初中数学120大招-108 整体代入法

整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD-AB=2时，S2A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b【答案】B【解析】解：S1=(AB-a)⋅a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)⋅a+(AB-b)(AD-a)，

S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)，

∴S2-S1=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)⋅a-(AB-b)(AD-a)

=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)例2、若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2-3m-1=0，

∴2m2-3m=1

∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018例3、解下列各题：

(1)若n满足(n-2023)(2021-n)=-6，求(n-2023)2+(2021-n)2的值．

(2)已知：m2=n+2，【答案】解：(1)∵(n-2023)(2021-n)=-6，

∴原式=(n-2023+2021-n)2-2(n-2023)(2021-n)

=(-2)2-2×(-6)

=4+12

=16；

(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，

∴m2-n=2，n2-m=2，

∵m≠n，

∴m-n≠0，

∴①-②得

m2-n2=n-m

∴(m-n)(m+n)=-(m-n)，

∵m-n≠0，

【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．

(1)将给出的代数式进行变形为(n-2023+2021-n)2-2(n-2023)(2021-n)，然后整体代入求值即可；

(2)先根据m2=n+2，【好题演练】一、选择题已知a+b=12，则代数式2a+2b-3的值是(    )A.2 B.-2 C.-4 D.-3【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2(a+b)-3，

∴将a+b=12代入得：2×12-3=-2

故选：B．

注意到2a+2b-3只需变形得2(a+b)-3，再将若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5βA.-13 B.12 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程解的定义．

根据一元二次方程解的定义得到2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=-12，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】

解：如果a2+2a-1=0，那么代数式(a-4aA.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+2a-1=0，可以得到a2解：(a-4a)⋅a2a-2=a2-4a⋅a

已知1x-1y=3，则代数式A.-72 B.-112 C.【答案】D【解析】解：∵1x-1y=3，

∴y-xxy=3，

∴x-y=-3xy，

则原式=2(x-y)+3xy(x-y)-xy

=-6xy+3xy-3xy-xy

=-3xy-4xy

=34，已知x1，x2是方程x2-3x-2=0的两根，则A.5 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】

本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下(    )A.31元 B.30元 C.25元 D.19元【答案】A【解析】【分析】

本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10-8x中即可求出结论．

【解答】

解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，

依题意，得：5x+3y+10=3x+5y-4，

∴y=x+7，

∴5x+3y+10-8x=5x+3(x+7)+10-8x=31．

故选A．

二、填空题已知ab=a+b+1，则(a-1)(b-1)=______．【答案】2【解析】【分析】

本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．

将ab=a+b+1代入原式=ab-a-b+1，合并即可得．

【解答】

解：当ab=a+b+1时，

原式=ab-a-b+1

=a+b+1-a-b+1

=2，

故答案为：2．

将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后，经过点(-2,5)，则8a-4b-11的值是______【答案】-5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后，

表达式为：y=ax2+bx+2，

∵经过点(-2,5)，代入得：4a-2b=3，

则8a-4b-11=2(4a-2b)-11=2×3-11=-5，

故答案为：-5．

根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(-2,5)代入，得到4a-2b=3若a+b=1，则a2-b2【答案】-1【解析】解：∵a+b=1，

∴a2-b2+2b-2

=(a+b)(a-b)+2b-2

=a-b+2b-2

=a+b-2

=1-2

=-1．

故答案为：-1．

由于a+b=1，将a若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3【答案】-2020【解析】【分析】

把-7x2分解成-4x2与-3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2-2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．

【解答】

解：∵x2-2x-1=0，

∴x2-2x=1，

2x3-7x2+4x-2017

=2x已知x-y+2+x+y-2=0，则x2-【答案】-4【解析】【分析】

本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．

【解答】

解：∵x-y+2+x+y-2=0，

∴x-y+2=0，x+y-2=0，

即x-y=-2，x+y=2，

∴x2已知m+n=3mn，则1m+1n的值为【答案】3【解析】【试题解析】【分析】

本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+nmn是解题的关键．

原式通分后可得出m+nmn，代入m+n=3mn即可求出结论．解：原式=1m+1n=m+nmn，

又∵m+n=3mn，

∴三、解答题已知x=12+1，y=12-1，分别求下列代数式的值；

(1)【答案】解：(1)∵x=12+1=2-1，y=12-1=2+1，

∴x-y=-2，xy=2-1=1，

∴【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．

(1)先将x、y进行分母有理化，得到x=2-1，y=2+1，再求出x-y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y阅读材料，然后解方程组．

材料：解方程组x-y-1=0, ①4(x-y)-y=5. ②

由①得x-y③，把③代入②，得4×1-y=5．

解得y=-1．

把y=-1代入③，得x=0．

∴x=0y=-1

这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组2x-3y-2=0,①【答案】解：由①得：2x-3y=2③，

将③代入②得：1+2y=9，即y=4，

将y=4代入③得：x=7，

则方程组的解为x=7y=4【解析】由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

阅读材料，善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③把方程①代入③得2×3+y=5∴y=-1把y=-1代入①得x=4∴方程组的解为x=4请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5 ①(2)已知x、y满足方程组5x2-2xy+20【答案】解：(1)由②得：3x+6x-4y=19，即3x+2(3x-2y)=19③，

把①代入③得：3x+10=19，即x=3，

把x=3代入①得：y=2，

则方程组的解为x=3y=2；

(2)由5x2-2xy+20y2=82得：5(x2+4y2)-2xy=82，即x2+4y【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．

(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；

(2)方程组第一个方程变形表示出x2+4y2，第二个方程变形后代入求出xy(1)已知x3⋅x(2)若n为正整数，且x2n=4，求(3【答案】解：(1)∵x3⋅xa⋅x2a+1=x31，

∴3+a+2a+1=31，

解得a=9；

(2)∵x2n=4，

【解析】本题考查的是同底数幂的乘法以及幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键．

(1)根据同底数幂的乘法的运算法则得到3+a+2a+1=31，解出a的值即可；

(2)先根据积的乘方运算得到9x6n-4x4n，然后由幂的乘方的逆运算得到阅读理解：

例题：已知实数x满足x+1x=4，求分式xx2+3x+1的值．

解：∵x+1x=4．

∴xx2+3x+1的倒数x2+3x+1x=x+1x+3=4+3=7

∴x【答案】解：(1)∵a+1a=5，

∴3a2+5a+3a=3a+5+3a=3(a+1a)+5=15+5=20，

∴a3a【解析】此题考查了分式的值，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．

(1)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；

(2)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(11a+7b)(8a+12b)长方形，那么x+y+z=___．【答案】解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2【解析】【分析】

本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，代数式求值，整体代入法，利用面积法列出等式是解题的关键．

(1)直接求得大正方形的面积，然后再根据大