2023-2024学年中考数学 三角形问题【含答案】

专题10三角形问题

典例剖析

【考点1】三角形基础知识

【例1】1.（2020•湛江）如图，在AZSC中，N/=30°,Z5=50°,C。平分NZC8,则/HOC的度

数是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【分析】

在AZBC中，利用三角形内角和为180。求N/C8,再利用C。平分N/C8,求出4c。的度数，再在

△4CD利用三角形内角和定理即可求出/ADC的度数.

【详解】

•.•在AZBC中，Z/1=30°,Z5=50°.

ZACB=\80°-/LA-Z5=l80°-30°-50°=l00°.

CD平分ZACB.

：.ZACD=-ZACB=-x\00°=50°.

22

ZADC=\80°-ZJ-cr>=180°-30°-50°=100°.

故选c.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键.

【变式1-1】（2020•浙江绍兴•中考真题）长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形

（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.

【详解】

①长度分别为5、3、4,能构成三角形，且最长边为5；

②长度分别为2、6、4,不能构成三角形；

③长度分别为2、7、3,不能构成三角形；

④长度分别为6、3、3,不能构成三角形；

综上所述，得到三角形的最长边长为5.

故选：B.

【点睛】

此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构

成的情况.

【变式1-2](2020•甘肃天水•)一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程8x+12=0的根,

则该三角形的周长为.

【答案】13

【分析】

先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求.

【详解】

解：Vx2-8x+12=0,

/.(x-2)(x-6)=0,

/.xi=2,*=6,

•.•三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程/_8/12=0的根，当尸2时，2+2V5,不符合题意，

，三角形的第三边长是6,

该三角形的周长为：2+5+6=13.

故答案为：13.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的一:边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

【考点2】全等三角形的判定与性质的应用

【例2】(2020•辽宁鞍山•中考真题)如图，在四边形力中，N8=NQ=90。，点E,尸分别在48,AD

上，AE—AF,CE=CF,求证：CB=CD.

I)

【答案】见解析

【分析】

连接AC,证明△ACE^^ACF,得到NCAE=NCAF,再利用角平分线的性质定理得到CB=CD.

【详解】

解：连接AC,

VAE=AF,CE=CF,AC=AC,

/.△ACE^AACF（SSS）,

；.NCAE=NCAF,

VZB=ZD=90°,

；.CB=CD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC,证明三角形全等.

【变式2-1】（2020•山东东营・中考真题）如图1,在等腰三角形力8c中，/么=120°,工8=4。,点£）、E

分别在边4c上，AD=AE,连接BE,点、M、N、P分别为DE、BE、3c的中点.

图2

（1）观察猜想

图1中，线段NM、NP的数量关系是，尸的大小为

（2）探究证明

把ANOE绕点力顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接加尸、BD、CE,判断△AWP的形状，并说明

理由；

（3）拓展延伸

把A/OE绕点Z在平面内自由旋转，若［。=1,48=3,请求出△朋NP面积的最大值.

【答案】（I）相等，60°；（2）△脑VP是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为JJ.

【分析】

（1）根据"ZA^12O°,AB=AC,AD=AE,点、M、N、P分别为DE、BE、的中点"，可得

MN//BD,NP//CE,根据三角形外角和定理，等量代换求出NWNP.

（2）先求出△力8。丝△ZCE,得出4=根据MN〃BD,NP//CE,和三角形外角和定

理，可知MN=PN,再等量代换求HINMNP,即可求解.

（3）根据8O4Z6+/。，可知BD最大值，继而求出△MVP面积的最大值.

【详解】

（1）由题意知：AB=AC,AD=AE,且点“、N、P分别为DE、BE、8c的中点，

；.BD=CE,MN//BD,NP//CE,MN」BD,NP=—EC

22

，MN=NP

XVMN//BD,NP//CE,NA=120°,AB=AC,

；.NMNE=NDBE,ZNPB=ZC,ZABC=ZC=30°

根据三角形外角和定理，

得NENP=NNBP+NNPB

ZMNP=ZMNE+ZENP,ZENP=ZNBP+ZNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

NMNP=NDBE+NNBP+NC

=ZABC+ZC=60°.

