福福建省泉州市2024届数学高二年级上册期末监测模拟试题含解析

福福建省泉州市2024届数学高二上期末监测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为再，马,与，…，者0,为研究该生成绩的起伏变化

程度，选用一下哪个数字特征最为合适（）

A.再，/玉0的平均值；B.再，/，/玉0的标准差；

C.x2,/，…，占0的中位数；D.，.••,占0的众数；

2

2.过点P（4,6）且与双曲线/一］_=1有相同渐近线的双曲线方程为（）

412124

3.圆代+V+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是。

A.(—1,-2),11B.(-1,2),11

C.(-l,-2),y/iiD.(-l,2),^/n

4.已知4+i

4+1,是奇数

5.已知圆G：X2+V+2X=0,圆。2父+_/—6y=0相交于P,。两点，其中G，。2分别为圆G和圆的圆心.

则四边形PGQG的面积为（）

C.6D.2V10

6.某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看

作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30。，侧棱长为亚米，则以下说法不正确()

A.底面边长为6米B.体积为12行立方米

C.侧面积为24^/3平方米D.侧棱与底面所成角的正弦值为号

7.曲线/(x)=lnx—必在点(L/⑴)处的切线方程为O

A.y=~xB.y=2x-3

C.y=—3x+2D.y=—2x+1

8.设/(x)是定义在R上的可导函数，若1面/国+')_/("°_、=20为常数)，则尸(%)=()

力一。h

A.—2。B・—a

C.aD.la

9.已知等差数列｛〃/且3(%+4)+2(。6+%0+。14)=24,则数列｛4｝的前13项之和为()

A.26B.39

C.104D.52

22

10.双曲线^--L=1的两个焦点坐标是()

43

A.(O,l)和(0,—1)B.(1,0)和(—1,0)

c仅，⑺和(0,-a)D.(S,O)和gs,o)

11.定义在区间-；,4上的函数了(尤)的导函数/'(%)的图象如图所示，则下列结论不F确的是O

A.函数八％）在区间（0,4）上单调递增B.函数在区间上单调递减

C.函数/（%）在尤=1处取得极大值D.函数“X）在％=0处取得极小值

22

12.椭圆C:=+与=1（。〉6〉0）的左右两焦点分别为耳，F],过耳垂直于x轴的直线交C于A,5两点,

ab

^AF2B=60°,则椭圆C的离心率是（）

A.V3-1B巫

2

C.3D,1

32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校

女生共有.

14.已知定义在R上的偶函数”无）的导函数为了（X）,当x>0时，有/（x）+才（x）>0,且/（1）=。，则使得/。）<。

成立的X的取值范围是.

15.若2“=3〃=加，且!+?=2,贝!|m=

ab

16.已知正三棱台ABC-A51cl上、下底面边长分别为1和2,高为1,则这个正三棱台的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r2V21

17.（12分）已知p：方程工+1=1所表示的曲线为焦点在工轴上的椭圆；q：当xe匕,2]时，函数

3-tt+12

1。5

f（x）=x+—>t——f+3恒成立.

x2

（1）若p为真，求实数f的取值范围；

（2）若夕八4为假命题，且为真命题，求实数f的取值范围

18.（12分）分别求满足下列条件的曲线方程

22i

(1)以椭圆土+乙=1的短轴顶点为焦点，且离心率为e=—的椭圆方程；

2592

(2)过点卜,6),且渐近线方程为y=±gx的双曲线的标准方程

19.(12分)有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图.

(1)求图中。的值；

(2)估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；

(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.

20.(12分)如图，在三棱锥S—ABC中，侧面为等边三角形，ABC^90，AB=BC=2,平面&止，平

面ABC,。为AC的中点.

(1)求证：AB±SD；

(2)若PC=2SP，求二面角S-AB—尸的大小.

22_

21.(12分)已知双曲线C：=―b>0)的离心率为逐，且双曲线的实轴长为2

ab

(1)求双曲线。的方程；

(2)已知直线x—y+帆=0与双曲线。交于不同的两点A、B,且线段中点在圆好+了2=17上，求机的值

22.（10分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为

世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间

（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（1）求f的值;

（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于[50,60）,[60,70）和

[80,90）的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90）的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.

【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波

动大小估计数据的稳定程度.

故选：B.

2、C

22

【解析】设与双曲线必―5=1有相同渐近线的双曲线方程为必-[=4（2wO）,代入点P的坐标，求出X的值,

即可的解.

22

【详解】设与双曲线£-q=1有相同渐近线的双曲线方程为X?-4=4（2w0）,

代入点。(4,6),得16—1=解得2=4,

222

所以所求双曲线方程为炉-匕=4,即上一匕=1

3412

故选：C.

3、D

【解析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】先化为标准方程可得(x++(y-2『=11,故圆心为(-1,2),半径为旧.

故选：D.

4、C

【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.

