期末模拟测试卷（拔高卷）2023-2024学年九年级数学上册人教版

期末模拟测试卷（拔高卷）2023-2024学年数学九年级上册

人教版

一、单选题

1.班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议.如图，班主任坐在c座位，三位同

学随机坐在A、B、。三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（）

B

C（班主任）

CD

1

A.-

4

2.如图，A的圆心A关于弦的对称点为3,且/的半径为3.劣弧的长是（）

A.2B.%C.叵D.空

233

3.如图所示是一个中心对称图形，点A为对称中心.若NC=90。，ZB=30°,BC=1,

则88'的长为（）

A.4B.立C.亚D.逑

333

4.如图，。是ASC的内切圆，£）、£、/为切点，AB=18cm,BC=20cm,AC=12cm,

MN切。交AB于M,交BC于N,贝UB肱V的周长为（）

A

F,E

n

BNDc

A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm

5.抛物线y=2（x-l）2-3向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的

解析式为（）

A.y=2（尤+1『+2B.y=2（x-咪+2

C.y^2（x+l）2-2D.y=2（尤_球_2

6.一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，

一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获

得利润为3596元，每件工艺品需降价（）

A.4元B.6元C.4元或6元D.5元

7.如图，正方形ABCD边长为4,E、F、G、〃分别是ARBC、CD、D4上的点，且

AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为乃贝！Jy与x

的函数图象可能是（）

①若a+b+c=0,贝！一4ac20;

②若方程成：2+c=0有两个不相等的实根，则方程依2+/zx+c=0必有两个不相等的实根;

③若飞是一元二次方程依2+法+C=0的根，贝U-4碇=（2%+6）2；

④若c是方程加+for+c=O的一个根，则一定有ac+6+l=0成立.

其中正确的（）

A.只有①②B.只有①②④C.①②③④D.只有①②③

二、填空题

9.春节期间，某超市举办了“2023年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为。

元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%,此时售价共降低

了b元，贝|6=.

10.某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家，在专家到会

时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次

手表示道别，且参加会议的每两位专家都握了一次手，所有参加会议的人共握手14次，

则参加这次会议的专家的人数是.

11.动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率

为0.5,活到30岁的概率为0.3,现年20岁的这种动物活到25岁的概率为.

12.如图所示，ZAPS=30°,。的半径为1cm,圆心0在直线PB上，OP=3cm.若O

沿从点3到点尸的方向移动，当，。与直线上4相切时，圆心。移动的距离为

cm.

13.如图，A3是。的直径，点E,C在上，A是EC的中点，过点人作（。的切线,

交BC的延长线于点。，连接AC,EC.若"=58。，则/ACE的度数为.

14.如图，在正方形ABCD中，点E为8中点，把VADE绕点A顺时针旋转90。，得

到△ABE',AE'=非,则四边形的面积为.

15.如图所示，在菱形A3CO中，AB=6,ZBAD=120°,△AEF为等边三角形，点E,

下分别在菱形的边BC,CO上滑动，且E,尸不与8,C,D重合.

(1)计算：EC+CF=；

(2)当点E,尸在BC,CO上滑动时，△CEF面积的最大值是.

16.已知二次函数,=加+桁+。(。/0)的图象如图所示，对称轴是直线x=-l,有下列

结论：①a>0,©b<0,③c<0,@2a+b=0.其中错误的是.

三、问答题

17.如图，在等边三角形ABC中，点尸为ABC内一点，连接AP,BP,CP,将线段

"绕点A顺时针旋转60。得到AP'，连接PP，BP'.

(1)用等式表示与CP的数量关系，并证明；

⑵当N3PC=120°时，

①直接写出ZP'BP的度数为；

②若M为8C的中点，连接9,用等式表示9与AP的数量关系，并证明.

18.如图，在正方形ABCD中，分别以8,。为圆心，以正方形的边长2为半径画弧,

形成阴影部分的树叶图案.(计算时加取3)

(1)求阴影部分的面积;

(2)若在正方形A3CD中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率.(豆子落在弧

上不计)

19.已知在同一平面直角坐标系中，存在关于x的一元二次方程(l-m)V+2x-7=0(〃?

