山东省烟台高考数学一模同步试卷(解析版)-理科

山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项符合题目要求.

1.若集合A={-1,0,1,2,3},B=（y|y=2x-1,xGA},集合C=AAB,则C

的真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

2.若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x>3的

解集为（）

A.{x|x>l}B.{x|x<-2}C.{x|xV-l或x>2}D.{x|xV-2或x>l}

3."m=l"是"函数f（x）Hog2（1+mx）-log2（1-mx）为奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.用0,1,2,299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取

15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8,则第三组

抽取的学生编号为（）

A.20B.28C.40D.48

5.若a,0是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列结论错误的是

（）

A.如果m〃n,a〃B，那么m与a所成的角和n与0所成的角相等

B.如果m_Ln,m_La,n〃B，那么a_L0

C.如果a〃0,mea,那么m〃0

D.如果m_La,n〃a,那么m_Ln

6.一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆,

则该几何体的体积为（）

A.B.C.D.

7.若变量x,y满足则的最小值为（）

A.B.C.D.

8.已知函数f（x）=Asin（cox+巾）（A>0,u）>0,0<4）<n）,其导函数的图象

f'（x）如图所示，则的值为（）

A.B.2C.D.4

9.执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）

A.4B.6C.8D.12

10.已知，若不等式f（X-1）2f（X）对一切xER恒成立,

则实a数的最大值为（）

A.B.-1C.D.1

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.

11.若，则展开式中的常数项为.

12.已知x,y均为正实数，若=(x,y-1),=(2,1),且，，则的

最小值是—.

13.过双曲线的右支上一点P分别向圆J：(x+3)2+y2=4和圆C2：(x

-3)2+y2=l作切线，切点分别为A,B,则|PA|2-|PB|2的最小值为___.

14.从曲线X2+y2=|x"|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的

概率为.

15.已知f(x)是定义在R上的函数，F(x)是f(x)的导函数.给出如下四个

结论：

①若，且f(0)=e,则函数xf(x)有极小值0；

②若xf'(x)+2f(x)>0,则4f(2n-i)<f(2n),ndN*；

③若f'(x)-f(x)>0,则f(2017)>ef(2016)；

④若f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)Vex的解集为(0,+8).

所有正确结论的序号是

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.

16.(12分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

(1)将函数的图象向右平移角A个单位可得到

函数g(x)=-cos2x的图象，求小的值；

(2)若aABC的外接圆半径为1,求aABC面积的最大值.

17.(12分)如图所示的三棱柱中，侧面ABB[A]为边长等于2的菱形，且/

AA]B]=60。，Z^ABC为等边三角形，面ABC上面ABB/1.

(1)求证:A]B]_LAC]；

(2)求侧面A/CJ和侧面BCCR]所成的二面角的余弦值.

（分）己知各项均为正数的数列｛的前项和为满足

18.12ajnSn,

；数列｛bj满足

（1）求数列｛aj,｛bj的通项公式；

（2）设数列｛ajb）的前n项和为1；,当二＞2017时，求正整数n的最小值.

19.（12分）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观

众喜爱，某记者调查了部分年龄在［10,70］的观众，得到如下频率分布直方图.若

第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.

（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；

（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的

年龄分别为x,y,若|x-y|，10,则称此2人为“最佳诗词搭档"，试求选出的2

人为"最佳诗词搭档”的概P;

（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不

低于40岁的人数£的分布列及期望.

20.(13分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2.

(1)若曲线f(x)=xlnx在x=l处的切线与函数g(x)=-x2+ax-2也相切，求

实数a的值；

（2）求函数f（x）在上的最小值;

（3）证明：对任意的xW（0,+8）,都有成立.

21.（14分）如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线丫2=

-4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A,B两点，且|AB|=3.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若M,N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN

的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项符合题目要求.

1.若集合A={-1,0,1,2,3},B={y|y=2x-1,xGA},集合C=AAB,则C

的真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【考点】子集与真子集.

【分析】先求出集合B,从而求出集合C=ACB,由此能求出C的真子集个数.

【解答】解：集合A={-1,0,1,2,3},

B={y|y=2x-1,xGA}={-3,-1,1,3,5},

二集合C=AAB={-1,1,3},

AC的真子集个数为23-1=7.

故选：C.

【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集

定义的合理运用.

