高等数学知识点

第一讲：极限与连续

一.数列函数：

1.类型：

⑴数列：*4“=/(〃)；*。"+1=/(。“)

(2)初等函数:

(3)分段函数：*;*;*

(4)复合(含/)函数：y=/(«),u=9(x)

(5)隐式(方程)：E(x,y)=O

⑹参式(数一，二)：

(7)变限积分函数：F(x')=['f(x,t)dt

(8)级数和函数(数一，三)：

2.特征(几何)：

(1)单调性与有界性(判别);(/(x)单调=V%,(x-x0)(/(x)-/(x0))定号)

(2)奇偶性与周期性(应用).

3.反函数与直接函数：y=/(x)ox=/T(y)ny=/T(x)

二.极限性质：

1.类型：*liman;*lim.f(x)c^xf±po);*lim/(x)(含xf/士)

X—>ooXT7,

2.无穷小与无穷大(注：无穷量):

3.未定型：—,—,1二00—00,0-00,0°,00°

000

4.性质：*有界性，*保号性，*归并性

三.常用结论：

_LJ.1

n〃—>1,an(a>0)—>1,(an+c")"—>max(〃,瓦c),

,lim=1,,,

x->0+

limxln"x=0,

XTO+

四.必备公式：

1.等价无穷小：当0时，

sinu(x)u(x);tanu(x)u(x)；

eM(x)-lw(x)；ln(l+u(x))u(x);(1+u(x))a-1au(x)；

arcsinw(x)u(x)；arctanu(x)u(x)

2.泰勒公式：

(l)e'=1+x+x2+o(x~);

(2)ln(l+x)=x-^x2+6>(x2);

(3);

(4)cosx=l--x2+—x4+o(d);

(5)(l+x)°=14-ax+^^-^-x2+o(x?).

五.常规方法：

前提：（1）准确判断（其它如:8-8,0.8,0°,8°）；（2）变量代换（如：,=f）

X

00

1.抓大弃小(一),

00

2.无穷小与有界量乘积(crM)(注：)

3.1"处理(其它如:0°,oo°)

4.左右极限(包括x—>±oo):

।

(1);(2)e*(x-8)；eYxfO)；(3)分段函数：W，[x],maxf(x)

5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注：非零因子)

6.洛必达法则

(1)先"处理〃，后法贝I(，最前方法);(注意比照：与)

11IJ__

⑵基指型处理：u(x)'M=e'，M'nu(x)(如：6初一潟=e；(e7T7-1))

(3)含变限积分；

(4)不能用与不便用

7.泰勒公式(皮亚诺余项)：处理和式中的无穷小

8.极限函数：/(x)=limF(x,〃)(n分段函数)

“Too

六.非常手段

1.收敛准则：

⑴4=/(〃)=Hm/(x)

Xf+00

(2)双边夹：*〃4/<%?,*",c“fa?

(3)单边挤：an+l=f(a„)*|a,(|<M?*/'(x)>0?

2.导数定义(洛必达)：

3.积分和：lim，"d)+/(2)++/(-)]

’18nnnn

4.中值定理:lim[f(x4-a)-f(x)]=alimf")

5.级数和（数一三）:

⑴收敛=>lima”=0,(如)⑵lim(a]+a,++4)=£%,

n=\

(3){%}与同敛散

七.常见应用：

1.无穷小比拟(等价，阶)：*/(x)70)?

(1)/(0)=/'(0)==尸(0)=0,广0(0)=40f{x}=-xn+a[xn)-xn

n\n\

⑵J("(Mj>"力

2.渐近线(含斜)：

(1)a=lim,b=lim[/(x)-ax]=/(x)ax+b+a

XT8xx->00

(2)f(x)=ax+b+a,0

3.连续性：(1)连续点判别(个数)；(2)分段函数连续性(附:极限函数，/'(X)连续

性)

八.[a,切上连续函数性质

1.连通性：f([a,b])=[m,M](注：VO</1<1,“平均”

值:处3)+(1-//(3=/(尤0))

2.介值定理:(附：达布定理)

(1)零点存在定理：/(a)/(b)<0n/(x0)=0(根的个数)；

⑵/(x)=0n(J：/(xgy=0.

