2022-2023学年江西省宜春市芦村中学高二数学文上学期摸底试题含解析

2022-2023学年江西省宜春市芦村中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从a、b、c中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：D【分析】从、、中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.【详解】由排列数的定义可知，从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为.故选：D.【点睛】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知函数是区间[－1，+∞上的连续函数，当，则f(0)=

（

）A、

B、1

C、

D、0

参考答案：A略3.若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A． B．（1，） C．（1，+1） D．（2，+1）参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】由题意作出函数的图象，由图象求出m的临界值，从而求m的取值范围．【解答】解：由题意作图象如下，y=的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点的临界直线有，当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1；当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切，即y′==﹣，即x=，y=时，此时，m=．故选B．4.复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 ()A．第三象限

B．第二象限

C．第一象限

D．第四象限参考答案：C5.设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．6.已知实数成等比数列，且曲线的极大值点的坐标为，则等于(

)A．2

B．1

C．

D．

参考答案：A略7.与的等差中项为（

）A.0

B.

C.

D.1参考答案：A8.函数的一个单调递增区间为(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略9.已知a、b、c、p为空间的任意向量，O、A、B、C为空间的任意点，有下列命题①a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb②向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb③若向量{a、b、c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也可构成空间的另一个基底④若OA、OB、OC不构成空间的一个基底，则O、A、B、C一定共面其中真命题的个数是（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略10.哈六中15届高二有名学生,现采用系统抽样方法,抽取人做问卷调查,将人按随机编号,则抽取的人中,编号落入区间的人数为（） 参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a1=1，an﹣an﹣1=2（n≥2，n∈N*），则{an}的前n项和为．参考答案：n2【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的定义、前n项和公式即可得出．【解答】解：由a1=1，an﹣an﹣1=2（n≥2，n∈N*），数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，∴前n项和Sn=n+=n2．故答案为：n2．【点评】本题考查了等差数列的性质、等差数列的定义、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若命题，命题点在圆内，则p是q的

条件.参考答案：充要由点与圆的位置关系有：若点在圆内，则；若点在圆上，则；若点在圆外，则；据此可知：是的充要条件.

13.已知，则函数的最大值为_____________。 参考答案：4.5略14.（5分）已知复数z满足z?（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），则复数z的虚部为．参考答案：由z?（1+i）=1﹣i，得．所以复数z的虚部等于﹣1．故答案为﹣1．把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算求解．15.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==，故答案为：．16.设函数f（x）=x3﹣3x+1，x∈[﹣2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=

．参考答案：2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的零点，进一步得到原函数的极值点，求得极值，再求出端点值，比较可得最大值为M，最小值为m，则M+m可求．【解答】解：由f（x）=x3﹣3x+1，得f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的增区间为（﹣2，﹣1），（1，2）；减区间为（﹣1，1）．∴当x=﹣1时，f（x）有极大值3，当x=1时，f（x）有极小值﹣1．又f（﹣2）=﹣1，f（2）=3．∴最大值为M=3，最小值为m=﹣1，则M+m=3﹣1=2．故答案为：2．17.已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，将代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆M的方程；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，则P到AB的距离为d=，则利用三角形的面积公式及韦达定理即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，由椭圆经过点，得，解得：，∴椭圆M的方程为．…（Ⅱ）由，得，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）＞0，得，，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．∴=．又P到AB的距离为d=．则…∴当且仅当取等号．∴．…19.（本小题满分13分）已知函数。（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的最小值为，求证：.参考答案：（1）由已知得，的定义域为，.根据题意，有，即，解得或.……………………4分（2）.（i）当时，由及得；由及得.所以当时，函数在上单调递增，在（）上单调递减.（ii）当时，由及得；由及得.所以当时，函数在（）上单调递减，在（）上单调递增.……8分（3）证明：由（2）知，当时，函数的最小值为，故.，令，得.当变化时，，的变化情况如下表：+0－↗极大值↘所以是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.所以当时，最大值，即当时，.……………………14分20.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.①求证:圆心在定直线上；②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.参考答案：(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分而,所以，故椭圆的标准方程为…5分

(Ⅱ)①解法一:易得直线,所以可得,再由∥,得……………8分则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分经验证,该圆心在定直线上……………11分解法二:易得直线,所以可得,再由∥,得………8分设的外接圆的方程为,则,解得…10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上

…11分②由①可得圆C的方程为………13分该方程可整理为,则由,解得或,所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分21.已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N+）．（1）计算a2，a3，a4，并猜测出{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．参考答案：【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）由an+1=，分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值，总结规律能猜想出an的表达式．（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立．【解答】解：（1）a1=2，an+1=，当n=1时，a2==，当n=2时，a3==0，当n=4时，a4==﹣，∴猜想an=，（n∈N+）．（