高中数学一轮复习 幂函数

第2.5章基本初等函数

2.5.1塞函数

鳖课程要求了修♦求心中有敷

1了解幕函数的概念；

1

高中要求23r

2结合函数y=%,y=x,y=xfy=x~,y=xi的图象，了解它们的变化情

况

3基础知识夯实基・，・立完曜知识体系

1塞函数的定义

一般地，形如y=/的函数称为幕函数，其中％是自变量，a为常数.

注注意幕函数中产的系数是1,底数是变量x,指数a是常数;

2正数的正分数指数嘉的意义

(1)正数的正分数指数幕的意义，规定：6=穴a>0,neN*,且>1)

巧记“子内母外”(根号内的小作分子，根号外的田乍为分母)

m41

(2)正数的正分数指数幕的意义：a~n=^=nr=(a>0,mnEN*,且九>1)

an7af

EY-.gNX=X-2,X-2==1,x——2=1^-=1—

%X2~

(3)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

3幕函数图像及其性质

1

(1)幕函数y=x,y—x2,y-x3,y-x^,y=的图象.

i

(2)幕函数y=x,y=x2,y-x3,y=x2,y=的性质

231

y=xy=y=%13y=x2y=

/*K

图象

定义域RRR[0,+8)%W0

值域R[0,+00)R[0,+00)%W0

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(-8,0)上递

在(-8,0］上递减在［0,+8)

单调性在R上递增在R上递增减

在(0,+00)上递增上递增

在(0,+8)上递减

定点(1,1),(0.,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)Q1-)

(3)性质

①所有的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1);

②a〉0时，幕函数的图象通过原点，并且在［0,+8)上是增函数.

特别地，当a>l时，幕函数变化快，图象下凹；当0<a<l时，幕函数变化慢，图象上凸.

1

Egy=x5图象上凸，y=/图象下凹，在［0,+8)上是增函数.

③a<0时，暮函数的图象在(0,+co)上是减函数.在第一象限内，当久从右边趋向原点时，图象在y轴右

方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

E「gy=%一x1=-1,

腌经典例题从典例中9Mm力

【题型1】嘉函数的概念

【典题1】已知函数/'（久）=（爪2+2爪-2）xm2-mT是基函数，则爪=

解析由题意知，若/（X）为幕函数，则62+2m一2=1.

即爪2+2m-3=0,解得m=1或??1=一3.

变式练习

1.已知/（X）=ax2a+1-b+1是幕函数，贝"a+b=.

答案2

解析函数/'（久）=ax2a+1-b+1是幕函数，

根据幕函数的定义知，［。,解得a=l,6=1；

所以Q+b=2.

2.幕函数/（%）的图象过点（2.）,则/'（3）=.

答案!

解析设“X）=xa,则2a=；,所以a=—2.

所以/'（%）=x~2-所以/（3）=3-2=i

【题型2】塞函数的图象及其性质

【典题1】幕函数y==/在第一象限的图象如图所示，则a,仇c,d的大小关系是（）

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

解析由图象得：b>c>d>a,故选：D.

【典题2】已知幕函数/(%)=久/一2七3(^^2)的图象关于原点对称，且在(0,+8)上是减函数，则

m=.

解析基函数/(久)=xm2~2m~3(m6Z)在(0,+8)上是减函数，

则血2一2m—3<0,解得—1Vm<3；

又znGZ,・•・m=0,1,2；

当m=0时，/(%)=%-3=^,是奇函数，图象关于原点对称；

当血=1时，/(%)=%-4=3,是偶函数，其图象关于y轴对称；

当m=2时，f(%)=%-3=是奇函数，图象关于原点对称.

综上，血的值是0或2.

【典题3】已知点(VX2)在幕函数“%)的图象上，点(-2,：)在幕函数g(%)的图象上.

(1)求函数f(x),g(X)的解析式；

(2)判断函数双久)的单调性并用定义证明；

(3)问x为何值时有f(x)<g(x).

解析(1)由题易得/'(%)=x2,g(x)=x~2

(2)g(x)在(0,+8)上为减函数，在(一8,0)上为增函数

09(2)=

证明：任取<x2<0,有无力一。。膏F)

xx

V+%2<。，尢2—>。，l2>。，

•••9(%1)-。(久2)<0,

•••9(久)在(0,+8)上为增函数.