2.若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|>3的

解集为（）

A.{x|x>l}B.{x|x<-2}C.{x|xV-l或x>2}D.{x|xV-2或x>l}

【考点】复数代数形式的乘除运算；绝对值不等式的解法.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a

值，再由绝对值的几何意义求得不等式|x+a|+|x|>3的解集.

【解答】解：•••=为纯虚数，

,解得a=l.

/.|x+a|+|x|>3<=>|x+l|+|x|>3,

由绝对值的几何意义可得：*<-2或*>1.

，不等式|x+a|+|x|>3的解集为{x|xV-2或x>l}.

故选：D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了绝对值不等式的解法，是基

础的计算题.

是"函数为奇函数”的()

3."m=l"f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】利用函数的奇偶性的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出.

【解答】解:函数为奇函数，则

f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)f(-x)

+f(x)=log2(1-mx)-log2(1+mx)+log2(1+mx)-log2(1-mx)=0,m,x

满足：.

可得是"函数为奇函数",反之不成立,

"m=l"f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)

例如取m=-1.

因此是"函数为奇函数”的充分不必要

"m=l"f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)

条件.

故选：A.

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

4.用0,1,2,299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取

15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8,则第三组

抽取的学生编号为()

A.20B.28C.40D.48

【考点】系统抽样方法.

【分析】根据已知计算出组距，可得答案.

【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，

...组距是20,

•.•第一组抽取的学生的编号为8,

,第三组抽取的学生编号为8+40=48.

故选：D.

【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌

握系统抽样的概念

5.若a,0是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）

A.如果m〃n,a〃0,那么m与a所成的角和n与。所成的角相等

B.如果m_Ln,m±a,n〃B，那么a_L0

C.如果a〃dmua,那么m〃0

D.如果m_l_a,n〃a,那么m_Ln

【考点】平面的基本性质及推论.

【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个

结论的真假，可得答案.

【解答】解：A、如果m〃n,a〃B，那么m,n与a所成的角和m,n与。所成

的角均相等，故正确；

B、如果m_Ln,m±a,n〃0,不能得出a_L0,故错误；

C、如果a〃B，mua,那么m与B无公共点，则m〃0.故正确；

D、如果n〃a,则存在直线lua,使n〃l,由m_La,可得mJLI,那么m_Ln.故

正确，

频B.

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间苜线与平面的位置关

系，碰中档.

6.一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆,

则该几何体的体积为（）

A.B.C.D.

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图得出几何体是一个三棱柱中间挖去一个内切圆柱，结合图中

数据求出体积.

【解答】解：由几何体的三视图可得：

该几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱；

且正三棱柱的底面边长为，高也为4；

所以组合体的体积为

V=V-V=X42X4-X4=16-

三棱柱圆柱

故选：A.

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积问题，是基础题目.

7.若变量x,y满足则的最小值为（）

A.B.C.D.

【考点】简单线性规划.

【分析】由约束条件作出可行域，再由=的几何意义，即可行域内的

动点与定点P（）连线斜率倒数的2倍求解.

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

B(0,2),A(1,0),

=的几何意义为可行域内的动点与定点P（）连线斜率倒数的

2倍，

kPA==，kpB="

...的最小值为2X

故选：A.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化

思想方法，是中档题.

8.已知函数f（x）=Asin（ax+巾）（A>0,W>0,0<4）<n）,其导函数的图象

f'（x）如图所示，则的值为（）

A.B.2C.D.4

【考点】由小的卜（3X+巾）的部分图象确定其解析式.

【分析】求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出3,利用振幅求出A,利

用导函数经过（，-2）,求出力，得到函数的解析式，即可得解.

【解答】解：函数的导函数f'（x）=U）ACOS（3X+4））,由图象可知f'（X）的周期

为4n.

所以3=.

又因为A3=2.

所以A=4.

函数经过(，-2),

所以-2=2cos(X+4)),0<4)<n,

所以X+4)=TI,即4)=.

所以f(x)=4sin(x+).

所以f()=4sin(X+)=4.

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的导数与函数的图象的关系，考查计算能力和数形结

合思想的应用，属于中档题.

9.执行如图所示的程序框图，输出的n值为()

A.4B.6C.8D.12

【考点】程序框图.

【分析】算法的功能是求$=++...+的值，利用等比数列的前n项和公式求

得满足条件S>的最小的n值.