为常数，有两个相等的实数根，若二次函数y=(l-租)彳2+2彳-7(，"为常数，m^l)

与一次函数＞=依+7(左为常数，左力0)交于x轴的正半轴.

(1)求优，%的值；

(2)求二次函数与一次函数的所有交点的坐标.

20.阅读下列材料：

解方程：X4-6%2+5=0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点,

它的解法通常是：

设尤2=y,那么/=/,于是原方程可变为/一6丁+5=0…①，

解这个方程得：％=1,%=5.

当％=1时，X2=1-X=±1;

当%=5时，x2=5,x=+A/5

所以原方程有四个根：芯=1,九2=-1,毛=6，尤4=一行.

在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.

⑴解方程。2_%)2_4，—功—12=0时，若设则原方程可转化为」并求出x

(2)利用换元法解方程：J1"2L—4+f?Y^=2.

2x尤2-4

21.九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高至m,

与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4nl时到达最大高度4m,设篮球

运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么

他能否获得成功？

22.我们在研究问题时，可以改变研究的对象，提出一些新的问题，解决这些新的问题

又可以获得一些新的发现.比如，研究了“直线与圆的位置关系”后，我们可以这样改变

研究的对象：

(1)把研究对象“直线”改为“射线”，可以提出下面的问题：

如图是射线AB和O.改变射线的位置，如果以它们公共点的个数情况以及端点A

与。的位置关系作为标准，请尝试将射线和0的位置关系进行分类(要求：每一种

类型画出一个示意图).

(2)把研究对象"圆''改为"正方形”，可以提出下面的问题：

①在直线和正方形的各种位置关系中，它们的公共点个数有哪几种情况？

②已知正方形ABCD的边长是1,其中心到直线/的距离是d,当正方形ABC。与直线/

有且只有一个公共点时，d的取值范围是.

23.在学习了垂径定理后，同学们开始探索用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老

师请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：

请利用直尺和圆规四等分AB

小亮的作法如下：

①连接AB；

②作A3的垂直平分线CO交A8于点加，交A5于点T；

③分别作线段AT,线段8T的垂直平分线竹，GH,交AB于N,P两点.

那么N,M,P三点把四等分.

(1)小明否定了小亮四等分A8作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的

理由；

(2)请你利用直尺和圆规四等分所给的A8(仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图

痕迹).

参考答案：

1.C

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种,

再由概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

开始

共有6种等可能的结果,其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，即AB、AD.BA、DA,

42

甲、乙两位同学座位相邻的概率为二=；,

63

故选：C.

【点睛】本题主要考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

2.B

【分析】连接48、AD.BD.由对称的性质和圆可得△4灰）为等边三角形，进而可得ZA

的度数，再根据弧长公式即可得出结论.

【详解】解：连接A3、AD.BD.

:圆心A关于弦CD的对称点为B,

AD=BD,

又：AD=AB,

.♦.△AB。为等边三角形，4=60。,

607ix3

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，判定为

等边三角形是解题关键.

3.D

【分析】根据中心对称图形的特点可知：AB,^AB,再根据含30。角的直角三角形的性质以

及勾股定理求出=g迅，问题随之得解.

【详解】根据中心对称图形的特点可知：AB'=AB,

VZC=90°,ZB=30°,

.•.在Rt^MC中，AC=-AB,

2

•.•在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2,BC=1,

：.AB2=^AB^+F,

解得：AB=|V3（负值舍去），

AB'=AB=—y/3,

3

BB'=AB'+AB=-y/3,

3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含30。角的直角三角形的性质以及勾股定理,

根据中心对称图形的特点得到/=是解答本题的关键.

4.D

【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边

长，再利用等边换边得到的周长.

【详解】。是，ABC的内切圆，

AB、AC,BC是。的切线，

又-MN切于点K,

A

/Ox

C

BND

;.AF=MK,AE=AF.CE=CD、ND=NK、BF=BD,

8MN的周长为：

BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD

设AE=AF=a,BF=BD=b,CE=CD=c,

贝IjAB=18=Z?+a、BC=20=b+cAC=12=a+c,

a=5

解得卜=13,

c=7

BMN的周长为：BF+BD=2b=26cm.