（2）△仞叱是等边三角形.

理由如下：

如图，由旋转可得NB4D=NC4E

在△ABD和△ACE中

AB^AC

<NBAD=NCAE

AD=AE

:."BD会"CE（SAS）

：.BD=CE,NABD=NACE.

•••点M、N分别为DE、BE的中点，

.•.MN是的中位线，

；.MN：BDAMN//BD

2

同理可证PNACERPNHCE

2

MN=PN,AMNE=/DBE,ZNPB=/ECB

■：NMNE=2DBE=NABD+NABE=NACE+ZABE

NENP=ZEBP+NNPB=2EBP+ZECB

ZMNP=ZMNE+4ENP=ZACE+AABE+Z.EBP+NECB

=N4BC+NACB=60°.

在△A/NP中

VZMNP=60°,MN=PN

:.AMNP是等边三角形.

（3）根据题意得:BD<AB+AD

即8。44，从而MVW2

△MNP的面积=LMN•昱MN=®MN?.

224

4MNP面积的最大值为百.

【点睛】

本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识;

正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键.

【变式2-2】(2020•山东烟台・中考真题)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是

直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.

(问题解决)

(1)如图1,若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD；

(类比探究)

(2)如图2,若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明

理由.

【答案】(I)见解析；(2)FC=CD+CE,见解析

【分析】

(1)在CD上截取CH=CE,易证ACEH是等边三角形，得出EH=EC=CH,证明△DEHgAFEC(SAS),

得出DH=CF,即可得出结论：

(2)过D作DG〃AB,交AC的延长线于点G,由平行线的性质易证/GDC=NDGC=60。，得出4GCD

为等边三角形，则DG=CD=CG,证明△EGDgAFCD(SAS),得出EG=FC,即可得出FC=CD+CE.

【详解】

(1)证明：在CD上截取CH=CE,如图1所示：

「△ABC是等边三角形，

/.ZECH=60°,

/.△CEH是等边三角形，

；.EH=EC=CH,ZCEH=60°,

VADEF是等边三角形，

・・・DE=FE,ZDEF=60°,

・・・NDEH+NHEF=NFEC+NHEF=60。，

・・・NDEH=NFEC,

在ADEH和AFEC中，

DE=FE

vZDEH=ZFEC,

EH=EC

AADEH^AFEC(SAS),

・・・DH=CF,

・♦・CD=CH+DH=CE+CF,

・・・CE+CF=CD；

(2)解：线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE；理由如下:

VAABC是等边三角形，

・・・NA=NB=60。，

过D作DG〃AB,交AC的延长线于点G,如图2所示：

・・'GD〃AB,

AZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°,

・・・NGDC=NDGC=60。，

•••△GCD为等边三角形，

・・・DG=CD=CG,ZGDC=60°,

VAEDF为等边三角形，

・・・ED=DF,ZEDF=ZGDC=60°,

AZEDG=ZFDC,

在Z^EGD和ZiFCD中，

ED=DF

<ZEDG二ZFDC,

DG=CD

AAEGD^AFCD(SAS),

，EG=FC,

・・・FC=EG=CG+CE=CD+CE.

E

Bd、zD

S2G

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等

边三角形是解题的关键.

【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用

[例3]（2020•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）（1）（操作发现）

如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△48C的三个顶点均在格点上.

①请按要求画图：将AZBC绕点A顺时针方向旋转90°,点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C'.连

接83'；

②在①中所画图形中，ZAB'B=

（2）（问题解决）

如图2,在中，BC=1,ZC=90°,延长CA到D,使CD=1,将斜边AB绕点A顺时针旋转90。

到AE,连接DE,求/ADE的度数.

（3）（拓展延伸）

如图3,在四边形ABCD中，AE±BC.垂足为E,ZBAE=ZADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB(k

为常数），求BD的长（用含k的式子表示）.