第二讲:导数及应用（一元）（含中值定理）

一.根本概念：

1.差商与导数:1(x)=；f\x.)=

(l)/'(o)=lim」C(注:连续)n/(0)=0J'(0)=A)

・90x

(2)左右导：f(%),£(玉))；

(3)可导与连续；(在x=o处，区连续不可导；了国可导)

2.微分与导数：.J=/(x+.x)—/(x)=/'(6x+oQx)n4=7'(x)公

⑴可微。可导；(2)比拟V，4与"0"的大小比拟(图示)；

二.求导准备：

1.根本初等函数求导公式;(注：(|/(到)')

2.法则：(1)四则运算；(2)复合法则；(3)反函数

三.各类求导(方法步骤)：

1.定义导：⑴尸⑷与尸(X)|『；(2)分段函数左右导；(3)

(注:，求:1(%)"3及一(力的连续性)

2.初等导(公式加法则)：

(l)〃=/[g(x)],求:〃'(％)(图形题)；

(2)尸(x)=1/Q)力，求：F\x)(注

Ja

”fbfb

(Jf(x,t)dt)\([f(x,t)dty,(]

JaJaJa

(3),求fM，£(X。)及尸(x0)(待定系数)

3.隐式(/(x,y)=0)导:

(1)存在定理;

（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.

（3）对数求导法.

4.参式导（数一，二）:,求：

5.高阶导公式:

（*严=优*；（—1—）（”）=―8加.

a-bx（a-bx）n+

（sinox）""=a"sin（ax+—xny,（cosor）""=a"cos（ax+—xn）

22

（MV）（n）=M，n）V+C＞（，M）v'+C＞＜M_2，V"+

注：/"'（0）与泰勒展式：/（x）=4++

四.各类应用：

1.斜率与切线（法线）；（区别：y=/（x）上点M。和过点场的切线）

2.物理:（相对）变化率-速度；

3.曲率（数一二）：（曲率半径，曲率中心，曲率圆）

4.边际与弹性（数三）：（附：需求，收益，本钱，利润）

五.单调性与极值（必求导）

1.判别（驻点/'（%）=0）：

（i）/,（x）＞o=＞/（%）'；y（x）＜o=＞/（%）a；

（2）分段函数的单调性

（3）/'（x）＞0n零点唯一；/"（%）＞0=驻点唯一（必为极值,最值）.

2.极值点：

⑴表格（/'"）变号）；（由limU^wO,lim4^wO,lim41wOnx=o

XT与XXfqXXTX。X"

的特点）

⑵二阶导(号(％)=0)

注(1)f与的匹配(f'图形中包含的信息)；

(2)实例：由广0)+为»/0)=8(》)确定点"％=尤0”的特点.

(3)闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)

3.不等式证明(/(x)20)

(1)区别：*单变量与双变量*xe向与xe[a,+oo),%e(-oo,+oo)

(2)类型：*/'W0JS)20

*/*0J(a)J®>0;*/"(x)20,r(x°)=O,/(xo)>0

(3)注意：单调性㊉端点值㊉极值㊉凹凸性.(如：/(x)<M<=>fmm(x)=M)

4.函数的零点个数：单调㊉介值

六.凹凸与拐点(必求导!)：

1.>"=>表格;(/'(%)=0)

2.应用：⑴泰勒估计；(2)/'单调；(3)凹凸.