故选D.

【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是

解题的关键.

5.A

【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即

可解决问题.

【详解】•••抛物线y=2(x-l『-3向左平移2个单位，再向上平移5个单位，

所得的抛物线的解析式为y=2(x-l+2)2-3+5,

即y=2(x+l)，2

故选：A

【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”

是解决问题的关键.

6.B

【分析】设每件工艺品需降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：设每件工艺品需降价x元，

根据题意得：(135-100-x)(100+4x)=3596,

整理得：%2-10.X+24=0,

解得：玉=4,x2=6,

要使顾客尽量得到优惠,

..x=6,

，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元，

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键.

7.A

【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形

的面积减去四个直角三角形的面积，得函数》的表达式，结合选项的图象可得答案.

【详解】解：.,正方形ABCD边长为4,AE=BF=CG=DH

AH=BE=CF=DG,=NB=NC=ND

AAEH沿ZFE冬ACGFmADHG

y=4x4-g尤(4-尤)x4

=16-8x+2x2

=2(x-2f+8

是X的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8),开口向上

从4个选项来看，开口向上的只有A和B,C和D图象开口向下，不符合题意

但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的

关键.

8.D

【分析】①根据题意可知x=l是一元二次方程分2+陵+°=0("0)的解，然后根据判别式

的意义可得①正确；②根据判别式的意义可得-4ac>0,则廿一4ac>0,再根据判别式的意

义可得②正确；③根据方程解的定义可得内。2+法。+。=0,然后通过对式子变形，整体代入

可得③正确；④根据方程解的定义可得以？+6c+c=0,而当c=0时，贝!|ac+》+l不一定等

于0,④错误.

【详解】解:①若a+6+c=0，即当尤=1时，ax2+6x+c=0,那么一元二次方程加+bx+c=Q

有实数根，止匕时/一4℃20成立，①正确；

②若方程ox?+c=0有两个不相等的实根，则-4ac>0,那么户-4℃>0,故方程

以2+灰+°=0必有两个不相等的实根，②正确；

③由为是一元二次方程加+6x+c=0的根可知%2+如,+°=0,贝!=一。，所以

222

(2ax0+6)~=4。%2+/+4。6尤0=4。(啄+bx0^+b=b—4ac,③正确；

④由c是方程加+6x+c=0的一个根，得。。2+6。+。=0，当cwO时，可得ac+5+l=O；当

c=0时，则oc+6+l不一定等于0,④错误；

综上：正确的是①②③，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别

式的意义是解决本题的关键.

9.a—a(\—x0/of

【分析】根据某超市对一款原价位。元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，

再次降价X%,此时售价降低了6元，列方程即可得到结论.

【详解】解：由题意得：b=a-a(y~x°/of,

故答案为：«-a(l-x%)2.

【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键.

10.4

【分析】所有参加会议的人握手次数=林经理和每位专家握手次数+专家与专家之间的握手

次数，据此即可求解.

【详解】解：设参加这次会议的专家有工人，由题意得：

2尤+g尤(x-l)=14

整理得：尤2+3X—28=0

解得：玉=4,x2=-7(舍去)

故参加这次会议的专家有4人

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用.掌握所有参加会议的人握手次数=林经理和

每位专家握手次数+专家与专家之间的握手次数是解题关键.

11.-/0.625

8

【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据

概率公式解答即可.

【详解】解：设共有这种动物X只，则活到20岁的只数为。.8元，活到25岁的只数为0.5X,

故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为0镇=15，

0.8x8

故答案为：.

O

【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

12.1或5/5或1

【分析】当：。与PA相切时，切点为点C,如图所示，连接OC,根据OC的长，利用30

度所对的直角边等于斜边的一半求出此时。尸的长，当。移到射线尸2的反向延长线上时,

分别求出圆心。移到的距离即可.

【详解】解：当（。与以相切时，切点为点C,如图1所示，连接OC,

为。的切线，

OC1PA,

在Rt^PCO中，ZAPB=30°,OC=1cm,

OP=2OC=2,

此时圆心。移到的距离为3-2=lcm；

当尸在射线尸3的反向延长线上时，如图2所示,

同理圆心。移到的距离为3+2=5cm.

