初中数学120大招-38 几何模型平行四边形的存在性问题

平行四边形存在性问题一、方法突破考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：，可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：，可以理解为AC的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，→．当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．三定一动已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC为对角线时，，可得；（2）AC为对角线时，，解得；（3）AB为对角线时，，解得．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）两定两动已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．【分析】设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．二、典例精析例一：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；【分析】（1）抛物线：，直线AB：；（2）考虑EC∥MN，故若使点M、N、C、E是平行四边形，则EC=MN即可，∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2，设M点坐标为（m，m-3）（m>1），则N点坐标为，则MN=由题意得：，，解得：，（舍），对应P点坐标为；，解得：，（舍）．对应P点坐标为（2，-1）．综上，P点坐标为或（2，-1）．例二：【两定两动：x轴+抛物线】如图，已知抛物线经过点，，．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：；（2）列方程组求：设P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），若BC为对角线，由题意得：，解得：或（舍），故对应的P（2，-3）；若BP为对角线，由题意得：，解得：或（舍），故对应的P（2，-3）；若BQ为对角线，由题意得：，解得：或，故对应的P、．综上所述，P点坐标为（2，-3）、、．

例三：【两定两动：对称轴+抛物线】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：，对称轴：直线x=1；（2）设M点坐标为，N点坐标为，又B（3，0）、C（0，2）若BC为对角线，由题意得：，解得：，故M点坐标为（2，2）；若BN为对角线，由题意得：，解得：，故M点坐标为；若BM为对角线，由题意得：，解得：，故M点坐标为．综上所述，M点坐标为（2，2）、、．

例四：【两定两动：斜线+抛物线】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）设E点坐标为，F点坐标为，又B（0，2）、O（0，0），①若OB为对角线，由题意得：，解得：或，故E点坐标为或；②若OE为对角线，由题意得：，解得：或，故E点坐标为或；③若OF为对角线，由题意得：，解得：，故E点坐标为（2，1）．

例五：【两定两动：抛物线+抛物线】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标．

【分析】（1）解析式：；（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．设P点坐标为，Q点坐标为，又C（0，-3）、A（2，-3），①若CA为对角线，由题意得;，解得：或（舍），故P点坐标为（-3，12）；②若CP为对角线，由题意得：，解得：或，故P点坐标为（3，0）或；③若CQ为对角线，由题意得：，解得：或（舍），故P点坐标为（-1，0）．综上所述，P点坐标为（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．例六：【三定一动】如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）设P点坐标为（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D①若BC为对角线，由题意得：，解得：，故的坐标为；②若BD为对角线，由题意得：，解得：，故坐标为；③若BP为对角线，由题意得：，解得：，故坐标为．综上所述，P点坐标为、、．三、中考真题对决1．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．且点的坐标为，点的坐为．（1）求该抛物线的解析式；（3）图（乙中，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将的坐标，点的坐代入得：，解得，抛物线的解析式为；（3）存在，理由如下：抛物线对称轴为直线，设，，而，，①以、为对角线，则、的中点重合，如图：，解得，，②以、为对角线，则、的中点重合，如图：，解得，，③以、为对角线，则、中点重合，如图：，解得，；综上所述，的坐标为：或或．2．（2021•郴州）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，抛物线，将代入，得：，解得：，抛物线的表达式为；（3）①当为平行四边形的边时，则有，且，如图2，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，则，在和中，，，，点到对称轴的距离为3，又，抛物线对称轴为直线，设点，则，解得：或，当时，，当时，，点坐标为或；②当为平行四边形的对角线时，如图3，设的中点为，，，，，点在对称轴上，点的横坐标为，设点的横坐标为，根据中点公式得：，，此时，；综上所述，点的坐标为或或．3．（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点为原抛物线上点的对应点，新抛物线顶点为，它与轴交于点，连接，，．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并求出点的坐标；解：（1）抛物线经过点，，，原来抛物线的解析式为．（2），，点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，原来抛物线的顶点，点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，，新抛物线的解析式为，，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，观察图形可知，满足条件的点在过点平行的直线上，直线的解析式为，直线的解析式为，由，解得或（舍弃），，，，，，四边形是平行四边形，由平移的性质可知当时，四边形是平行四边形，但是对于新抛物线，时，，满足条件的点的坐标为．4．（2021•湘西州）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把，代入，得到，解得，；（4）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点的纵坐标为4或，对于抛物线，当时，，解得或3，．当时，，解得，，，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，．5．（2021•黔东南州）如图，抛物线与轴交