图1

【答案】（1）①见解析,

【分析】

（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可.

②只要证明AABB，是等腰直角三角形即可.

（2）如图2,过点E作EH_LCD交CD的延长线于H.证明AABC丝4EAH（AAS）即可解决问题.

(3)如图3中，由AE±BC,BE=EC,推出AB=AC,将AABD绕点A逆时针旋转得到^ACG,连接DG.则

BD=CG,只要证明NGDC=90。，可得CG=JQG?+CD?,由此即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图，4ABC即为所求.

图1

②由作图可知，AABB，是等腰直角三角形，

AZAB,B=45°,

故答案为45.

(2)如图2中，过点E作EH_LCD交CD的延长线于H.

图2

,/NC=ZBAE=NH=90。，

.♦・NB+NCAB=90。，NCAB+NEAH=90。,

AZB=ZEAH,

VAB=AE,

AAABC^AEAH(AAS),

/.BC=AH,EH=AC,

VBC=CD,

ACD=AH,

・・・DH=AC=EH,

・・・NEDH=45。，

AZADE=135°.

(3)如图③中，VAE±BC,BE=EC,

，AB=AC,将AABD绕点A逆时针旋转得到^ACG,连接DG.则BD=CG,

图③

VZBAD=ZCAG,

/.ZBAC=ZDAG,

：AB=AC,AD=AG,

/.NABC=NACB=NADG=NAGD,

/.△ABC^AADG,

VAD=kAB,

・・・DG=kBC=2k,

VZBAE+ZABC=90°,ZBAE=ZADC,

AZADG+ZADC=90°,

AZGDC=90°,

・・・CG=^DG2+CD2=44^+9・

・*BD=CG=，4储+9・

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等

三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全

等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

【变式3-1】（2020•四川凉山•中考真题）如图，点P、Q分别是等边A48c边AB、BC上的动点（端点除

外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.

图1图2

(1)如图1,连接AQ、CP求证：AABQS\CAP

(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M,NQA/C的大小是否变化？

若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数

(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时;直线AQ、CP相交于M,的大小是否变

化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

【答案】(1)证明见解析；(2)不变；60°；(3)不变；120。.

【分析】

(1)根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP,结合等边三角形的性质证全

等即可：

(2)由(1)中全等可得/CPA=/AQB,再由三角形内角和定理即可求得/AMP的度数，再根据对顶角

相等可得NQWC的度数；

(3)先证出△C8P三△ZC0,可得NQ=/P,再由对顶角相等，进而得出NQMC=NCBP=120。.

【详解】

解：(1)证明：♦.•三角形ABC为等边三角形，

，AB=AC,ZABC=ZCAB=60°,

1•点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，

r.BQ=AP,

在aABQ与4CAB中，

AB=AC

«NABC=NCAB

BQ=AP

\ABQ^\CAP{SASY

(2)角度不变，60°,理由如下：

MBQ=NCAP

，NCPA=NAQB,

在AAMP中，

ZAMP=180°-(ZMAP+ZCPA)=180°-(ZMAP+ZAQB)=ZABC=60°,

/.ZQMC=ZAMP=60°,

故NQMC的度数不变，度数为60。.

(3)角度不变，120。，理由如下：

当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，

有AP=BQ,；.BP=CQ

VZABC=ZBCA=60°,

.,.ZCBP=ZACQ=120°,

BC=AC

<NCBP=NACQ

BP=CQ

：.^CBP/\ACQ(SAS)

：.ZQ=ZP,

VZQCM=ZBCP,

•,.ZQMC=ZCBP=120°,

故NQMC的度数不变，度数为120°.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质

证全等是解题的关键.

【变式3-2](2020•吉林中考真题)如图，△Z8C是等边三角形，AB=4cm，动点尸从点4出发，以2cm/s

的速度沿向点8匀速运动，过点尸作交折线NC—C3于点。，以P。为边作等边三角形

PQD,使点力,。在尸。异侧.设点尸的运动时间为x(s)(O<x<2),△P。。与△N8C重叠部分图

形的面积为歹卜机2).