七.罗尔定理与辅助函数：(注：最值点必为驻点)

1.结论：F(b)=F(a)nF纭)=,您)=0

2.辅助函数构造实例：

⑴/e)nF(x)=[7w

Ja

⑵/C)gC)+f8g&)=0nF(x)=/(x)g(x)

(3)――)一/e)g&)=0nF(x)=翼

g(x)

(4)/,«)+〃—)=0=F(x)=;

3.75>G)=0=/(x)有〃+1个零点=f"T)(x)有2个零点

4.特例：证明/(">C)=a的常规方法：令尸(x)=/(x)—K(x)有"+1个零点

(勺(x)待定)

5.注：含06时,分家!(柯西定理)

6.附(达布定理)：“X)在出㈤可导,Vcw"'(a)"0)[,*e[a,L^:/&)=c

A.拉格朗日中值定理

1.结论：/3)一/(。=/e)S—a);(奴。)<。(力=三,37'(()>0)

2.估计：

九.泰勒公式(连接之间的桥梁)

23

1.结论：fM=f(x0)+fU0)(x-x0)+^f1Xx0Xx-x0)+^f''W(x-x0);

2.应用：在73)或/S)值时进展积分估计

十.积分中值定理(附:广义)：[注:有定积分(不含变限)条件时使用]

第三讲：一元积分学

一.根本概念：

1.原函数1(%):

⑴F\x)=f(x)(2)f(x)dx=dF(x)

⑶Jf{x)dx=F(x)+c

注⑴尸(x)=「/⑺力(连续不一定可导)；

Ja

⑵[\x-t)f(t)dt=＞「f⑴dtn/(x)(f(x)连续)

JaJa

2.不定积分性质：

(1)(J/UW=/(x);d^f(x)dx)=f(x)dx

⑵J.f'(x)公=/(x)+c；j或(x)=f(x)+c

二.不定积分常规方法

1.熟悉根本积分公式

2.根本方法：拆(线性性)

J(^/(x)+k2g(x))dx=A：tJf{x}dx+k2^g(x)dx

3.凑微法(根底)：要求巧，简，活(lusinO+cosn)

如：dx=-d(ax+b),xdx=—dx1,—=JInx,

a2x

,Xdx-djl+x)(1+Inx)dx=d(x\nx)

4.变量代换：

(1)常用(三角代换，根式代换，倒代换)：x=sint,y/ax+b=t,-

X

(2)作用与弓I伸(化简)：yjx1±1—X=t

5.分部积分(巧用)：

(1)含需求导的被积函数(如Inx,arctanx,^'f(t)dt);

(2)”反对募三指"：办，Jy1inxdx,

⑶特别：\xf{x)dx(*/(x)的原函数为尸(x)；*/'(x)=F(x))

6.特例:(1);(2)Jp(x)eL'dx,jp(x)sinaxdx快速法;⑶

三.定积分：

1.概念性质：

(1)积分和式(可积的必要条件:有界，充分条件:连续)

(2)几何意义(面积，对称性,周期性，积分中值)

*£\lax-x2dx(a>0)=^a2■,

(3)附:，J：/(x)g(x)公<MJjg(x)")

(4)定积分与变限积分，反常积分的区别联系与侧重

2:变限积分①(无)=「/⑺力的处理(重点)

Ja

(1)/可积0①连续，/连续=①可导

(2)(1/⑺力)'=/(%)；'⑺力

f(x)dt=(x-a)f(x)

(3)由函数尸(x)=J：/⑺力参与的求导，极限，极值，积分(方程涧题

3.N—L公式：r［b/(幻公=FS)—F(a)(b(x)在［。,句上必须连续!)

Ja

注:(1)分段积分，对称性(奇偶)，周期性

(2)有理式，三角式，根式

(3)含⑺力的方程.

4,变量代换：『/(x)办:'(f)山

JaJa

(1)£f(x)dx=£f(a-x)dx(x=a-t),

⑵^f(x)dx=f(-x)dx(x=-t)=£[/(%)+f(-x)]dx(如:)

?n-1

(4)jj/(sinx)dx=£2/(cosx)dx;£/(sinx)dx=2/(sinx)dx,

(5)£(sinx)dx=£/(sinx)办’

5.分部积分

⑴准备时“凑常数”