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求5=++...+的值，

VS=++...+>=n>7,

，跳出循环体的n值为8,.•.输出n=8.

故选C.

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是关

键.

10.已知，若不等式f(x-1)2f(x)对一切xGR恒成立,

则实a数的最大值为()

A.B.-1C.D.1

【考点】函数恒成立问题.

【分析】作出函数f(X)的图象，利用函数f(x-1)的图象高于f(X)的图象,

进行求解即可.

【解答】解：作出函数f(X)和f(X-1)的图象，

当a20时，f(x-1)(x)对一切xGR不恒成立(如图1)

当a<0时，f(x-1)过定点(1,0)(如图2),

当x>0时，f(x)=ax2+x的两个零点为x=0和x=-,

要使不等式f(x-l)2f(x)对一切xGR恒成立，

则只需要-W1,得aW-1,

即a的最大值为-1,

故选：B

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结

合是解决本题的关键.综合性较强.

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.

11.若，则展开式中的常数项为-160.

【考点】二项式系数的性质.

【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的

值.

【解答】解：若，

贝U21nx=2(Ine-Ini)=2,即a=2,

•••展开式的通项公式为：

T=*X6-r*=(-2)r**X6-2r,

令6-2r=0,解得r=3；

,展开式的常数项为：

T『(-2)3・=-160.

故答案为：-160.

【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题,是基础题目.

12.已知x,y均为正实数，若=(x,y-1),=(2,1),且J_,则的

最小值是8.

【考点】基本不等式.

【分析】，，考点・=0,即2x+y=l.再利用“乘1法"与基本不等式的性质即

可得出.

【解答】解：J_,；♦,=2x+y-1=0,即2x+y=l.

又x,y均为正实数，

则=(2x+y)=4+24+2=8,当且仅当y=2x=时取等号.

故答案为：8.

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系,

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

13.过双曲线的右支上一点P分别向圆J：(x+3)2+y2=4和圆C2：(x

-3)2+y2=l作切线,切点分别为A,B,则|PA|2-|PB|2的最小值为9.

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线X2-=1的左右焦点为FJ-3,0),

F2(3,0),连接PF】，PF2，F^,F2B,运用勾股定理和双曲线的定义，结合三

点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值.

【解答】9解：圆J：(x+3)2+y2=4的圆心为(-3,0),半径为「=2；

圆C2：(x-3)2+y2=l的圆心为(3,0),半径为fl,

设双曲线X2-=1的左右焦点为F](-4,0),F2(4,0),

连接PF】，PF2，F/,F2B,可得

|PA|2-|PB12=(|PF/2-rj)-(|PF2h-r22)

=(|PF12-4)-(|PF2|2-1)

=|PFJ2-|PF2|2-3=(|PFJ-|PF2|)(IPFJ+IPFJ)-3

=2a(iPFj+lPFj-3=2(IPFX|+1PF21)-3》2・2c-3=2«6-3=9.

当且仅当P为右顶点时，取得等号，

即最小值9.

故答案为：9

【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共

线的性质，以及运算能力，属于中档题.

14.从曲线X2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的

概率为.

【考点】几何概型.

【分析】分别按x>0,y>0和x>0,yWO和xWO,y>0和xWO,yWO讨论，

这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，即可得出结论.

【解答】解：分别按x>0,y>0和x>0,yWO和x〈0,y>0和xWO,yWO讨

论，

这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，

当x>0,y>0,原方程可化为：（x-）2+（y-）2=,

它表示圆心在（，），半径为的圆在第一象限的部分.

当x>0,yWO,原方程可化为：(x-)2+(y+)2=,

它表示圆心在（，-）,半径为的圆在第四象限的部分.

当xWO,y>0,原方程可化为：（x+)2+(y-)2=,

它表示圆心在（-,）,半径为的圆在第二象限的部分.

当xWO,yWO,原方程可化为：（x+)2+(y+)2=

它表示圆心在（-,）,半径为的圆在第三象限的部分.

综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域.

这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的

直径.

所以总面积S=()2+()2H*2=2+H,

故该点在单位圆中的概率p=

故答案为：

【点评】本题考查圆的一般方程，考查面积的计算，考查分类讨论的数学思想,

考查学生的计算能力，属于中档题.