（1）力尸的长为cm（用含x的代数式表示）.

（2）当点。落在边8c上时，求x的值.

（3）求V关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【答案】（l）2x；（2）］；（3）当0<x4|■时，y=3®M当2<x〈l时，夕=一生叵/+18岳—66；

3332

当l<x<2时，y=^-（x-2）2-

【分析】

（1）根据“路程=速度x时间”即可得；

（2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得NN=N8=NOPQ=60°,PQ=OP,再根据垂直的

定义可得ZAQP=NBPD=30°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AQ=BP,最后在Rt^APQ

中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得；

22

（3）先求出点Q与点C重合时x的值，再分0<x4—、一<x〈l和l<x<2三种情况，然后分别利川等

33

边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得.

【详解】

（1）由题意得：AP=2x{cm）

故答案为：2x；

（2）如图，•.•"8。和都是等边三角形

NA=NB=乙DPQ=60°,PQ=DP

•••PQLAB,即NAPQ=NBPQ=90°

NAQP=90°-NN=30°,乙BPD=ABPQ-乙DPQ=30°

N4=NB

在“PQ和ABDP中，\ZAQP=NBPD=30°

PQ=DP

；.AAPQ*BDP(AAS)

AQ=BP

■：AB-4,AP=2x

:.AQ=BP=AB-AP=4-2x

•.•在中，乙4。尸=30。

AP=^AQ,即2x=g(4-2x)

2

解得x=一；

3

（3）•.•△NBC是等边三角形

AC=BC=AB=4

当点Q与点C重合时，AP=^AQ=^x4=2

则2x=2,解得x=l

结合（2）的结论，分以下三种情况：

2

①如图1,当0<x（一时，重叠部分图形为△尸。。

由（2）可知，等边的边长为尸。=百力尸=2后

由等边三角形的性质得：PQ边上的高为*PQ=3x

则歹=1・2瓜・3%=3岳2

2

2

②如图2,当一<x«l时，重叠部分图形为四边形EFPQ

3

•;NB=60°,NBPD=30。

ZBFP=180°-N8-NBPD=90°

则在心抨中，BF=^BP=^4-2x)=2-x,PF=&F=6Q-X)

：.DF=PD-PF=2瓜-73(2-x)=3瓜-2百

EFr-

在RtLDEF中,tanZ)=—,即环=tan60。•。b二

DF

则y—S四边形=S陋口—'Rt&DEF

=3y/3x2--DFEF

2

=3岳2,曰©瓜_26尸

=—+氐—6百

2

③如图3,当l<x<2时，重叠部分图形为AMP。

同②可知，BM=^BP=^(4-2x)=2-x,PM=y^BM=6(2—x)

在火/AA/P。中，tan/A/PQ=避，即"0=tan60°♦PM=JJPW

PM

则蚱工4=;所闻0

=-y--[V3(2-x)]2

=亭(>2f

22oi

综上，当0<x4]时，y=3氐2；当]<x«l时，丁=十第瓜一6百；当l<x<2时,

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正切三角函数等知识

点，较难的是题(3),依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键.

【考点4】直角三角形的性质

【例4】(2020•云南中考真题)如图，四边形48CD是菱形，点//为对角线力C的中点，点E在Z3的延

长线上，CELAB,垂足为E，点厂在工。的延长线上，CF上AD,垂足为

(1)若NBAD=60。,求证：四边形CE/7F是菱形；

(2)若CE=4,的面积为16,求菱形/BCD的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)20.

【分析】

(1)由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证EH=CE=CF=FH=LAC,

2

即可证明结论；

(2)由根据三角形面积求法可求/E,设在用AffCE,由勾股定理列方程即可求出菱形边长，进

而可求面积.