⑵/3或/(x)=J：时，求f/(x)dx

6.附：三角函数系的正交性：

「2兀.2/r『2灯

sinnxdx=cosnxdx=sinnxcosnvcdx=0

JoJoJo

J。sinnxsinmxdx=J。cos〃xcosmxdx^nm)=0

.2乃.22

sirrnxdx-cosnxdx-兀

JoJo

四.反常积分：

广+Xff-KO

1.类型：(1)If(x)dx,[f(x)dx,[f(x)dx(/(x)连续)

JaJ—xJ-oo

(2)f(x)dx：(/(x)在X=Q,x=b,X=C(QVC<〃)处为无穷连

Ja

续)

2.敛散；

3.计算：积分法㊉N-L公式㊉极限(可换元与分部)

4.特例：(1);(2)

五.应用：（柱体侧面积除外）

1.面积，

⑴S=J："(x)-g(x)]dr;⑵^二J：/T(y)dy；

(3);(4)侧面积:S=[27vf(x)yli+f'2(x)dx

2.体积：

⑴匕=d'""x)-g2(x)a；(2)匕=;rJ："T(y)『办=2万J：V(x)公

⑶匕一与匕一

A--*oy->o

3.弧长：ds=«dx)2+(办)2

(1)y=f(x),x^[a,b]s=£-j\+f'2(x)dx

(2)s=『ylx'2(t)+y'2(t)dt

(3)r=r(6),0G[a,切：s-J”个产(8)+r”(8)d。

4.物理(数一，二)功，引力，水压力,质心，

5.平均值(中值定理)：

(l)/[a,Z?]=-----Jf(x)dx;

b-aJa

-[力)力

(2)/[0+8)=lim比-------，(/以T为周期:)

X->+00X

第四讲：微分方程

一.根本概念

1.常识：通解，初值问题与特解(注：应用题中的隐含条件)

2.变换方程：

⑴令X=x(0=>y'="分"(如欧拉方程)

⑵令u=u(x,y)=>y=y(x,u)=>y'(如伯努利方程)

3.建立方程(应用题)的能力

二.一阶方程：

1.形式：(Dy'=/(x,y)；(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;(3)y(a)=h

2.变量别离型:y'=f(x)g(y)

⑴解法：|■金=Jf(x)dxnG(y)=F(x)+C

Jg(y)

(2)“偏”微分方程:；

3.一阶线性(重点)：y'+p(x)y=g(x)

Vp{x}dx1f.v

(1)解法(积分因子法)：M(x)=e1*=>y=-----[|M(x)q(x)dx+y0]

M(x)乜

(2)变化：x'+〃(y)x=q(y);

(3)推广：伯努利(数一)y'+p(x)y=q(x)ya

4.齐次方程：

⑴解法："=2=>〃+皿'=中(〃)，[—————=(―

xJ<!>(«)-«Jx

⑵特例：

5.全微分方程(数一)：/(工,丁)以+/7(工,丁)力=0且

dU=Mdx+Ndy=U=C

0v—cax

6.一阶差分方程(数三)：>川一外\=vn-

WP(X)y；=x"Q(x)〃

三.二阶降阶方程

1.y"=f(x)：y=F(X)+C1X+C2

2.y"=f(x,y')：令y，=p(x)ny"=^=/(x,p)

ax

3.y"=f(y,y')：令y'=p(y)=>y"=p曰=/(y,p)

dy

四.高阶线性方程：a(x)y-+b(x)y'+c(x)y=/(x)

1.通解构造：

(1)齐次解：%。)=9)[*)+。2%(幻

(2)非齐次特解:y(x)=GX(x)+C2%(x)+y*(x)

2.常系数方程：ay''+by'+cy^f(x)

(1)特征方程与特征根：a^+bA+c^O

(2)非齐次特解形式确定：待定系数；(附：/(x)=h'"的算子法)

(3)由解反求方程.

2,

3.欧拉方程(数一)：axy'+bxy'+cy=f(,x),令

x=e'=>x2y"=D(D-l)y,xy'-Dy

五.应用(注意初始条件)：

1.几何应用(斜率，弧长，曲率，面积，体积)；

注：切线和法线的截距

2.积分等式变方程(含变限积分)；

可设['f(x)dx=F(x),F(a)=0

Ja

3.导数定义立方程：

含双变量条件/(x+y)=的方程

4.变化率（速度）

5.