故答案为：1或5

【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键.

13.32。/32度

【分析】先根据垂径定理得到9入CE,根据切线的性质得到加，4),则CE〃AD,再根

据平行线的性质得到ZBCE=ZD=58。，然后根据圆周角定理得到NACB=90。，则利用互余

可计算出NACE的度数.

【详解】解：AB是।。的直径，A是EC的中点，

:.ABLCE,

AD为。的切线，

..AB.LAD,

：.CE//AD,

:.ZBCE=ZD=58°,

AB是C。的直径，

:.ZACB=90°,

ZACE=ZACB-ZBCE=90°-58°=32°.

故答案为：32°.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理和圆

周角定理.

14.4

【分析】根据旋转的性质可知A4DE必ABE,根据勾股定理求正方形的边长即可求解

【详解】解：根据旋转的性质，AADE=AABE',

/.AE=AE'=y/5,

E为CD中点，

/.DE=-CD=-AD,

22

/.AE2=AD2+DE2=AD2+gAD^,

即石2=心+已甸,

AD=2,

AADE=AABEr,

・・S四边形AECE，—S正方形ABCD—AD'CD-4,

故答案为：4

【点睛】本题主要考查图形的旋转、勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键

15.6皿1/2白

44

【分析】(1)连接AC,证明VASE丝VACF,从而得到：BE=CF,即可求出EC+CF；

(2)利用VABE2VACF,可以推出四边形AEW的面积等于ASC的面积，利用△CEF的

面积等于ABC的面积减去△的的面积，当的面积面积最小时，即可求出△CE尸的

面积.

【详解】解：(1)连接AC,

:四边形ABCD为菱形，ZaiD=120°

AZABC=60°,AB=BC,

：.ZACS=ZACD=60°,

ZBAC=60°,

:△AEF为等边三角形，

ZE4F=60°,

ZFAE=ZFAC+ZEAC,ABAC=NBAE+ABAC,

又,:/B4C=/E4F=60。，

ZEAB=ZCAF,

；AB=BC,ZABC=ZACF,

：.△ABE丝△AB(ASA),

：.BE=CF,

EC+CF=EC+BE=BC=6；

故答案为：6.

(2)NABE^ACF,

，四边形AECF的面积=S^F+SACEF=^AAEF+—^AABC，

••S/\CEF~^AABC-S^AEF，

**•当SAEF最小时，SMEF最大，

根据垂线段最短，当AE_L3c时，AE最短，此时5\所最小，

VABC为等边三角形,

.•.当AE_LBC时，BE=LBC=3,

2

AE=^IAB2-BE2=3y/3，

6x3必班'

同理可求：5AA)=；X£X3G=*6,

CEF=sXABC~SAAEF=94一彳6

故答案为：竽

【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质.解题的关键是连接菱形的对角线，构造

全等三角形.

16.②④/④②

【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点逐项判断即可.

【详解】•二次函数的图象开口向上，

••〃>0,

故①正确，

:对称轴直线x=-1在y轴的左边,

：.b>Of

故②正确,

•・,二次函数的图象与y轴交于负半轴，

c<0,

故③正确，

:对称轴直线X=-1,

•-2=-1

2a，

2a-b=0,

故④错误，

故答案为：②④

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

17.(1)BP'=CP,理由见解析

(2)①60。，②AP=2PM,理由见解析

【分析】(1)利用SAS证明ABP'^.ACP,即可得出答案；

(2)①由三角形内角和定理知/8+/6=180。-/8尸。=60。，再利用角度之间的转化对

进行转化，ZP-BP=Z4+Z7=Z5+60°-Z8=60°-Z6+60°-Z8,从而解决问题；

②延长PM到N,使尸M=ACV,连接BN,CN,得出四边形PBNC为平行四边形,则BN//CP

且BN=CP,再利用SAS证明P'BP^.NBP,得PP=PN=2PM.

