初中数学120大招-12 三角形中的最值问题与分类讨论问题

三角形中的最值问题与分类讨论问题三角形中的最值问题（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹问题）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识。1、三角形中的最值问题：将军饮马模型【解题技巧】将军饮马模型图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点例1．（2021·湖北省江夏区初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．【答案】【分析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根据勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关键．变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．变式2．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．【答案】8【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．变式3．（2021·重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．例2．（2021·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．变式4．（2021·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（1）；（2），图和理由见解析【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中点，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案为：；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值为C′N==．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．变式5．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．变式6．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．2、三角形中的最值问题：瓜豆原理（动点轨迹问题）【解题技巧】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定=1\*GB3①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。=2\*GB3②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．例1．（2021·成都市石室天府中学八年级月考）如图，在中，，点分别在上，将沿翻折，点落在处，则线段长度的最小值为_____．【答案】【分析】过作交延长线于，连结，由题意易得，，进而可得BN、，然后根据三角不等关系可进行求解最小值．【详解】解：过作交延长线于，连结，，，，沿翻折得到，当且仅当三点共线时，线段长度取得最小值，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及折叠的性质，关键是根据折叠的性质及三角不等式得到线段的最值，进而求解即可．变式1．（2021·广东·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。【答案】﹣2．【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，，∴AB=12，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．AF=4,∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．FD=∴PD＝DF﹣FP＝﹣2．例2.（2021·重庆八年级月考）在中，，，，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为_______．【答案】3【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，当时，DF的长是最小的，即CE的长最小，∵，，∴，，∴当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．故答案是：3．变式2．（2021·东北师大附属明达学校九年级二模）数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边与直线重合．（1）如图(1)，在中，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现的最小值是____________．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当最短时，如图(2)，在中，作平分交于点点分别是边上的动点，连结小致尝试探索的最小值，小致在上截取使得连结易证，从而将转化为转化到（1）的情况，则的最小值为；（3）解决问题：如图(3)，在中，，点是边上的动点，连结将线段绕点顺时针旋转，得到线段连结，求线段的最小值．【答案】（1）2；（2）；（3）3．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；（2）根据小致的思路，把将转化为即P，E，N三点共线且时的值最小；（3）在上取一点，使得，连接，．由，推出，易知时，的值最小，求出的最小值即可解决问题．【详解】（1）如图，过点A作，此时AP的值最小．∵，，，故答案为：2．（2）根据小致的思路作出图形，可知当时的值最小，如图：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．（3）如图3中，在上取一点，使得，连接，．，，，，，，，，，时，的值最小，最小值为3，的最小值为3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．变式3.（2021·长沙市望城区郡维学校初二月考）如图，OE是等边的中线，，点C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边，连接ED，下列说法正确的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED没有最大值也没有最小值【答案】B【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等边三角形的性质可得，从而可得点D的运动轨迹，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质即可得．【解析】如图，连接BD，过点E作，交BD延长线于点F，和都是等边三角形，，，，即，在和中，，，，OE是等边的中线，，，即直线BD的位置是固定的，当点C在直线OE上运动时，点D在直线BD上运动，由垂线段最短得：当点D与点F重合时，ED取得最小值，最小值为EF，在中，，即ED的最小值为1，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，确定出点D的运动轨迹是解题关键．例3．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：方法一：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(，)，则PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到点Q′的运动轨迹为直线l：y=2x-5.∴当OQ′垂直于直线l时，OQ′取的最小值。【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．变式4.（2021·重庆八年级月考）如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最小值为__________．【答案】【详解】解：连接AM，如下图所示：点M为边DE的中点，且Rt△ADE为等腰三角形，，，在Rt△ADE中，，由勾股定理可知：，故有，当A、B、M三点不共线时，由三角形的三边关系可知：此时一定有，当三点共线且M点位于A、B之间时，此时有，．故答案为：．3、三角形中的最值问题：费马点模型【解题技巧】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！例1．（2021·湖北鄂州市·九年级期末）中，，，，为内一个动点，则的最小值为_____．【答案】【分析】将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′C′，当点B、P、P′、C′在同一直线上时，最小，求此时的BC′即可．【详解】解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′C′，由旋转可知，P′C′=PC，AP=AP′，∠PAP′=60°，∠CAC′=60°，∴△PAP′是等边三角形，PP′=AP，，当点B、P、P′、C′在同一直线上时，最小，最小值为BC′长，过点C′作C′M⊥AB，交BA延长线于点M，∵∠CAC′=60°，，∴∠C′AM=45°，AC′=，∴AM=MC′=4，∵，∴BM=10，BC′=，故答案为：．【点睛】本题考查费马点问题，通过旋转60°构造等边三角形，把求三条线段和最小问题转化为两点之间，线段最短问题是解题关键．变式1．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．【答案】【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．【详解】以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等边三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．