2023版高考数学一轮总复习6-4数列求和数列的综合应用习题

6.4数列求和、数列的综合应用

基础篇固本夯基

考点数列求和、数列的综合应用

t

1.（2021四川内江二模,6）记S“为数列四J的前n项和，若a1=l,a2=2,且an,2-a=1+（-1）"*j则

SHM的值为（）

Λ.5050B.2600C.2550D.2450

答案B

2.（2022届河南期中联考,8）设数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn,Trl,已知数列｛bn｝是等差

数列,且上卫,a3=3,b,+b5=l1,则S,,+T,,≈（）

⅜

A.n2-2nB.2n2-nC.2n'+nD.n2+2n

答案D

3.（2021江西上饶二模,9）函数f（x）=2sinχ-χ（x>0）的所有极大值点从小到大排成数列｛aj,

设$“是数列｛a,,｝的前n项和，贝IJCOSS皿=（）

A.1B,C.-D.0

22

答案B

4.（2020河南濮阳一模,8）已知数列｛aj满足an+am=⅛n（m,n∈N*）且a产1,若［x］表示不超过X

的最大整数,则数列｛［誓］｝的前10项和为（）

A.12B.言11QC.24D.40

5

答案C

5.（2022届山西长治第二中学月考,10）已知数列｛an｝、｛bj的前n项和分别为An、B”,记

cn=anBn+bIIAn-anbn（n21）∙则数列｛cn｝的前10项和为（）

A.A10+B,0B.^C.Al0B10D.√⅞‰

答案C

6.（2022届安徽安庆怀宁中学模拟一,9）公元前4世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行

了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.图

为五角形数的前4个,现有如下说法：

①第9个五角形数比第8个五角形数多25;

②前8个五角形数之和为288;

③记所有的五角形数从小到大构成数列｛aj,则｛—｝的前20项和为610.

其中正确的个数为()

答案C

7.(2021河南新乡测试，11)已知数歹l∣｛aj满足a2n-aMτ=3"T,a2B+a*,=3"+5(n∈N*),贝IJ数歹∣J｛aJ

的前40项和S«。=()

答案A

8.(2020长春三模，10)已知数列｛a“｝的各项均为正数,其前n项和S,,满足4S,l=⅛+2a,,(n∈N∙),

n

设b=(-l)∙anaT.为数列｛bj的前n项和，则T20=()

A.110B.220C.440D.880

答案D

,

9.(2022届安徽淮南一中月考三，16)若数列｛an｝对任意正整数n,有a””=a“q(其中m∈N,q为

常数,qW0,q≠l),则称数列｛aj是以m为周期，以q为周期公比的“类周期性等比数列”.若

“类周期性等比数列”的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列｛aj前21项的和

为-

答案1090

10.(2017课标II,15,5分)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,ai=3,S,1=10,则Σ白_.

A=I5〃

答案3

/7+1

11.(2020课标IH,17,12分)设数列缸｝满足a,=3,ant,=3an-4n.

⑴计算a2,a3,猜想缸｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛2"a,,｝的前n项和S,,.

解析(l)a2=5,a3=7.猜想a,,=2n+l.由已知可得

antl-(2n+3)=3[an-(2n+l)],

2

a,,-(2n+l)=3[a„.-(2n-l)],

--

a25=3(al3).

因为a1=3,所以a=2n+l.

⑵由⑴得2"an=(2n+l)2",

23

所以Sn=3×2+5×2+7×2+—+(2n+l)X2".①

234

2Sn=3×2+5×2+7×2+∙∙∙+(2n+l)X22②

=3×2+2×22+2×23+∙∙∙+2'X2n-(2n+l)X2"".所以S=(2n-l)2nt'+2.

12.(2021陕西榆林模拟，17)已知S”为数列｛aj的前n项和,数列｛Sj是等差数列,且

S5=9,S9=I7.

(1)求｛aj的通项公式；

n

(2)求数列｛an∙2-S,,｝的前n项和T,,.

解析(1)设等差数列｛SJ的公差为d,∙.∙S5=9,S9=17,Λd=^=2,S=S5+(n-5)×2=2n-l.当

9-0

n》2吐an=Sn-Sn-l=2,当n=l时，a∣=S∣=l,

⑵当

,3n∕T÷2

n》2I⅛,T,r2-l+23-3+24-5+∙∙∙+2"+'-(2n-l)=2+23+2/l+∙∙∙+2ntl-(l+3+5+∙∙∙+2n-l)=2+—-

1-2

吟a=2"2-nJ6,

nt22

当n=l时,T1=I,也满足上式,所以T=2-n-6.

13.(2021新高考I,17,10分)已知数列｛a“｝满足a,=l,4.产[“>"为

la.+2,n为偶数.

⑴记b=a2ll,写出b,,b2,并求数列｛bn｝的通项公式;

⑵求｛an｝的前20项和.

解析⑴由题意得a2nH=a2n+2,a2n.2=a2,ltl+l,所以a2,,t2=a2,,+3,即b.”=b“+3,且b1=a2=a,+l=2,所以

数列｛bj是以2为首项,3为公差的等差数列，所以b,=2,b2=5,b,l=2+(n-l)×3=3n-l.