6.路径无关得方程（数一）：

7.级数与方程：

⑴幕级数求和；（2）方程的基级数解

2

法:y=a0+a]x+a2x+■■•,«（）=y（O）,q=y'（0）

8.弹性问题（数三）

第五讲：多元微分与二重积分

二元微分学概念

1.极限，连续，单变量连续，偏导，全微分，偏导连续（必要条件与充分条件），

⑴V=/（x0+Ax,%+y）,△J=/（x0%）,△"=+J）

⑵limH，＜=lim*,/v=lim?

ArAy

O）fxAx+fy^ydf,lim/"一力=（判别可微性）

J（J）2+（Q）2

注：（0,0）点处的偏导数与全微分的极限定义：

£(0,0)=.巫女世叫《(0,0)=隔幽上

x->0x)y->0y

2.特例：

，7(0,0)

(1)f(x,y)=^x2+y2：(0,0)点处可导不连续；

,0,=(0,0)

[/72*30)

22

(2)f(x,y)yx+y:(0,0)点处连续可导不可微;

[0,=(0,0)

二.偏导数与全微分的计算：

1.显函数一，二阶偏导:z=f(x,y)

注:⑴/型；(2)zvl-(3)含变限积分

2.复合函数的一，二阶偏导(重点):z=/[”(x,y),v(x,y)]

熟练掌握记号f,f2,/；,f；2,力；的准确使用

3.隐函数(由方程或方程组确定)：

⑴形式：*F(x,y,z)=O；*(存在定理)

(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性)：Fxdx+Fydy+F:dz=Q(要求：二

阶导)

(3)注：(%,%)与z()的及时代入

(4)会变换方程.

三.二元极值(定义)；

1.二元极值(显式或隐式)：

(1)必要条件(驻点)；

(2)充分条件(判别)

2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注：应用)

⑴目标函数与约束条件：z=/(x,y)㊉夕(x,y)=O,(或：多条件)

(2)求解步骤：L(x,y,A)=/(%,y)+A(p(x,y),求驻点即可.

3.有界闭域上最值(重点).

(1)z=f(x,y)㊉MGD={(X,y)%,y)<0)

⑵实例：距离问题

四.二重积分计算：

1.概念与性质（“积"前工作）：

（1）,

（2）对称性（熟练掌握）：*。域轴对称；*/奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐

（3）“分块"积分：4；*/*,，）分片定义；*/（尤,y）奇偶

2.计算（化二次积分）：

⑴直角坐标与极坐标选择（转换）：以"D”为主；

（2）交换积分次序（熟练掌握）.

3.极坐标使用（转换）：f（x2+y2）

附：D:（x-a）2+（y-b）2<R2；;

双纽线（x2+y2）2=a2（x2-y2）£>:|x|+|y|<l

4.特例：

（1）单变量：/（幻或"y）

（2）利用重心求积分：要求：题型，且。的面积与重心（京亍）

5.无界域上的反常二重积分（数三）

五:一类积分的应用D;Q;L;r；S）：

1.“尺寸"：（1）；（2）曲面面积（除柱体侧面）；

2.质量，重心（形心），转动惯量；

3.为三重积分，格林公式，曲面投影作准备.

第六讲：无穷级数（数一，三）

一.级数概念

1.定义:(l){aj,(2)S“=4+4++an;(3)Um5„(如)

注:(l)liman;⑵(或)；(3)“伸缩"级数：W(4+i-a”)收敛=伍”}收敛.

