北京丰台区丰台第一中学高二数学文上学期期末试卷含解析

北京丰台区丰台第一中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在直三棱柱ABC—中，CA=CC1=2CB，∠ACB=90°，则直线BC1，与直线AB1夹角的余弦值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.观察，，

，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.四棱锥中，底面是平行四边形，则直线与底面的关系是()（A）平行（B）垂直（C）在平面内

（D）成60°角参考答案：4.函数的零点所在的区间是（

）A．(8,9)

B．(7,8)

C．(9,10)

D．(10,11)参考答案：C5.若，则的值为

（

）A．6

B．3

C．

D．参考答案：A6.已知命题p：命题q：则下列命题为真命题的是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用指数函数的性质可得命题的真假，由对数函数的性质，可知命题的真假，再根据复合命题的真值表即可得到答案。【详解】对于命题，由指数函数值域可知，成立，故命题为真命题；对于命题，当时，，故成立，命题为真命题；故命题为真命题，为假命题，为假命题，为假命题；故答案选A【点睛】本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题，的真假，属于基础题。7.下列函数中，最小值为4的是（）A．y= B．y=C．（0＜x＜π） D．y=ex+4e﹣x参考答案：D【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出．【解答】解：A．x∈（0，1）时，y＜0，最小值不为4．B．y≥2×=4，等号不成立，最小值不为4．C．由0＜x＜π，可得sinx=t∈（0，1），令f（t）=t+，则f′（t）=1﹣＜0，由此函数f（t）单调递减，由此可得f（t）＞f（1）=5，不符合题意．D.=4，当且仅当x=0时取等号，最小值为4．故选：D．8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（

）．A.72 B.60 C.36 D.24参考答案：A从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，本题选择A选项.9.对于上可导的任意函数，若满足，则必有（

）A

B

C

D

参考答案：C略10.椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则k应满足的条件是（）A．k＞3 B．2＜k＜3 C．k=2 D．0＜k＜2参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的焦点（，0），椭圆的焦点坐标（，0），椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，可得：3+k=9﹣k2，k＞0，解得k=2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为

．参考答案：50π【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．12.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

种．参考答案：345【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】因为选出的4人中恰有1名女同学，这一女同学可能是从甲组中选，也可能是从乙组中选，所以可按分类计数原理，按女学生从那一组中选分成两类，把每一类方法数求出，再相加即可．【解答】解：分两类，第一类，甲组选1名男同学，1名女同学，乙组选2名男同学，有C51C31C62=225第二类，甲组选2名男同学，乙组选1名男同学，1名女同学，有C52C61C21=120∴共有225+120=345种．故答案为：345．【点评】本体主要考查了分类计数原理在组合问题中的应用，注意分类要不重不漏．13.已知、都是锐角，，则的值为

.参考答案：略14.抛物线上的点到抛物线的准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值为

．

参考答案：15.将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有

种.(结果用数值作答)参考答案：80按的位置分类，当在第三个位置时，共有种排法；当在第四个位置时，共有种不同的排法；当在第五高为位置时，共有种不同的排法，所以当都在的左侧时，共有种不同的排法，所以都在的同侧时，共有种不同的排法.

16.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上．若，，，，则球的体积为________．参考答案：【分析】先由题意得到四边形为正方形，平面的中心即为球的球心，取中点，连结，求出半径，进而可求出球的体积.【详解】因为，，，所以，在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，因此平面的中心即为球的球心，取中点，连结，易知平面，且，所以球的半径等于，因此球的体积为.故答案为

【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记棱柱的结构特征，以及球的体积公式即可，属于常考题型.17.比较大小：

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时，求的单调递增区间和极值；(Ⅱ)若在,和处取得极值.（1）求的解析式；（2）若在上存在，使得恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当a=b=时，=

．．．．．．．．．．2分由于x>0,由即

的单调递增区间为．．．．．．．．．4分f(x)无极小值．．．．．．．．．．6分(Ⅱ)①=

．．．．．．．．7分因为在x=1,和x=处取得极值．．．．．．8分即的解析式是．．．．．9分②由①得=。当时，，故在单调递增。

．．．．．．．．．．．．．．．11分．．．．．．12分而,．．．．．．13分．．．．．．14分

略19.某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）参考答案：Ⅰ）

………3分

由基本不等式得

当且仅当，即时，等号成立

……5分∴，成本的最小值为元．……6分（Ⅱ）设总利润为元，则

当时,……………………11分答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元．………12分20.在中，，，设.（1）当时，求的值；（2）若，求的值.

参考答案：（1）-36（2）解析：解：（1）当时，，所以，

…………3分.

…………7分（2）因为

，

…………12分，解得.

…………14分略21.已知函数．（Ⅰ）若,求在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）求证：不等式对一切的恒成立．参考答案：（Ⅰ）时，，所以，，又，所以切线方程为(4分).（Ⅱ）的定义域为，，①若，在上单调递增(6分)，②若，则当时，，在单调递减．当时，，在单调递增(8分)．（Ⅲ）等价于，令，则，由（Ⅱ）知，当时，，，即，所以，则在上单调递增，所以，即成立（12分）.22.为了解甲、乙两校高二年级学生某次联考物理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高二年级的物理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（1）若甲校高二年级每位学生被抽取的概率为0.15，求甲校高二年级学生总人数；（2）根据茎叶图，对甲、乙两校高二年级学生的物理成绩进行比较，写出两个统计结论（不要求计算）；（3）从样本中甲、乙两校高二年级学生物理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（1）先求出甲校每位同学物理成绩被抽取的概率，由此能求出高二年级学生总数．（2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在70至80之间，乙校有22位同学分布在60至80之间，能由能得到统计结论．（3）由茎叶图可知，甲校有3位同学成绩不及格，分别记为：a、b、c，乙校有3位同学成绩不及格，分别记为：A、B、C．由此利用列举法能求出至少抽到一名乙校学生的概率．【解答】解：（1）∵甲校每位同学物理成绩被抽取的概率均为0.15∴高二年级学生总数（2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在70至80之间，乙校有22位同学分布在60至80之间，可得统计结论如下：结论一：甲校的总体成绩分布下沉，所以平均数较大．结论二：