(2)当n为奇数时,an=an.1-l.

设数列｛aj的前n项和为S”

贝!|S20=al+a2+∙∙∙+a20

=(aι+a3+∙∙∙+aιg)+(a2+a,l+∙∙∙+¾)

3

=[(a2-l)+(a4-l)+∙∙∙+(a20-l)]÷(a2+a4+∙∙∙+a20)

=2(a2+a4+∙∙∙+a20)-10,由(1)可知a2+a4+∙∙∙+a20=b1+b2+∙∙∙+b10=10×2+-^-^×3=155,⅛

S20=2×155-10=300,

即瓜｝的前20项和为300.

综合篇知能转换

考法一错位相减法求和

1.(2022届河南名校联盟11月月考，11)定义[x]表示不超过X的最大整数,如

4095

[-0.5]=-l,[2.3]=2.若数列｛an｝的通项公式为a=[log2n](n∈N*),则Σaπ=()

/7=1

A.10×2l2+2B.9×2"+2

C.2'0-2D.78

答案A

2.(2022届云南大理统测，16)已知正项数列｛aj满足a∣=2且番tj2给a,,an,∣=0,令b“=(n+2)a”,

则数列｛bn｝的前8项的和等于.

答案4606

3.(2020课标I,17,12分)设｛aj是公比不为1的等比数列,a∣为也,加的等差中项.

⑴求缸｝的公比；

(2)若a∣=l,求数列｛naj的前n项和.

22

解析⑴设｛%｝的公比为q,由题设得2a,=a2+a3,即2a,=alq+a,q.所以q+q-2=0,解得q∣=l(舍

去)1产-2.故｛aj的公比为-2.

n

⑵易得aπ=(-2)-.记Sn为｛nan｝的前n项和.则

2n

Sn=l+2×(-2)+∙∙∙+n×(-2)"'',-2S,r-2+2×(-2)+∙∙∙+(n-l)×(-2)"^'+n×(-2).所以

3S=l+(-2)+(-2)2+∙••+(-2)"-l-n×(-2)n--∙γl"-n×(-2)".所以3个弋,”

n

4.(2021浙江,20,15分)已知数列｛aj的前n项和为Sn,冉=一,且4Sn*∣=3S,,-9(n∈N*).

(D求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列I｛bj满足3b“+(n-4)an=0(n∈N*),记｛bn｝的前n项和为T”若T“Wλb“对任意n∈N*

恒成立,求实数λ的取值范围.

4

Q

解析(1)由4Sn+l=3Sn-9,得4Sn=3Sn.1-9(π^2),则4an+1=3aπ(n^2),又4(a1+a2)=3a1-9,a1=--,

所以4a2=3al,所以｛aj是以'为首项为公比的等比数歹∣J,所以a=-3X0)".

(2)由题意得b,,=(n-4x(9”.则

T=(-3)'子(-2)XGy+…+(n-4)x(L=(-3)x(1+(-2)X(，+…+(n-4)X。"‘，两

+2+3,，rl

式相减,得3=(-3)×7Oβ)+∙∙∙+(∣)-(n-4)×(9.所以Tn=-4n×g)"",由题意得

-4n×θ)n"≤λ(n-4)XGy恒成立,所以(入+3)n-4人20,记f(n)=(λ+3)n-4λ(n∈N*),所

以［K瑟"解得gWL

考法二裂项相消法求和

1.(2021江西九江二模,9)古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的

理论研究,他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子,并将它们排列成各种形状进行研究.形

数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数,是毕达哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.

如图是三角形数和四边形数的前四个数,若三角形数组成数列｛aj,四边形数组成数列｛bj,

记c厂厂」,则数列｛cn｝的前10项和为()

OΛ就瓜。Z侬翻

.9,10厂9「20

A.-rB.-C.-D.-

1011511

答案D

2.(2021皖江名校联盟考试，16)已知Sn是各项均不为零的等差数列｛”,｝的前n项和，且

S2∏-ι=⅛(n∈N*),若存在n∈N*,使不等式一二+—L_+_^+…-!-----+ɪn)λ成立，贝IJ

ala2a3a2a3^1a3a4a5anan^∖ar^2\42/

实数λ的最大值是

答案⅜

3.(2022届湖南名校10月联考，16)已知正项数列｛a“｝的前n项和为Snl且2S=⅛+an.若

b,r(-D⅛则数列｛bn｝的前2021项和为.

ΛΛ∙e⅛t2023

口案2022

4.(2022届新疆克拉玛依模拟三，17)已知数列｛an｝是递增的等差数列,a3=7,且a,是a∣与aκl

的等比中项.

5

(1)求数列｛aj的通项公式;

⑵①为=3=;②b∙=an+2";③b∙=a1..2".

√¾+√⅛

从上面三个条件中任选一个,求数列｛bj的前n项和Tn.