15.已知f(x)是定义在R上的函数，F(x)是f(x)的导函数.给出如下四个

结论：

①若,且f(0)=e,则函数xf(x)有极小值0；

②若xf'(x)+2f(x)>0,则4f(2n-i)<f(2n),nGN*；

③若f'(x)-f(x)>0,则f(2017)>ef(2016)；

④若f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)Vex的解集为(0,+8).

所有正确结论的序号是.

【考点】命题的真假判断与应用；导数的运算.

【分析】由各个选项中的条件分别构造函数g(x),由求导公式和法则求出gz

(x)后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g(x)的单调性,

由条件和函数的单调性进行判断即可.

【解答】解：①、设g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf(x),

♦♦・

•，・・，

则函数g(x)在(-8,0)递减，在(0,+8)上递增，

，函数g(X)的极小值是g(0)=0,①正确；

②、设g(X)=X2f(x),

则g'(x)=2xf(x)+X2f(x)=x[xf'(x)+2f(x)],

Vxf'(x)+2f(x)>0,

，则函数g(x)在(-8,o)递减，在(0,+8)上递增，

V2n+l>2n>0,：.g(2ml)>g(2n),即4f(2n+l)>f(2n),②不正确；

③、设g(X)=,则g'(X)==,

Vf(x)-f(x)>0,Ag'(x)>0,即g(x)在R上是增函数，

Ag(2017)>g(2016),则，

即f(2017)>ef(2016),③正确；

④、g(x)=exf(x),

则g'(x)=exf(x)+exf(x)=ex[f(x)+f(x)],

'对任意xdR满足f(x)+f(x)>0,ex>0,

...对任意XGR满足g，(x)>0,则函数g(x)在R上是增函数，

Vf(0)=1,且f(x)Vex的化为g(x)<l=g(0),即xVl,

则不等式的解集是(-8,1),④不正确；

故答案为：①③.

【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的

应用，考查化简、变形能力.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.

16.(12分)(2017•烟台一模)在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,

b,c,且.

(1)将函数的图象向右平移角A个单位可得到

函数g(x)=-cos2x的图象，求小的值；

(2)若AABC的外接圆半径为:L,求^ABC面积的最大值.

【考点】函数y=Asin(u)x+4))的图象变换；正弦定理.

【分析】(1)根据利用正弦定理求解出角A大小，根据三角函数图

象的平移变换即可求解。的值.

(2)根据aABC的外接圆半径为1,利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等

式可得4ABC面积的最大值.

【解答】解：由和正弦定理可得：，

整理得：sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,即sinC=2sinCcosA,

VsinCT^O,

/.cosA=,0<A<TI,

将函数的图象向右平移角A个单位，可得：sin[2

(x-)+e].

由题意可得:sin[2(x-)+4)]=-cos2x,即sin(2x-+(j))=sin(2x-由

A4)=+2kR(kez),

+2kn(kGZ),

V0<4),

4)=.

(2)根据AABC的外接圆半径为1,A=,

/.2RsinA=a,即a=.

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,可得:3=bz+cz-be,

即3+bc22bc,可得bcW3,当且仅当b=c是取等号.

.,.△ABC面积的最大值

【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换，正弦定理和余弦定理，基本不等

式等知识点的灵活运用和计算能力.

17.(12分)(2017•烟台一模)如图所示的三棱柱中，侧面ABBS1为边长等

于2的菱形，且NAA]B『60。，△ABC为等边三角形，面人8(：_1_面ABBJ].

(1)求证：A[B]_LAC]；

(2)求侧面A/CJ和侧面BCCR]所成的二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】(1)取AR1的中点O,连结。A,0C],只证AR面AOQ即可得到AR

LAC1.

(2)先证明AOLAC].再以。为坐标原点，OAj0A,0C1方向为x、y、z轴建

立坐标系0-xyz.求出平面A]ACC]、平面BCAC1B1的法向量即可

【解答】解：(1)证明：取AR1的中点0,连结0A,0C],

因为,AABC为等边三角形，.•.CiOLAjB],

在△A/O中，A]A=2,A]O=1,NAA[B]=60°,可得OA_LOA/

，AiBi_LCi。，A]B]J_OA,OACOC]=O,Z.面AOJ

而AQu面AOC/ARiJLACi.

(2)•.•面人月担1_1_面ABBS1,面ARFin面ABB]A『B]Ai，且.工0

，面ABBA，

OAc面ABB^jAAOlA^.