【详解】

解：：四边形Z3C。是菱形，ZBAD=60°,

，ABAC=30°,

•：CELAB.,

：.EC=-AC,

2

又,：AH=CH，

：.EH^-AC,

2

EH=CE==AC

2

同理可得：CF=FH==AC,

2

:.EH=CE=CF=FH，即：四边形CE//是菱形；

(2)■：/\ACE=-AE»CE,

2

.」心4=16,

2

AE—8，

在四边形48CQ是菱形中，设Z3=8C=x,则BE=4E-4B=8-x

在Rt/\BCE中，EC2+BE2=BC2<

：.42+(8-x)2=x2,

解得x=5,

，菱形ABCD面积=ABy.CE=5x4=20.

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理.解题关键是灵活运用直角三角形

性质得出线段之间发热关系.

【变式4-1](2019•黑龙江中考真题)一张直角三角形纸片Z8C,ZACB=90°，AB=10,AC=6,

点D为8c边上的任一点,沿过点。的直线折叠，使直角顶点。落在斜边A8上的点E处，当ABDE是直

角三角形时，则的长为.

【答案】3或1

【解析】

【分析】

依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当4BDE是直角三角形时，分两种情

况讨论：/口£8=90。或/13口£=9()。，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长

【详解】

分两种情况：

①若ZDEB=90"，则NAED=90°=ZC.CD=ED,

连接则RtMCD三RtMEAD(HL),

：.AE=AC=6,B£=10-6=4.

设CD=OE=x，则BD=8—x,

•;RtMDE中,DE2+BE2=BD2

x2+42-(8-x)2,

解得x=3,

/.CD=3；

②若N8DE=9(r，则NCOE=ZDER=NC=9(X，CD=DE,

：.四边形COE厂是正方形，

NAFE=Z.EDB=90°，NAEF=ZB,

\AEF〜\EBD，

.AF_EF

"~ED~~BD'

设CD=x，则斯=Z)P=x,AF=6-x,BD=8-x,

6-xx

----=-----,

X8-x

24

解得x=一，

7

综上所述，的长为3或,，

故答案为：3或日24.

【点睛】

此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形

【变灰4-2］（2020•海南中考真题）如图，在Rt"BC中，NC=90°,NABC=30°,AC=1cm,将Rt^ABC

绕点Z逆时针旋转得到&八仿'。'，使点C'落在48边上，连接88'，则的长度是（）

C.yficmD.2y[3cm

【答案】B

【分析】

由旋转的性质可知，/CAB=/BAB'=60°，进而得出A"8为等边三角形，进而求出88'=48=2-

【详解】

解：•；NC=90°,ZABC=30°,AC=1cm,

由直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半可知，

，AB=2AC=2cm,

又ZCAB=900-48C=90°-30°=60°,

由旋转的性质可知：/CAB=NBAB'=60；且4B=4B，

力*为等边三角形,

•••BB=AB=2-

故选：B.

【点睛】

本题考查了直角三角形中30。角所对的宜角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类

题的关键.

【考点5】相似三角形的判定与性质的应用

[例5](2020•上海中考真题)已知：如图，在菱形48。中，点E、尸分别在边N8、上，BE=DF,

CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：△BECS/\BCH；

(2)如果求证：AG=DF.

【分析】

(1)先证明尸且△C8E,进而得到NOC尸=N8CE,再由菱形对边C£)〃8H,得至ljN，=NOCF,进而

ZBCE=ZH即可求解.

BFAFBFAG

⑵由B—BTE,得到一=——，再利用/G〃8C,平行线分线段成比例定理得到一=—,再结合

ABEBABBC

已知条件即可求解.

【详解】

解：⑴•••四边形488是菱形,

：.CD=CB,ZD=ZB,CDI/AB.

'：DF=BE,

:.ACDF丝ACBEISAS),

：.ZDCF=ZBCE.

'JCD//BH,

：.ZH=NDCF,

：.NBCE=NH.且

:.△BECs^BCH.