任取0<句<血，有9(的)一。(久2)=3+亚『1)

冷+>。，&-xlx2>0，

•••g(%i)>g(%2),

・•・g(%)在(0,+8)上是减函数.

(3)当％>1或第V1时，/(x)<^(x),证明如下

由(1),两函数都是偶函数，先研究%>0时满足/(%)工或久)的工的取值范围.

令/=%-2,解得％=i,

又f(x)=X2在(0,+8)上是增函数，g(x)=乂-2在(0,.|_8)上是减函数,

故可得f(x)<g(x)的X的取值范围是X<1,

由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，

故当久<0时，/(%)<g(x)的久的取值范围是x>—1,

综上当一1WxW1时，f(x)<g(x)

变式练习

1.任意两个幕函数图象的交点个数是()

A.最少一个，最多三个B.最少一个，最多二个

C.最少。个，最多三个D.最少。个，最多二个

答案A

解析所有塞函数的图象都过(1,1)故最少1个交点，

当函数为y=%3和y=久时，它们有3个交点，故选力.

11

2.函数y==%T,y==久-§在第一象限内的图象依次是图中的曲线()

A.C2,的,C3rC4B.C”。1，。3，。2C.C3，6*29的，C4D..C],

解析由于在第一象限内直线％=1的右侧时，

幕函数y=的图象从上到下相应的指数。由大变小(令第=8可知)，

11

故指数a由大变小排列，塞函数y=x2,y=宿y=x~3,y=广1在第一象限内的图象为分别为的，金，。3,。4,

故选D

3.幕函数y=/(%)经过点(3,百)，则/0)是()

A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数B.偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.奇函数，且在(0,+8)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

答案D

解析设哥函数的解析式为：y=姆，

将(3,75)代入解析式得：3。=75,解得a=y=在

故选：D.

m

4.如图所示是函数y=高(租、九EN*且互质)的图象，则()

A.m、ri是奇数且”<1B.m是偶数,九是奇数，且巴>1

nn

C.巾是偶数，n是奇数，且”<1D.m、n是偶数，且”>1

nn

答案c

解析：函数y=京的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数,

在第一象限内，函数是凸函数，故”<1,故选：C.

n

5.已知幕函数/(%)=(m-l)2%7m-3m+2在(0,_|_8)上单调递增，则/(%)的解析式是.

答案/(X)=X2

解析,••/(%)是哥函数，・•.(m-1)2=1,解得m=2或zn=0,

若m=2,则/(%)=x°,在(0,+8)上不单调递减，不满足条件；

若zn=0,则/(%)=/,在(0,+8)上单调递增，满足条件；

即/(%)=X2.

6.已知aE{-2,-1,—1,2,3},若帚函数/(%)=廿为奇函数，且在(0,+oo)上递减，则。=

答案一1

解析aE{—2,—1,—pp1,2,3},

累函数/(%)=为奇函数，且在(0,+8)上递减，

・•・a是奇数，且aVO,

•••a=-1.

7.已知幕函数/(%)=X1nr—m—2(mCZ)是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，求函数/(%)的解析式.

答案/(x)=x~2

m2m2

解析•••/(%)=x~~(mEZ)是偶函数，.,・血2—7n—2为偶数.

又,•,/(%)=xm2~m~2(jn6Z)在(0,+8)上是减函数，

m2-m—2<0,即一l<mV2.vmeZ,，血=。或/n=l.

当m=0时，m2—m—2=-2为偶数，当m=1时，m2—m—2=—2为偶数.

•••/(%)的解析式为/(%)=%-2.

8.已知幕函数/(久)=x2-斜

(1)若f(X)为偶函数，且在(0,+8)上是增函数，求人%)的解析式；

(2)若/(%)在(0,+8)上是减函数，求k的取值范围.

答案(1)f(x)-x2(2){fcEZ\k<-1或k>3}

解析⑴幕函数f(x)=eZ),

又•••/(%)在(0,+8)上是增函数，.•.|+/c-[k2>0,解得—i<k<3,

又•・,kEZ,k=0,1,2,

・•・f(x)为偶函数,

①当k=0时，|+0-1x02=|,/(x)为奇函数，不符合题意；

2

②当k=l时，|+i-lxl-2,/(%)为偶函数，符合题意；

③当k=2时，1+2-1X22=1,f(x)为奇函数，不符合题意.

