吉林省长春市艺术实验中学 高二数学文联考试卷含解析

吉林省长春市艺术实验中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知不等式（）（）9对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为A.2

B.

4

C.

6

D.8参考答案：B略2.“是无限不循环小数，所以是无理数”，以上推理的大前提是（）A．实数分为有理数和无理数

B．不是有理数C．无理数都是无限不循环小数

D．有理数都是有限循环小数参考答案：C3.在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x?f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）参考答案：A【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】讨论x的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：若x=0时，不等式x?f′（x）＜0不成立．若x＞0，则不等式x?f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．若x＜0，则不等式x?f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，故不等式x?f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．4.如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段…………（▲）A．平行且相等

B．平行不相等C．相等不平行

D．既不平行也不相等参考答案：A略5.关于函数在上的最值的说法，下列正确的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B6.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：①

②

③④其中为真命题的是（

）ks5uA.①④

B.②③

C.①③

D.②④参考答案：C7.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．80参考答案：C【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义和方法，可得=，由此求得n的值．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，解得n=70，故选：C．【点评】题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．8.已知复数z1=cosα+isinα和复数z2=cosβ+isinβ,则复数z1·z2的实部是()A.sin(α-β) B.sin(α+β)C.cos(α-β) D.cos(α+β)参考答案：D略9.一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()A．9

B．3

C．17

D．－11参考答案：A略10.以下程序运行后的输出结果为（

）A．17

B．19

C．21

D．23参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.两人约定在19∶30至20∶30之间相见，并且先到者必须等迟到者２０分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在19∶30至20∶30各时刻相见的可能性是相等的，那么两人在约定时间内相见的概率为

参考答案：12.中心在原点、焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为

*

.参考答案：略13.已知实数满足，，则函数无极值的概率是

．参考答案：略14.设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，为的内心，使，则该椭圆的离心率等于

.参考答案：15.已知点（－3，－1）和（4，－6）在直线3x－2y＋a=0的异侧，则a的取值范围为

。参考答案：16.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x上一点P到点A（4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=_____．参考答案：5由抛物线的定义，可得，准线方程为．，抛物线上一点P到点的距离等于它到准线的距离，的横坐标为3，，故答案为5．

17.已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．参考答案：6【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定椭圆中a，b，c，由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得△PF1F2的周长．【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（1）为何值时，函数的图象与轴有两个不同的交点；（2）如果函数有两个一正一负的零点，求实数的取值范围．参考答案：解：（1），解得且.（2）或.

解得.19.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.参考答案：解：（1）由题意可知，，

而，

且.

解得，所以，椭圆的方程为.

（2）由题可得.设，

直线的方程为，

令，则，即；

直线的方程为，

令，则，即；

证法一：设点在以线段为直径的圆上，则，

即，

，而，即，，或.

所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.

证法二：以线段为直径的圆为

令，得，

∴，而，即，∴，或.

所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.

解法3：令，则，令，得

同理，.

∴以为直径的圆为

当时，或.∴圆过

ks5*u

令，

直线的方程为，

令，则，即；

直线的方程为，令，则，即；

∵

∴在以为直径的圆上.同理，可知也在为直径的圆上.

∴定点为略20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若AB的中点为（3，1），且直线PA，PB的倾斜角互补，求△PAB的面积．参考答案：【分析】（Ⅰ）当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，由此得到2p=2，从而能求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣2my﹣2n=0，利用韦达定理结合AB的中点为（3，1），求出m=1，从而直线l的方程为x=y+2，由此利用弦长公式、直线PA，PB的倾斜角互补、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，∴2p=2，解得p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣2my﹣2n=0，y1+y2=2m，y1y2=﹣2n，∵AB的中点为（3，1），∴2m=2，即m=1，∴直线l的方程为x=y+2，∴y1+y2=2，y1y2=﹣4，∴|AB|==2，∵kAP+kBP===0，∴2y0+y1+y2=0，∴y0=﹣1，∴P（），点P到直线l的距离d=，∴△PAB的面积为|AB|d=．21.根据右图所示的程序框图，将输出的依次记为第一节

求出数列，的通项公式；第二节

求数列的前n项的和。参考答案：22.（1）已知a、b、c是正数，且满足，证明；（2）已知，求的最小值．参考答案：（1）见解