变式2．（2021·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）在中，，，点是斜边的中点，，是等边三角形；（2）如图，连接，和都是等边三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，故的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．例2．（2021·广东·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．【答案】【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM=2，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，∴BC=．故答案为．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题变式3．（2021·绵阳市·八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．变式4．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．(1)解：连结PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；(2)证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，∵，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，∴点P在CB′上，∴过的费马点．(3)解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；(4)解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【点睛】本题考查图形旋转性质，正三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，正三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．例3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值.（加权费马点）【答案】【分析】将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大倍，得到△，当B、P、、在同一直线上时，=最短，用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，，过点P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．变式5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值；（4）的最小值；（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；（5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值为26；（7）由可由（4）得的最小值为；（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解．【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，∴，，，∴为等边三角形，∴，∴，∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为同理可证为等边三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值为；（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，∴，，，，，∴，∴，∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为∵∠ACB=30°，∴∴，过点A再作的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值为；（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，∴，，，，，∴，过点C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为∵∠ACB=30°，∴∴，过点A再作的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值为；（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接由旋转的性质得，，，，∴，，，是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当，，，共线时最小，最小为，∵，∴，∴的最小值为；（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，∵，在中，，，最小为；（6）∵∴由（5）得：的最小值为26；（7）∵∴由（4）得的最小值为；（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值为．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小．4、三角形中的最值问题：胡不归模型【解题技巧】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，例1．（2021·广西·九年级专题练习）∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MDOD的最小值．【答案】思路引领：(胡不归经典)作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长，答案详解：如图，作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，∴CD′OD′所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长，∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2∴OC＝1，∴CM．答：MDOD的最小值为．变式1．（2021·成都市·九年级专题练习）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE=CD，AD=A'D，从而得出AD+DE=A'D+DE，当A'，D,E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A与A'关于BC对称∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴当A'，D,E在同一直线上时AD+DE的最小值等于A'E的长,在Rt△AA'E中：A'E=×2=3∴AD十DE的最小值为3∴2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD+DE的最小值是解题关键．变式2．（2022·广东高州·九年级期末）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．【答案】【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．∵，∴，∵，设，，∴，∴，∴或（舍弃），∴，∵，，，∴（等腰三角形两腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为,故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．例2．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．【答案】【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC=AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG=AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC=AP+PG=AG的值最小是解题的关键．变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.变式4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．【答案】（1）S△ABC=；（2）点F坐标为（1，）；PF＋OP的最小值为．【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得△ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG=，可得FG为PF＋OP的最小值，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，可得△FGQ为等腰直角三角形，可得FG=FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．【详解】（1）∵l1：y＝x＋，∴当x=0时，y=，当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），B（0，），∵点B直线l2：y＝﹣x＋b上，∴b=，∴直线l2的解析式为y＝﹣x＋，∴当y=0时，x=1，∴C（1，0），∴AC=4，OB=，∴S△ABC===．