广东省梅州市丰良中学2022年高二数学文期末试题含解析

广东省梅州市丰良中学2022年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【分析】点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0的距离：d=，由此能求出点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选B．2.设等差数列的前项和为，若，，则（

）

A.64

B.45

C.36

D.27参考答案：B3.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A.(－2,0)∪(0,2) B.(－∞,－2)∪(2,+∞)C.(－2,0)∪(2,+∞) D.(－∞,－2)∪(0,2)参考答案：D【分析】构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或,从而可得的值范围.【详解】根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.【点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4.如果（

）A． B． C．6 D．8参考答案：C5.已知向量与的夹角为30°，且，，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】把平方化简即得解.【详解】由得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知，则A． B． C． D．参考答案：C略7.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(

)A．84,4.8

B．84,1.6

C．85,4

D．85,1.6参考答案：D8.若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形参考答案：B【考点】三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案．【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能组成锐角三角形．故选B．9.设，，则的值为（

）A.；

B.；

C.；

D.参考答案：A略10.函数R）是（A）周期为的奇函数

（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数

（D）周期为的偶函数参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式的解集是（4，m），则a=

，m=

.参考答案：

略12.已知点及椭圆上任意一点，则最大值为

。参考答案：略13.已知函数图象上一点处的切线方程为，若方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是

（其中为自然对数的底数）．参考答案：14.已知函数的图象在点处的切线方程是，则

。参考答案：3略15.若正数a，b满足+=1，则+的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】由+=1得到b=＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，则+=+=+4（a﹣1）≥2=4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）．∴+的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．16.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是____▲____.参考答案：略17.“”是“函数在区间上存在零点”的__________条件参考答案：充分不必要条件三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分16分)已知圆有以下性质：①过圆C上一点的圆的切线方程是.②若为圆C外一点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为.③若不在坐标轴上的点为圆C外一点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则垂直，即，且OM平分线段AB.(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于A，B两点，求过A，B两点的直线方程；(3)若过椭圆外一点（M不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于A，B两点，求证：为定值，且OM平分线段AB.参考答案：（1）过椭圆上一点的切线方程是………2分（2）设由（1）可知，过椭圆上点的切线的方程是过椭圆上点的切线的方程是………4分因为都过点，则，则过两点的直线方程是………………8分

（3）由（2）知，过两点的直线方程是为定值.…10分设设为线段的中点，则坐标为因为均在椭圆上，故①，②②－①可得即所以，………………12分又所以，又，所以………………14分所以三点共线.所以平分线段………………16分

19.（本小题满分14分）已知点、，若动点满足．（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小．参考答案：（1）设点坐标为，则，，，.因为，所以，化简得.所以动点的轨迹为………6分(2)设与椭圆相切并且直线平行的直线的方程为：由得故当时，直线与已知直线的距离最小，并且

……………12分将代入中得代入中得即点坐标为.………………14分20.（本题满分10分）在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短．参考答案：设点，距离为，当时，取得最小值，此时为所求的点．21.某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123pxy（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程组，能求出p，q．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，∴，解得p=，q=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，P（ξ=1）=++=，P（ξ=2）=+=，∴Eξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．22.如图，在四棱锥中，侧面底面,,为中点，底面是直角梯形，,，,．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．参考答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

试题解析：(1)令中点为，连接，AF

1分点分别是的中点，,.四边形为平行四边形.

2分,平面,

平面

3分（2）在梯形中,过点作于,在中，,.又在中，,,,.

4分面面,面面,,面,面,

,

5分,平面,平面平面,

6分平面,平面平面

7分（3）作于R，作于S，连结QS由于QR∥PD，∴

8分∴∠QSR就是二面角的平面角

10分∵面面，且二面角为∴∠QSR=

∴SR=QR设SR=QR=x，则RC=2x，DR=，

∵QR∥PD

∴∴

12分考点：空间直线与平面的平行于垂直位置关系