP⊥AB，

所以∠EFP= ②如图 ②，当点Q落在CD上时，

因为将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，

所以∠1=∠2.

因为AB//CD，所以∠QFE=180∘-∠PEF=132∘(2) ①如图 ③，当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ=x，

由折叠可得∠EFP=x，因为∠CFQ=12∠PFC，

所以∠PFQ=∠CFQ=x．

因为AB//CD，所以∠AEF+∠CFE=180∘，

所以75∘ ②如图 ④，当点Q在CD的下方时，设∠CFQ=y，由∠CFQ=12∠PFC得，∠PFC=2y，所以∠PFQ=3y．

由折叠得，∠PFE=∠PFQ=3y．

因为AB//CD，所以∠AEF+∠CFE=180∘，

所以2y+3y+75∘=180∘，所以y=21【解析】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称，分类讨论的应用．

(1)可分两种情况： ①如图 ①，当点Q落在AB上时，FP⊥AB，利用直角三角形的性质可求解∠EFP的度数； ②如图 ②，当点Q落在CD上时，由折叠可知∠1=∠2，由平行线的性质可得∠QFE=180∘-∠PEF=132∘，进而可求解∠PFE的度数；

(2)可分两种情况： ①如图 ③，当点Q在平行线AB，CD之间时，设∠PFQ=x，则可求∠EFP=x，∠PFQ=∠CFQ=x，由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180∘，进而可列关于x的方程，解方程即可求解； ②如图 ④，当点Q在CD的下方时，设∠CFQ=y，则可求∠PFC=2y，如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【答案】解：(1)设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；(2)设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC=∠ANB∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16.故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．【解析】本题主要考查动点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，方程思想；

(1)设当点M、N运动x s时，M、N两点重合，用含x的式子表示出M、N的运动路程，根据点N的运动路程比点M的运动路程多12cm列方程求解；

(2)设当点M，N运动t s时，

可得到等边三角形△AMN，用含t的式子表示出AM，AN的长，易知∠A=60°，所以如果AM=AN，ΔAMN就是等边三角形；

(3)把△AMN是以MN为底边的等腰三角形作为已知条件，可证得△ACM≌△ABN，从而得到CM=BN，再设此时M，N运动时间为y s，用含y的式子表示出CM，NB的长，列方程求解．

如图1，AB // CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．

(1)直接写出∠AHE，∠FAH，∠HFA之间的关系：________________；(2)若∠BEF=12∠BAK(3)如图2，在(2)的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．【答案】解：(1)∠AHE=∠AFH+∠FAH

(2)设∠BEF=x

∵∠BEF=12∠BAK，∠BEC=2∠BEF

∴∠BAK=∠BEC=2x

∵AK平分∠BAG

∴∠BAK=∠KAG=2x

由(1)的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，

∵AB//CD，则∠AFH=∠CEF，

∴∠AHE=∠AFH+∠FAH=∠CEF+∠FAH=2x+3x=5x

∵AG⊥BE

∴∠G=90°