解析⑴∙.∙｛aj是递增的等差数列，.∙.数列｛a,,｝的公差d>0,由已V'得

(羯-丁的3,

(+1加解得3,..3+2(n-l)=2n+l∙

((的+3d)/二为•(为+12d),｛d-2,

⑵选①时,an+尸2(n+l)+l=2n+3.

biL」」L时存ɪ-，

n√⅞+√⅛√2^T+√2^322，

β--

T1=b1+b2+∙∙+bn=∙^∙［(ʌ/ɜ-∖∕5)+(Λ∕5Λ∕7)+∙∙∙+(y∕2n+l~^2n+3)］一&，［：

nn23n

②时，bn=al+2=(2n+l)+2,ΛTn=b1+b2+b3+-+bn=(3+5+7+∙∙∙+2n+l)+(2'+2+2+∙∙∙+2)-"给7)+

n

2d-2)2+22∏÷l,2

1-2

选③时,bl,=a,l∙2"=(2n+l)-2",

23

Tn=b,+b2+b3+∙∙∙+b=3×2'+5×2+7X2+∙∙∙+(2n+l)-2",则

234

2Tn=3×2+5×2+7×2+∙∙∙+(2n+l)•2"：

两式作差得

l2sHnnl

-Tn=3×2+2×2+2×2+∙∙∙+2∙2"-(2n+l)∙2"=6+--ɔ'"')-(2n+l)∙2*'=(-2n+l)∙2*-2,Λ

1-2

T=(2n-1)∙2n*'+2.

5.(2021江西宜春六校联考，17)已知数列｛a,,｝中，a∣=l,a向上警(n∈N*).

n^2an

(1)求证:｛£｝是等差数列；

⑵若c=ana„H,且数列bɪ,-ɪ,数歹!∣｛b.cj的前n项和为T,,,求T,,的取值范围.

3〃∙n

解析(1)证明：∙.∙a11.E&(n∈N*),

"2a“

.j¾=〃+2・〃+1_”2

an*-lanan斯+1an

又二1,.∙∕4是以1为首项,2为公差的等差数列.

⑵由⑴可得an⅛,所以ClI―,所以b£飞黑黑-焉而，所以

τ=1―!—+—!------!_•+・・•+-----!-------——!——-1-——!——因为

n3X33X332×53n~i(2n-l)3π(2n÷l)3π(2n+l/

6

所以｛1J是递增数列，工，的最小值为TW又因为

T<l,Λ⅛T<l.

nyn

6.(2020天津，19,15分)已知｛aj为等差数列，｛bn｝为等比数

--

列，aɪɪb,-l,as=5(a4a3),bs=4(b4b3).

(1)求｛aj和｛b,,｝的通项公式；

(2)记｛an｝的前n项和为Sn,求证:SS,2〈*](n∈N*);

Y3y2)"n为奇数,

(3)对任意的正整数n,设Cn=Ia咿"2求数歹U｛cn｝的前2n项和.

k，n为偶数.

解析(1)设等差数列｛a,,｝的公差为d,等比数列此｝的公比为q.由a,=l,a5≈5(a4-a3),可得d=l,

从而｛aj的通项公式为a,,=n.由bl=l,b5=4(b1-b3),Jlq≠0,可得q'-4q+4=0,∙,.q=2,从而｛bj的

n

通项公式为bn=2".

(2)证明：由(1)可得S.」喂,故SnSn.24∏(n+1)(n+2)(n+3),弓(n+1)2(n+2)；从而

S"S"-*]=W(n+D(n+2)<0,所以SnSn.2<^tl∙

⑶当n为奇数时,黑以巨工色言-匕;当n为偶数时,c“W.对任意的正整数n,

anaij¥2"02)"2nb,^↑2"

«Z22*22"、22".

由①偌£。*右摄+…考嗡■・②

由①-②得精C2k=⅛…普科抖篝从而得配=l⅛⅞

4

因此，康=K产第♦嘿法所以，数列©｝的前2n项和为券喂祥

应用篇知行合一

应用构建数列模型解决实际问题

1.(2017课标II,3,5分I数学文化与等比数列)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问

题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是:一座

7层塔共挂了381盏灯一,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯

()

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

7

答案B

2.（2020河南部分重点高中联考,8I数学文化与等比数列）中国古代数学著作《算法统宗》

中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关，

要见次日行里数,请公仔细算相还”.意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第

二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地.则第二天比第四天多

走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

答案B

3.（2020沈阳东北育才中学模拟，11I生活实践情境）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付

将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a元一年定期,若年利率为r保

持不变,且每年到期时存款（含利息、）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，

将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱（单位:元）的总数为（）

A.a（l+r）17B.-［（l+r）l7-（l+r）］

Γ

C.a（l+r）,δD.-［（l+r）l8-（l+r）］

Γ

答案D

4.（2022届湖南名校10月联考,6I实际生活与等比数列）2021年小林大学毕业后,9月1日

开始工作,他决定给自己开一张储蓄银行卡,每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次

日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍,则他这张

银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）

A.2022年12月11日

B.2022年B月2日

C2022年10月11日

D.2022年9月11日

答案C

5.（多选）（2021湖南、河北联考，11