【详解】(1)解：BP=CP,

证明：ABC是等边三角形，

：.AB^AC,Zfi4c=60。，

.•,Z2+Z3=60°

.将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到Ap,

：.AP=AP',NB47y=60°,

.-.Zl+Z2=60°,

：.Z\=Z3,

ABP'^ACP(SAS),

:.BP'=CP；

(2)解：①当N3PC=120。时，

则N8+N6=180°-/BPC=60°,

ABP'^ACP,

.-.Z4=Z5,

.­.ZP,BP=Z4+Z7

=Z5+60°-Z8

=60°-Z6+60°-Z8

=120°-(Z6+Z8)

=120°-60°

=60°,

故答案为：60°；

②AP=2PM,理由如下：

延长尸到N,使PM=MN,连接BN,CN,

M为BC的中点，

BM=CM,

二四边形尸BNC为平行四边形,

:.BN〃CP旦BN=CP,

:.BN=BP',Z9=Z6,

又：Z8+Z6=60°,

.•.N8+/9=60°,

ZPBN=60°=NPBP,

X-BP=BP,PB=BN,

：.P'BP^,NBP(SAS),

:.PP'=PN=2PM,

又1八4/＞尸'为正三角形，

;.PP=AP,

:.AP=2PM.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等

三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解

题的关键.

18.(1)2

*

【分析】(1)根据阴影部分的面积等于半径为2的扇形的面积的2倍减去正方形的面积及扇

形面积公式计算即可；

(2)用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得，

°cccc90x3x2?c2c

S阴影=2S扇形-SABCD=2x—2=2；

3OU

(2)解：由题意可得，

豆子落在阴影区域内的概率为彳2=：1.

42

【点睛】本题考查几何概率、扇形的面积公式，解题的关键是正确求出阴影部分的面积.

Q

19.(l)m=y,k=-l

(2)(7,0),(14,-7)

Q

【分析】(1)根据判别式的意义求出机=],得到二次函数解析式，然后求出二次函数图象

与尤轴的交点坐标，即二次函数与一次函数的交点坐标，代入一次函数解析式可得％的值;

(2)联立两函数解析式即可求出所有交点的坐标.

【详解】(1)解：二.一元二次方程(1-帆)/+2工-7=0有两个相等的实数根，

A=22-4(l-m)x(-7)=0,

Q

解得："ZU],

二该二次函数的解析式为y=-jx2+2x-7,

当y=尤2+2彳_7=0时，

解得：再=尤2=7,

•••二次函数J=（l-/n）x2+2x-7与一次函数y=kx+7的交点坐标为（7,0）,

把（7,0）代入、=米+7得：0=7k+7,

解得：左=-1；

（）由（）知二次函数的解析式为-；/+

21y=2x-7一次函数的解析式为y=-x+7,

联立—+2x-7

y7解得:

y=-x+l

•••二次函数与一次函数的所有交点的坐标为（7,0）,（14,-7）.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判断式的意义，二次函数的图象和性质，一次函数的

图象和性质，函数图象交点坐标的求法等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关

键.

20.(1)y之—4y—12=0,再=3,x?=-2

(2)%]=1+y/s,%=1-Vs

【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果;

（2）设>=一三把分式方程变形后求解，把解代入设中求出工的值.

【详解】（1）解：设>原方程可变形为：y2-4y-12=0,

因式分解为：（y-6）（y+2）=0,

>=6或产-2,

,,尤~—尤=6或x~—尤=—2,

对于方程x?-x=6，

解得：%=一2,x2=3,

对于方程尤?—尤=一2,

移项得：X2-X+2=0,

VA=-7<0,

.••上述方程无解,

•,•原方程的解为：网=-2,x2=3.

故答案为：/-4y-12=0.

2

（2）设＞二f7,则土v「-4=上1，

x-42xy

原方程变形为：-+y-2=o,

y

去分母，得;/-2y+l=。，

即（＞一1）2=0,

解得，%=%=1，

经检验，y=l是分式方程,+丫-2=。的根.

y

,2x

•,工j

即：X2-2X-4=0,

解得：再=1+若，x2-1—A/5.

经检验，1±V5是上述分式方程的根.

原方程的解为：玉=1+V^,x2=l—5/5.

【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法.看懂题例理解换元法是关键.换元