【详解】因为峭二号"是偶数，neN*，%=21,

q+1”是奇数

贝!jo,=q+1=22,a=^_=11,a.=+1=12,

-s2

故选：C.

5、A

【解析】求得|GG|，|PQ|，由此求得四边形PGQG的面积.

【详解】圆G的圆心为(—1,0),半径11；

圆C2的圆心为(°，3),

所以|GQI=J(T『+(-3)2=Vid,

由Y+V+2x=0、x2+y2-6y=0两式相减并化简得了+3y=0,

即直线PQ的方程为x+3y=0,

1

(-1,0)到直线PQ的距离为

Vid

所以|尸。|=2/6

所以四边形PGQG的面积为gx

=3.

故选：A

6、D

【解析】连接底面正方形ABCD的对角线AC,交于点。，连接P0,则P0为该正四棱锥P-ABC。的高，即

POL平面ABC。，取CD的中点〃，连接OH,PH,则的大小为侧面与底面所成，设正方形ABC。的边

长为。，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.

【详解】连接底面正方形ABCD的对角线AC,3。交于点。，连接尸0

则P0为该正四棱锥P-ABCD的高，即P0,平面48。

取CD的中点“，连接OH,PH,由正四棱锥的性质，可得PH_LCD

由。H分别为的中点，所以OH//BC,则C归，CD

所以ZPHO为二面角P-CD-0的平面角，由条件可得ZPHO=30°

设正方形ABCD的边长为a,则OH=£又丹/=^PC2-CH2=.21--

2V4

a

，解得。=6故选项A正确.

所以PH=Q21—5=26，PO={PH2—OH2*12—9=6

则该正四棱锥的体积为丫=工义62义6=12G,故选项B正确.

3

该正四棱锥的侧面积为4X-XCDXPH=2X6X2A/3=24#),故选项C正确.

2

由题意NPCO为侧棱与底面所成角，则sin/PCO=re=£=也，故选项D不正确.

PC后7

故选：D

H

BC

7、A

【解析】利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】由r（x）='—2x,有/（i）=—i,/（i）=-i

X

曲线/（X）在点（1,/（1））处的切线方程为y+1=—（尤—1）,整理为y=-x

故选：A

8、C

【解析】根据导数的定义即可求解.

［详解］/（%）=1向/函=-x2a—a.

—o2h2

故选：C.

9、A

【解析】根据等差数列的性质化简已知条件可得%+%o的值，再由等差数列前〃项和及等差数列的性质即可求解.

【详解】由等差数列的性质可得：a2+a6=2a4,a6+a10+^4=3aw,

所以由3（。2+。6）+2（&+4（）+44）=24可得：3x2a4+2x3al0=24,

解得：/+%）=4,

所以数列｛4｝的前13项之和为

c_13（6+%3）_13（&+4o）_13彳_cv

13222

故选：A

10、C

【解析】由双曲线标准方程可得到焦点所在轴及半焦距的长，进而得到两个焦点坐标.

22

【详解】双曲线：一；=1中，a=2,b=6则c=，7T=内与=甘

22

又双曲线焦点在y轴，故双曲线；=1的两个焦点坐标是（0,疗）和（0,-J7）

故选：c

11、C

【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关

系可判断C、D的结论

【详解】函数f(x)在(0,4)上/(幻>0,故函数在(0,4)上单调递增，故A正确；

根据函数的导数图象，函数在xe(-g,0)时，r(x)<0,

故函数f(x)在区间(-；,0)上单调递减，故B正确；

由A的分析可知函数在(0,4)上单调递增，故％=1不是函数“X)的极值点，故C错误;

根据函数的单调性，在区间(-；,0)上单调递减，在(0,4)上单调递增，

故函数x=0处取得极小值，故D正确，

故选：C

12>C

【解析】由题可得AgB为等边三角形，可得2c=3x也，即得.

2a

【详解】•••过耳垂直于*轴的直线交椭圆C于A,8两点，ZAF2B=6Q°,

：.A&3为等边三角形，

V22h2

由x=-C代入=+与v=1,可得y=±2,

a2b2a

：.2c—所以2ac=G(4-c2),

2av7

即Ge2+2e—6=0,又ee(O,l),

解得e=

3

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、300人##300

【解析】根据人数占比直接计算即可.

【详解】该校女生共有480义空要=300人.

80

故答案为：300人.