由(1)知OALOAjOA]J_O(：i，故可以0为坐标原点，OAjOA,OJ方向为

x、y、z轴建立坐标系。-xyz.

A1(1,0,0),A(0,,0),J(0,0,),B](-1,0,0),C(-1,

设为平面'ACCl的法向量，则，可得

设为平面BCAQB］的法向量，则，可得

侧面A］ACC］和侧面BCCRi所成的二面角的余弦值为

【点评】本题考查了线线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题.

18.（12分）（2017•烟台一模）己知各项均为正数的数列｛aj的前n项和为S”,

满足；数列｛bj满足

（1）求数列｛aj,｛bj的通项公式;

(2)设数列｛ajb)的前n项和为'，当'>2017时，求正整数n的最小值.

【考点】数列的求和；数列递推式.

【分析】(1)由(n22),可得(n23),两

式相减得a'a”广1(nN3).再由a2-a「l,可得数列｛a,为等差数列，则数

列｛aj的通项公式可求，再由，得(n

22).两式相比可得：(n22),验证首项后得；

(2)由(1)可知，，然后利用错位相减法求得天,结合单调性及

可得正整数的最小值.

TO=3586>2017,T/=1538<2017.n

【解答】解：(1),/(n》2),(n23),

两式相减得：，则a。-a。广1(n23).

又•:

,a1=l,I.,

Va2>0,.,.a2=2.

显然

a2-a1=l.

/.an-an.1=1(nN2).

数列｛aj为等差数列，又a「l,

Aan=n-

,/,：.(n22).

两式相比可得：(n22),

当n=l时，b『2满足题意,

••»

(2)由(1)可知，，

两式相减可得:=-2+2n+l-n・2n+l.

故

,/>0,

随n的最大而最大，

而TO=3586>2017/,T=1538<2017.

正整数n的最小值为8.

【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训

练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题.

19.（12分）（2017•烟台一模）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国

诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在［10,70］的观众，得到如下

频率分布直方图.若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.

（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；

（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的

年龄分别为x,y,若|x-y|210,则称此2人为“最佳诗词搭档"，试求选出的2

人为"最佳诗词搭档”的概P;

（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不

低于40岁的人数£的分布列及期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其

分布列.

【分析】（1）设第四、五组的频率分别为x,y,则2y=x+0.005X10,x+y=l-

（0.005+0.015+0.02+0.035）X10,联立解得:x,y.从而得出直方图.

（2）由题意第四组人数为4X=12.可得P=

（3）由题意可得：样本总人数==80,年龄不低于40岁的人数为：80X

(0.05+0.10+0.15)=24.故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为

=.X的可能取值为0,1,2,3.P(1=k)=,即可得

出.

【解答】解：(1)设第四、五组的频率分别为x,y,则2y=x+0.005X10,x+y=l

-(0.005+0.015+0.02+0.035)X10,

联立解得：x=0.15,y=0.10.从而得出直方图，=15X0.2+25X0.15+35X0.35+45

X0.15+55X0.1+65X0.05=34.5.

(2)由题意第四组人数为4X=12.."==.

(3)由题意可得：样本总人数==80,年龄不低于40岁的人数为：80X

(0.05+0.10+0.15)=24.故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为

=.X的可能取值为0,1,2,3.

P(£=k)=，可得p(1=o)=,p(£=1)=,P(£=2)

=,P(£=3)=.

可得£的分布列：

£0123

P

B,则E£=3X=

【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的性质及其数学期望计

算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.(13分)(2017•烟台一模)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-xz+ax-2.

(1)若曲线f(x)=xlnx在x=l处的切线与函数g(x)=-x2+ax-2也相切，求

实数a的值；

(2)求函数f(x)在上的最小值;

(3)证明：对任意的xd(0,+8),都有成立.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】(1)求出函数的导数，计算f(1),f(1)的值，求出切线方程即可;

(2)求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f(x)

的最小值即可；

(3)设m(x)=-,(xG(0,+°°)),求出m(x)的导数，求出m(x)

的最大值，得至Uf(x).2m(x)恒成立，从而证明结论即可.

【解答】解:(1)f(x)=lnx+x*=lnx+l,

x=l时，V(1)=1,f(1)=0,

故f(x)在x=l处的切线方程是：y=x-1,

联立，

消去y得:X2+(1-a)x+l=0,

由题意得：△=(1-