广东省潮州市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷

20202021学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．复数z＝i（1+i）的实部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少（）A．2人 B．4人 C．5人 D．1人3．某人打开时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．5．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥m C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m6．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，其对应的点为Z0，满足条件|z|＝1的点Z与Z0之间的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝（）A．30m B．20m C．30m D．20m8．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E为BC的中点，则（）A． B． C． D．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．已知复数﹣5+i与﹣3﹣2i分别表示向量和，则表示向量的复数为．12．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为．13．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为．三、解答题：本大题共5小题满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知||＝1，||＝2，（2﹣）•（+2）＝﹣3．（1）求与的夹角θ；（2）求|2+|．16．某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（2）求续驶里程的平均数；（3）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[200，250]内的概率．19．甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号．第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛．当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜，如图表格中，第m行、第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率．0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z＝i（1+i）的实部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘除运算化简复数，即可求解．解：∵z＝i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，∴实部为﹣1，故选：B．2．公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少（）A．2人 B．4人 C．5人 D．1人【分析】用30岁以上的员工的人数，乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．解：每个个体被抽到的概率等于＝，故30岁以上的员工应抽取的人数为14×＝2，故选：A．3．某人打开时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（）A． B． C． D．【分析】密码的组合方式有n＝3×3＝9种，由此能求出他输入一次能够开机的概率．解：某人打开时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，∴密码的组合方式有n＝3×3＝9，∴他输入一次能够开机的概率是p＝．故选：C．4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B＝1求解．解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选：D．5．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥m C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α∥β，l⊂α，m⊂β，得l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，l⊥β，则l⊥α，又m∥α，则l⊥m，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l与m的位置关系是平行、相交或异面，相交与平行时，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．故选：B．6．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，其对应的点为Z0，满足条件|z|＝1的点Z与Z0之间的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由复数的运算化简z0，由z0为纯虚数可求得a的值，从而可求得z0，Z0，设Z（x，y）且x²+y²＝1，﹣1≤y≤1，由两点间的距离公式即可求解点Z与Z0之间的最大距离．解：由z0＝＝＝，因为复数z0＝（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，所以a+2＝0，解得a＝﹣2，所以z0＝2i，则Z0（0，2），由于|z|＝1，故设Z（x，y）且x²+y²＝1，﹣1≤y≤1，所以|ZZ0|＝＝＝≤＝3，故点Z与Z0之间的最大距离为3．故选：C．7．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝（）A．30m B．20m C．30m D．20m【分析】由已知在△BCD中，利用正弦定理可求CB的值，在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，可求塔高AB＝BC的值．解：在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，由正弦定理＝，可得＝，可得CB＝20＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20m．故选：D．8．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E为BC的中点，则（）A． B． C． D．【分析】利用数形结合，在梯形ABCD中，利用三角形法则即可求解．解：如图所示：在三角形ABE中，＝＝＝＝，故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB﹣sinA）＝0，从而可得A＝或B＝A或B＝π﹣A（舍去）．解：∵c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，C＝π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB＝2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB＝2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）＝0，∵cosA＝0，或sinB＝sinA，∴A＝或B＝A或B＝π﹣A（舍去），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．已知复数﹣5+i与﹣3﹣2i分别表示向量和，则表示向量的复数为2﹣3i．【分析】利用复数的几何意义求出向量，即可求出表示的复数为2﹣3i．解：∵＝﹣5+i，＝﹣3﹣2i，∴＝﹣＝（﹣3﹣2i）﹣（﹣5+i）＝2﹣3i，即向量表示的复数为2﹣3i．故答案为：2﹣3i．12．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为．【分析】利用古典概型概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解．解：∵取法总数有C62＝15种，取出的鞋成对的种数有3种，∴取出的鞋不成对的概率p＝1﹣＝．故答案为：13．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为．【分析】由已知利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再由勾股定理求高，代入圆锥的体积公式得答案．解：由已知可得半圆的弧长为：l＝×2π×4＝4π，即圆锥的底面周长为4π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝4π，解得：r＝2，即圆锥的底面半径是2，高h＝．∴圆锥的体积为：V＝，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知||＝1，||＝2，（2﹣）•（+2）＝﹣3．（1）求与的夹角θ；（2）求|2+|．【分析】（1）进行数量积的运算即可求出，然后即可得出，然后根据向量夹角的范围即可求出θ的值；（2）进行数量积的运算即可求出，从而可得出的值．解：（1）∵，∴＝，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴；（2），∴．16．某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（2）求续驶里程的平均数；（3）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[200，250]内的概率．【分析】（1）利用频率和为1列方程求出x的值，再求对应的频数；（2）由频率分布直方图求出平均数即可；（3）利用分层抽样法求出抽取的数据，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）由题意可知，0.002×50+0.005×50+0.008×50+x×50+0.002×50＝1，解得x＝0.003，所以续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）＝5；（2）由直方图可得，续航里程的平均数为：0.002×50×75+0.005×50×125+0.008×50×175+0.003×50×225+0.002×50×275＝170．（3）由（2）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，分别记为A，B，C，续驶里程在[250，300]的车辆数为2，分别记为a，b，事件A＝“其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）”从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10种情况，事件A包含的可能有共：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b）6种情况，计算．19．甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号．第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛．当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜，如图表格中，第m行、第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率．0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率．（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出第3局甲队队员获胜的概率，由此推导出甲队队员获胜的概率更大一