2.性质：(1)收敛的必要条件：lim%=0;

"TOO

(2)加括号后发散，则原级数必发散(交织级数的讨论)；

⑶S2"fs,an->0=>52n+lfs=>snfs;

二.正项级数

1.正项级数：⑴定义：20;⑵特征S“/;⑶收敛(有界)

2.标准级数：(1),(2),(3)

3.审敛方法:(注:2ab<a2+b2,a'nh=b'na)

(1)比拟法(原理)：(估计),如；

(2)比值与根值：**lim板(应用：塞级数收敛半径计算)

W->00Y

三.交织级数(含一般项)：£(一1)"%”(。“〉0)

1."审"前考察：(1)4>0?(2)a,f0?;(3)绝对(条件敞敛

注：假设，则发散

2.标准级数：(1);(2);(3)

3.莱布尼兹审敛法(收敛)

⑴前提：Z㈤发散；⑵条件：%、，4-0；⑶结论:Z(-l严％条件

收敛.

4.补充方法：

⑴加括号后发散，则原级数必发散；

(2)52“fs,%-0n52“+i-s=s“fs•

5.考前须知：比照».；W?T）Z；Z㈤；Zd之间的敛散关系

四.幕级数:

1.常见形式：

⑴3《卢”，⑵2X（x-』）"，⑶2X（xr（）产

2.阿贝尔定理：

（1）结论：x=x*敛=>7?之k*-4；x=x*散可

（2）注：当x=x*条件收敛时=>7?=上一刀［

3.收敛半径，区间，收敛域（求和前的准备）

注（1）与同收敛半径

⑵»“尤”与/产之间的转换

4.某级数展开法:

⑴前提：熟记公式(双向，标明敛域)

1,1,

e'=1+xH—xH—x+,Q=R

2!3!

-(ex+e-v)=l+—x2+-x4+,Q=R

22!4!

35

l^-e^)=x+lx+lx+,Q=R

23!5!

11

,0=7?cosx=i-----x〜?H—x4+,Q=R；

3!5!2!4!

1.212\

-----—1+X4~X+,XG(—1,1)；------=1-X+厂一,,X£(—1,1)

1-X1+九

1,1，

ln(l+x)=x-—+-x3-,XG(-1,1]

ln(l-x)=_1一万厂一百/一,XG[—1,1)

arctanx-x——x3+—x5--,xe[-l,l]

35

(2)分解：/(x)=g(x)+/?(©(注:中心移动)(特别:)

(3)考察导函数：g(x)-f\x)=>f(x)=£'g(x)dx+/(O)

JO

(4)考察原函数：g(x)「/(x)再nf(x)=g'(x)

5.幕级数求和法(注:*先求收敛域，*变量替换)：

(l)S(x)=Z+Z,

(2)S'(x)=，(注意首项变化)

⑶S(x)=(Z)',

(4)S(x)n"S(x)”的微分方程

n

(5)应用:y^a„=>y^anx=S(x)=>^an=5(1).

6.方程的基级数解法

7.经济应用(数三)：

⑴复利：A(l+p)n；⑵现值：A(l+pYn

五.傅里叶级数(数一):(T=2万)

1.傅氏级数(三角级数)：S(x')=^-+'^jancosnx+bnsinnx

2n=\

2.n”c〃/々充分条件(收敛定理)：

⑴由f(x)=>S(x)(和函数)

⑵S(x)=g"(x—)+/(x+)]

11

=—f(x)cosnxdx

1t冗TT

3.系数公式：a()=—\f(x)dx,<

兀j]产.

h=­\/(x)sinnxdx

u万,一不

4.题型：(注：/(x)=S(x),xe?)

⑴T=2乃且/（%）=,%£（一肛4]（分段表示）

⑵XG（一匹乃]或X£[0,24]

⑶XG[0,7T]正弦或余弦

*(4)xe[0,乃](T=〃)

*5.T=2l

6.附产品：f(x)=>S(x)=—+^d5/lcosrue+bnsinnx

2〃=i

Q0c

=>S(x0)=」+Zcosnx{}+bnsin〃叫)

2/?=1

第七讲：向量，偏导应用与方向导（数一）

一.向量根本运算

1.kxa+k2h;（平行

2.p|;（单位向量（方向余弦）4°=pjfl=（cosa,cosft,cos/））

3.a,b;(投影:；垂直:a_LZ?=a"=0；夹角:)