(2)；BE2=AB・AE,

.BE_AE

"7B~~EB'

\'AG//BC,

.AEAG

"~BE~BC'

.BEAG

"^B~BC'

,:DF=BE,BC=AB,

：.BE=AG=DF,

即AG=DF.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式5-1](2020•山东济南・中考真题)在等腰ZU8C中，AC=BC,是直角三角形，ND4E=90。,

ZADE=—ZACB,连接8。，BE,点尸是BD的中点,连接CF.

2

(1)当NC48=45。时.

①如图1,当顶点。在边ZC上时，请直接写出/以8与NC历1的数量关系是.线段5E与线段CF

的数量关系是;

②如图2,当顶点。在边Z8上时，(1)中线段与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予

证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰A/BC底边上的高CM,并取8E的中点M再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二：取OE的中点G,连接/G,CG,并把AC4G绕点C逆时针旋转90。，再利用旋转性质、三角形全

等或相似有关知识来解快问题.

(2)当/。8=30。时，如图3,当顶点。在边/C上时，写出线段8E与线段CF的数量关系，并说明理

由.

E

图1图2图3

【答案】。)①NEAB=ZABC,CF=-BE；②仍然成立，证明见解析；(2)BE=2^CF，理由见

2

解析.

【分析】

(I)①如图1中，连接8E,设DE交AB于T.首先证明=4瓦8。=3E,再利用直角三角形斜边中

线的性质解决问题即可.②解法一：如图2-1中，取的中点A/,8E的中点N,连接CM,MV.证明

△CMFQ&BMN(SZS),可得结论.解法二：如图2-2中，取OE的中点G,连接力G,CG,并把AC4G

绕点C逆时针旋转90。得到ACBT,连接D7,GT,8G.证明四边形8EGT是平行四边形，四边形。G87

是平行四边形，可得结论.

(2)结论：BE=2也CF.如图3中，取力8的中点7,连接C7,FT.证明△BNESACTP,可得结论.

【详解】

解：(1)①如图1中，连接8E,设DE交4B于T.

图1

,:CA=CB,/C48=45。，

.•.NC/B=4BC=45。，

NACB=90°,

VZADE=—ZACB=45°,ZDAE=9Q0,

2

：.ZADE=ZAED=45°,

:.AD=AE,

■：ZDAE=90°,

NEAB=ZDAT=/ABC=45°,

：.AT1.DE,DT=ET,

：.AB垂直平分DE,

:.BD=BE,

VZZ?CD=90°,DF=FB,

1

:・CF=—BD,

2

：.CF=­BE.

2

故答案为：NEAB=/ABC,CF=-BE.

2

②结论不变.

解法一：如图2-1中，取45的中点M,8E的中点M连接CM,MN.

：.CMLAB,CM=BM=AM,

由①得：AD=AE,

设/。=力七=».FM=x,DM=a,

・・,点/是8。的中点，

则DF=FB=a+x,

♦：AM=BM,

...y+a=a+2x,

：.y=2x,HPAD=2FM,

♦：AM=BM,EN=BN,

:,AE=2MN,MN〃AE,

:.MN=FM,/BMN=/EAB=90。,

：.4CMF=NBMN=90。,

.KMFABMN(S4S),

:,CF=BN,

■:BE=2BN,

1

:.CF=—BE.

2

解法二：如图2-2中，取。E的中点G,连接ZG,CG,并把AdG绕点。逆时针旋转90。得到，

连接。7,GT,BG.

图2・1

：AD=AEfZEAD=90°fEG=DG,

\AGVDE,ZEAG=ZDAG=45O,AG=DG=EG,

/ZCJB=45°,

・.NC4G=90。，

\ACLAG.

\AC//DE,

：/ACB=NCBT=90°,

\ACHBT,

\AC//BT//DE,

:AG=BT,

*.DG=BT=EG,

,•四边形8EGT是平行四边形，四边形QGBT是平行四边形,

・・3。与G7互相平分，BE=GT,

.•点尸是的中点，

♦.BD与GT交于点、F,

・・GF=FT,

由旋转可得；CG=CT/GCT=90°,

・・.△GC7是等腰直角三角形，

：.CF=FG=FT,

：.CF=­BE.