14、(-i,o)5。」)

【解析】根据当x>0时，有+4(x)X),令g(x)=4("，8'("=靖(力士/'(%)>(),得到g(x)在(0,+x)

上递增，再根据〃龙)在R上的偶函数，得到g(x)在R上是奇函数，则g(x)在(-8,0)上递增，然后由/⑴=0,

得到g6=g(T)=0求解

【详解】•.•当尤X)时，有〃力+才(x)>0,令g(x)=4(x)，

：,g'(x)=矿(x)+/(x)>0,

:.g(x)在(0,+oo)上递增，

又•.•/(£)在R上的偶函数

g(-x)=—#(一%)=—V(x)=-g(x),

.•.g(x)在R上是奇函数

.”(%)在(-”,0)上递增,

又,••"1)=0，

•*-g6=g(T)R'

当x>0,/(x)<0时，g(x)<0,此时，0<x<l,

当x<0,/(x)(0时，g(x)>0,此时，-Kx<0,

〃尤)<0成立的x的取值范围是(—l,O)u(0,1)

故答案为：(-l,O)u(O,l)•

15、底

【解析】由2“=3&=根，可得a=log2〃z,b=\og3m,m>0,从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.

【详解】解：因为2"=3"=加，所以a=log2〃z,b=\og3m,m>0,又L+'=2,

ab

+

所以▲+J=~T^~=l0g,“2+log,“3=log„1(2x3)=2,

ablog2mlog3m

所以m2=6,所以加=A/6,

故答案为：A/6.

16、

12

【解析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.

【详解】上底面的面积为Lxlxlxsin60°=3,下底面的面积为工x2x2xsin600=JL则这个正三棱台的体积

242

为U旦用库而=速.

34V412

故答案为：述

12

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)

⑵卜T。在,2)

【解析】⑴由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.

⑵求命题g真时的f值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.

【小问1详解】

22

因方程」一+二=1所表示的曲线为焦点在X轴上的椭圆，

3—t/+1

则有3T>r+l>0,解得

所以实数t的取值范围是-1</<1.

【小问2详解】

xe[-,2],贝！J有/(%)=》+工22、%,=2,当且仅当x=L即x=l时取“="，即/(尤)1nm=7'⑴=2,

2x\xx

11551

因当犬w[—,2]时，函数八：九)=%+—0——1+3恒成立，则/9——1+3<2,解得一</<2,命题q为真命题有

2x222

1c

一<f<2,

2

因为假命题，且为真命题，则。与q一真一假，

当P真g假时，—当P假q真时，1</<2,

所以实数t的取值范围是(-l,1]o[l,2).

2

(2)-=1

4'

【解析】(1)由题意得出a/,c的值后写椭圆方程

(2)待定系数法设方程，由题意列方程求解

【小问1详解】

22

土+乙=1的短轴顶点为(0,-3),(0,3),

259

二所求椭圆的焦点在y轴上，且c=3

c1

又0=—=—，.•・。=6./.b1=a2—c2=36—9=27

a2

22

所求椭圆方程为工+乙=1

2736

【小问2详解】

12

根据双曲线渐近线方程为V=±-X,可设双曲线的方程点—y2=m,

把(4,百)代入f—J?=力得帆=1.所以双曲线的方程为J—V=i

19、(1)0.040；(2)750；(3)76.5.

【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中。的值；

(2)先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数

(3)由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数

【详解】(1)由频率分布直方图得：

(0.010+0.015+a+0.020+0.015)x10=1,

解得a=0.040

•••图中a的值为0.040

(2)竞赛分数不少于70分的频率为：1-(0.010+0.015)x10=0.75,

估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为1000x0.75=750

(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,

估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：

x=0.010x10x55+0.015x10x65+0.040x10x75+0.020x10x85+0.015x10x95=76.5

【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平

20、(1)证明见解析

⑵《

【解析】(1)取中点E,由面面垂直和线面垂直性质可证得结合石，由线面垂直判定可证得

AB，平面SDE,由线面垂直性质可得结论；

(2)以E为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得P点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

取AB中点E,连接

△SAB为等边三角形，石为A3中点，A3,

平面5AB_L平面ABC,平面平面ABC=AB,SEu平面ABC,

平面ABC,又ABi平面ABC,.•.SELAB；

。,£分别为4(7,45中点，，£)£〃48,又/ABC=90，.♦.AB，。石,

DE,SEu平面SDE,DESE=E,.•.AB,平面SDE,

又SZ)u平面SDE,AB_LSD.

【小问2详解】

以E为坐标原点，EB,ED,ES为x，%z轴可建立如图所示空间直角坐标系,

B

则A（-1,O,O）,B（1,0,0）,5（0,0,73）,C（l,2,0）,/.AB=（2,0,0）,

设P（x,y,z）,则PC=（1—x,2—y,—z）,SP=（x,y,z—百）,

1

x=一

l-x=2x3

2'122疔

由PC=2SP得：p-y=2y解得:y=—,即P

-31333J

273

z=-----

3

’422疔

[333J

设平面PAB的法向量〃=(a,反c),

AB-n=2a=Q

则<422\（39令c=l，解得：a=0,b=-y/3,.\n=[o,—A/3,1）；

AP-n=-a+-b+^—c=O'7

I333

ii।..i\m-n\J3

又平面SAB的一个法向量m=（0,1,0）,/.cos<m,n>\=",,'=；