4.axb；（法向:〃=axZ?_La,b；面积:S=|ax/?|）

­.平面与直线

n

⑴特征(根本量)：解(与，为，z。)㊉〃=(A,B,C)

(2)方程(点法式):

7t:A(x-x0)+5(y-y0)+C(z-z0)=0^>Ax+By+Cz+D=0

(3)其它：*截距式；*三点式

L

⑴特征(根本量)：%(/，为，Zo)㊉S=(办〃,p)

(2)方程(点向式)：小上3=匕&==1

mnp

八、，fAx+4y+Gz+£>|=0

(3)一般方程(交面式)：(।二二二八

B2y+C2z+D2=0

⑷其它：*二点式；*参数式；(附：线段A3的参数表

冗=q+(出一4)，

示：<丁=々+电一4)/,,0,1])

Z=q+©-C”

3.实用方法：

⑴平面束方程：兀：+C(z+£>1+/L(A2x+4-C2z+D2)=0

A+B+Cz

(2)距离公式：如点M0(x0,y0)到平面的距离d=lV'-^o±2l

VA2+B2+C2

(3)对称问题；

(4)投影问题.

三.曲面与空间曲线(准备)

1.曲面

⑴形式E：F(x,y,z)=O或z=/(x,y)；(注：柱面/(x,y)=0)

⑵法向〃=(凡,&,£)=>(cosa,cos0,cosy)(或〃=(-z*，-z>1))

2.曲线

⑴形式，或；

(2)切向：s={%'«),y'(f),z'(f)}(或5=勺*%)

3.应用

(1)交线，投影柱面与投影曲线；

(2)旋转面计算：参式曲线绕坐标轴旋转；

(3)锥面计算.

四.常用二次曲面

1.圆柱面:炉+y2=R?

2.球面：x2+y2+z2=R2

变形：x2+y2=R2-z2,z=7/?2-(x2+?),

2222222

x+y+z=2az,(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R

3.锥面：z-yjx2+y2

222r~^7

变形：x+j=z,Z=Q_DJT+y-

4.抛物面：z=x2+y2,

变形：x2+y2=z,z=a-(x2+y2)

5.双曲面：x2+y2=z2±1

6.马鞍面：z=x2-y2,或z=j^y

五.偏导几何应用

1.曲面

(1)法向：£(x,y,z)=On〃=(q,g,,£),注

z=f(x,y)=>〃=4-1)

(2)切平面与法线：

2.曲线

(1)切向：x=x(f),y=y(f),z=z(f)ns=(xyz')

(2)切线与法平面

3.综合：r：,s=4x%

六.方向导与梯度(重点)

i.方向导(/方向斜率)：

⑴定义(条件)：I=(m,n,p)=>(cosa,cos/7,cos/)

(2)计算(充分条件:可微)：—=ucosa+ucos，+cosy

dlxy

•Az

附：z=f(x,y),/°={cos6,sin0}=>一=fxcos0+fsin0

dl

22

⑶附：*=九COS6>+2fxysin6cos，+fyysin0

2.梯度(取得最大斜率值的方向)G-.

⑴计算：

(a)z=/(x,y)=>G=gradz=(fx,fy);

(b)u=/(x,y,z)=G=gradu=(MV,uy,uz)

(2)结论

(。)穿=G./。；

dl

S)取/=G为最大变化率方向；

(C)|G(M0)|为最大方向导数值.

第八讲：三重积分与线面积分(数一)

三重积分()

1.。域的特征(不涉及复杂空间域)：

(1)对称性(重点)：含：关于坐标面；关于变量；关于重心

⑵投影法：Dxy={(x,y),+y24R2}㊉Z](x,y)<z<z2(x,y)

(3)截面法：D(z)={(x,j)|x2+y2<R2(z)}®a<z<b

(4)其它：长方体，四面体，椭球

2.7的特征：

⑴单变量/(z),(2)f(x2+y2),(3)f(x2+y2+z2)

(4)f=ax+by+cz+d

3.选择最适合方法：