2

（2）结论：BE=2也CF.

理由：如图3中，取Z8的中点7,连接C7,FT.

：.ZCAB=ZCBA=30°,ZACB=120°,

"：AT=TB,

：.CTLAB,

—30。=空=乌

AT3

：・AT=Vkr,

：・4B=2辰T，

*：DF=FB,AT=TB,

C.TF//AD,AD=2FT,

:・NFTB=NCAB=30°,

<NCTB=NDAE=9。。,

；・NCTF=NB4E=60。,

・.・ZADE=—NACB=60°,

2

ApL

tan600=——=V3,

AD

:.AE=£AD=26FT,

，纪=越=26

CTFT

：.ABAES^CTF,

.•.里=弛=26,

CFCT

•••BE=2辰F.

【点睛】

本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，

相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相

似三角形解决问题，属于中考压轴题.

【变式5-2】(2020・湖南益阳•中考真题)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的

夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补''四边形，简称"直等补''四边形，根据以上定义，解决下列问

题：

(1)如图1,正方形/8CZ)中，E是上的点，将ABCE绕B点旋转,使3c与氏4重合，此时点E的

对应点R在ZX4的延长线上，则四边形8EZ/为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2,已知四边形48CD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CL)=1,>48,点8到直线

的距离为

①求8E的长.

②若"、N分别是4B、Z0边上的动点，求AWC周长的最小值.

ADAA

「ErC

/【答案】(1)见

BCBCBC

12备用图

解析；⑵①BE=4：②AWC周长的最小值为8及

【分析】

(1)由旋转性质证得NF+NBED=NBEC+/BED=180°,

NFBE=/ABF+/ABE=NCBE+NABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形BE。门为"直等补'’四边形;

(2)如图2,将aABE绕点B顺时针旋转90°得到ACBF,可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,

设BE=x,则FC=x-l,由勾股定理列方程解之即可：

(3)如图3,延长CD到P,使DP=CD=1,延长CB到T,使TB=BC=5,则NP=NC,MT=MC,

由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP》PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小

值PT,过P作PH_LBC交BC延长线于H,易证△BFCs/\PHC,求得CH、PH,进而求得TH,在RtaPHT

中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值.

【详解】

(1)如图1由旋转的性质得：ZF=ZBEC,ZABF=ZCBE,BF=BE

VZBEC+ZBED=180°,ZCBE+ZABE=90°,

/.ZF+ZBED=180°,

ZABF+ZABE=900即NFBE=90°,

故满足“直等补”四边形的定义，

四边形BEDF为"直等补''四边形；

(2)♦..四边形Z8CZ)是"直等补''四边形，AB=BC,

；.NA+/BCD=180°,ZABC=ZD=90°,

如图2,将4ABE绕点B顺时针旋转90°得到aCBF,

则NF=/AEB=90°,ZBCF+ZBCD=180°,BF=BE

AD,C、F共线，

四边形EBFD是正方形，

，BE=FD,

设BE=x,则CF=x-l,

在RtZXBFC中,BC=5,

由勾股定理得：X2+(X-1)2=25,即》2一%一12=0，

解得：x=4或x=-3(舍去)，

ABE=4

E

//(3)如图3,延长CD到P,使DP=CD=1,延长CB到T,使TB=BC=5,

5^--------7C

F

图2

则NP=NC,MT=MC,

.♦.△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPNPT

当T、M、N、P共线时，Z^MNC的周长取得最小值PT,

过P作PH_LBC,交BC延长线于H,

VZF=ZPHC=90°,ZBCF=ZPCH,

•,.△BCF^APCH,

.BCBF_CF

"~PC~~PH~~CH'

543

u即n-------=----,

2PHCH

解得：CH=%PH4

*、人「「656

在RtZ\PHT中，TH=5+5+-=—,

55

PT=yjPH2+HT2=872，

AA/NC周长的最小值为872.