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴点C′在直线l2上，∵点C与点C′关于直线l1的对称，∴CC′=2BC=4，设点C′（m，﹣m＋，）∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，解得：m1=-1，m2=3，∵点C′在第二象限，∴m=-1，∴﹣m＋=，∵FC=FC′，∴EF＋CF=EF+FC′，∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，设直线C′E的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线C′E的解析式为，联立直线C′E与l1解析式得，解得：，∴F（1，）．如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG=OP，∴G、P、F三点共线时，PF＋OP的值最小，最小值为FG的长，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG=FQ，∵F（1，），直线l3的解析式为y=-x，∴Q（1，-1），∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=，∴PF＋OP的最小值为．【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．5、三角形中的最值问题：其他最值问题例1．（2021·广东深圳市·八年级期末）如图，△ABC中，BC=10，AC−AB=4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为______.【答案】10【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大面积为20，即S△BDC最大面积为10．【详解】如图：延长AB，CD交点于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，即S△BDC最大面积＝××10×4＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC＝S△BEC是解题的关键．变式1.（2021·广西·八年级期末）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，∠AFB的度数为（）A．75° B．90° C．95° D．105°【答案】C【详解】如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，∵AC=BC，∴CH=AC，∵∠HCB=90°，AD⊥BC，∴AD//CH，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH≌△AEC，∴FH=CE，∴FH+BF=CE+BF最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C．变式2.（2021·绵阳市·八年级期中）如图，C是线段上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是，的中点，若，则线段的最小值为______．【答案】【解析】连接，∵和为等边三角形，∴，，∴，∵是的中点，∴，，∴，设，∴∵，∴，∴∴，∴当时，的值最小为．答案：．变式3．（2021·武汉六中上智中学月考）如图，AB∥DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM⊥EC交直线EC于点M，若∠B=，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=_________【答案】123°【分析】当DM与DE重合，AN与AB重合时，AN-DM的值最大，此时AN-DM=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角关系，求出结果．【解析】如图所示，当DM与DE重合，AN与AB共线时，AN-DM的值最大，∵∠ABC=114°，∴∠CBN=180°-114°=66°，∴∠BCN=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCN=180°-33°-24°=123°．故答案为：123°．【点睛】考查平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图是解决问题的关键．变式4．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．【答案】12【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．1、等腰三角形中的分类讨论：【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1.无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2021·上虞市实验中学初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．变式1．（2021·保定市第三中学分校初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【解析】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．例2．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标【详解】解：如图，当为直角顶点时，则,作轴，又,同理可得根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．变式2．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；（2）根据求解可得；（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．(1)∴OA-6=0OB-8=0则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0）(2)，(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得①若PA=AB，则，即，解得a=8(舍)或a=−8，此时点P(−8，0)；②若AB=PB，即，即解得a=18或a=−2，此时点P(18，0)或(−2，0)；综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键例3．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．【答案】或或．【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当时，是等腰直角三角形，,，；②如图，当时，过点作，交的延长线于点，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如图，当时，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．综上所述，的长为：或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．变式3．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求CP的长．(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．(3)当t为何值时，为等腰三角形？【答案】(1)PC=(2)出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长(3)t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形【分析】（1）勾股定理求得的长，进而根据速度求得出发2秒后的长，中勾股定理求解即可；（2）由于CP恰好平分的周长，则P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P在AB上时，若BP＝BC时，②当P在AC上时，若BP＝BC时，③当P在AC上时，若CB＝CP时，④当P在AB上时，若PC＝PB时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝8，∵P从点B开始，按B→A→C→B，且速度为2，∴出发2秒后，则BP＝4，AP＝6，∵∠B＝90°，∴在中，由勾股定理得PC＝；(2)P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，根据题意可得，6＋2t＝10＋8－2t；解得t＝3出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长(3)①当P在AB上时，若BP＝BC时，得到2t＝6；则t＝3，②当P在AC上时，若BP＝BC时，过点作，则在中，在中，即解得③当P在AC上时，若CB＝CP时，即解得④当P在AC上时，若PC＝PB时，得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．例4．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．【答案】或或【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．【详解】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，，∴AD=BD=CD，∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．变式4．（2021·重庆市荣昌初级中学八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．2、直角三角形中的分类讨论：【解题技巧】1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知，两点是定点，找一点构成方法：两线一圆具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）例1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重