【点睛】

本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似

三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻

找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算.

【考点6】铳角三角函数及其应用

[例6]（2020•山东日照・中考真题）阅读理解：

如图1,Rt/XZBC中，a,b,c分别是N/,ZB,NC的对边，ZC=90°,其外接圆半径为R根据锐角三

角函数的定义：siM=@,sin5=—,可得一--=--~—c—2R,即：---=---=---=2R,（规

ccsinAsin5sinAsin5sinC

定sin900=l）.

探究活动:

如图2,在锐角中,分别是N4NRNC的对边，其外接圆半径为H,那么：——_______——

sinAsinB

-----（用＞、=或＜连接），并说明理由.

sinC

事实上，以上结论适用于任意三角形.

初步应用：

在△/8C中，a,b,c分别是NB,NC的对边，/力=60。，NB=45。,a=8,求人

综合应用：

如图3,在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔C。的高度，在/处用测角仪测得塔顶C的仰角为15。，

又沿古塔的方向前行了100根到达B处，此时力，B,D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45。,

求古塔8的高度（结果保留小数点后一位）.（、方可.732,sinl5o=逅二变）

4

【答案】探究活动：=,=,=;初步应用：植；综合应用：古塔高度约为36.6m

3

【分析】

探究活动：过点C作直径8交。。于点I）,连接80,根据圆周角定理和正弦概念即可得出二27?,

sinA

bc

同理得出一一=27?,--=2R,从而得出答案；

sinBsinC

初步应用：根据，一=」一=2及，得出‘一=」一，即可得出b的值；

sin/sin5sin60°sin45°

综合应用：由题意得：Z7）=90°,ZJ=15°,NDBC=45。,46=100,可知N4CB=30。.设古塔高0C=x,

则8C=、&,灾解直角三角形即可得H；答案.

【详解】

a_b_c

解：探究活动:

sinJsin5sinC

理由如F：

如图2,过点C作直径CO交。。于点。，连接8D,

a

/.sirt4=siiiO,sinZ>

2R

.-^—=—=2R

••sinZa，

2R

bc

同理可证：-----=2R,-----=2R,

sinBsinC

a_b

=2%

sinAsinB募

故答案为：=

初步应用:

sinAsinB

..8b

sin60°sin45°

8历

L8sin4508

*r)---------=-=-=--瓜--

"sin60°V33'

T

综合应用：

由题意得：/。=90°,N4=15。，NO2c=45°,48=100,

二ZACB=30°.

设古塔高DC=x,则BC=，

ABBC

•~\=~■，

sinZ.ACBsinA

.100y[2x

"sin30°-sin150'

100五x

••J_-x/6-^2,

2

：.x=250(痛-旬=50(6-1卜50x0.732=36.6,

古塔高度约为36.6m.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键.

【变式6-1】（2020・湖北荆门•中考真题）如图，海岛3在海岛力的北偏东30°方向，且与海岛力相距20

海里，一艘渔船从海岛8出发，以5海里/时的速度沿北偏东75。方向航行，同时一艘快艇从海岛4出发,

向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的£处.

北

（1）求乙4BE的度数;

（2）求快艇的速度及C,E之间的距离.

（参考数据：sin15°«0.26,cos15°«0.97,tan15°»0.27,«1.73）

【答案】（1）乙48£=135°；（2）快艇的速度为9.85海里时，C,E之间的距离为19.9海里.

【分析】

（1）过点B作BD1AC丁点D,作BF1CE于点E,根据题意求出NABD和NADE的度数，即可求解;

（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度,

证出四边形BOC户为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离.

【详解】

（1）过点8作8。_LAC于点D,作BF1CE于点E.

由题意得：ZNAB=30°,NGBE=75。,

■：ANHBD,

二NABD=NNAB=30°,

而NDBE=180°-NGBE=180°-75°=105°

ZABE=ZABD+NDBE=30°+105°=135°.

（2）BE=5x2=T0（海里）

在Rt/\BEF'I',4EBF=90。-7