•••fc=1,/(%)=X2;

(2)•.鼎函数f(x)=xl+Hfc2(fceZ),

又•・,f(%)在(0,+8)上是减函数，

■•.|+/c-ifc2<0,解得k<一1或k>3(keZ),

k的取值范围为{k6Z\k1或k>3}.

【题型3】塞函数的应用

【典题1】比较下列各组数的大小.

(1)3-浙3.11；(2)-8彳和一(丁；

5

解析([)•••函数y=x/在(0,+8)上为减函数,

55

又3V3.1,3~>3.1-2.

7

(2)v-8-5=-Qy,函数丫=城在(0,+8)上为增函数,

£5>("了，从而—8^<一

变式练习

1.已知a=(||r，6=1.025。，c=1.01i。。，贝!!()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

答案B

解析:a=(!!/，6=1.0250=(1.022)25,c=l.oM。0=(1.014)25,

—»1,041,1.022=1.0404,1.014«1.0406,

24

函数y=第25在(0,+8)上是增函数，bvcva.

故选：B.

2.已知/(%)=(n2-3n+3)%n+i为塞函数,且/(%)为奇函数.

(1)求函数/(%)的解析式；(2)解不等式f(%+1)+f(3—2x)>0.

答案(1)/(%)=/⑵{xlxV4}

解析(1)/(%)=(n2-3n+3)%"+1为幕函数，

•••n2—3n+3=1,解得九=1或几=2；

又/(%)为奇函数，•,・?！=2,

••・函数/(%)=X3;

(2)由/(%)=/是定义域R上的增函数，且不等式/(%+1)+/(3-2%)>0

化为/(%+1)>-/(3-2%)=/(2%-3),

•,.%+1>2%—3,解得久<4,

・,.不等式f(%+1)+/(3-2x)>0的解集是<4}.

通过it习，m国11力

1.图中曲线是幕函数y=B在第一象限的图象，已知n取±2,±2四个值，则相应于曲线Cr。2也3，。4的八

依次为()

Vc.

答案D

i1

解析根据指数函数的单调性，乂>1时，X2>%2>x-2>X-2,

11

・・・相应于曲线C1，。2，。3，的几依次为2兮,一右一2.

故选：D.

2.若三个幕函数丫=x。,〉==久，在同一坐标系中的图象如图所示，贝！］a,b,c的大小关系是()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

答案C

解析①y=单调递增，且当x>l时，在直线y=x的上方，二a>1,

②丫=xb,单调递增，且当％>1时，在直线y=久的下方，.••0<b<1,

③丫=公，单调递减，且当％>1时，在直线y=刀的下方，c<0；

■■■a>b>c.

故选：C.

3.下列命题中：

①幕函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；

②幕函数的图象不可能在第四象限；

③当n=0时，幕函数y=廿的图象是一条直线；

④当n>0时，幕函数y=x”是增函数；

⑤当n<0时，幕函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小.

其中正确的是()

A.①和④B.④和⑤C.②和③D.②和⑤

答案D

解析①幕函数的图象都经过点(1,1),但不一定经过点(0,0),比如y=§,故错误；

②暴函数的图象不可能在第四象限，故正确；

③当九=0时，募函数y=%71的图象是一条直线去除(0,1)点，故错误；

④当九>0时，如y=%2,基函数y二%九在(0,+8)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，

故错误；

⑤当九V0时，基函数3/二%九在(。，+8)上是减函数，即幕函数在第一象限内的函数值随x的值增大而

减小，故正确.

故选：D.

3

4.函数y=显的图象是()

答案C

3

解析：函数y=宜的定义域是［0,+8),.•.排除选项2和B,

又「I>1,•••曲线应该是下凸型递增抛物线.故选：C.

5.已知函数/(x)=①-是募函数，则/(2)的值为.

答案8

解析依题意得，。一1=1,；.a=2,则/'(x)=%3,/(2)=8.

6.已知幕函数/(久)=产的图象经过点(2,亨)，则/(4)的值为.

答案!

解析塞函数/(%)=%。过点(2,孝)，/(2)=2。=孝，解得a=-热

.../(X)=x4-

7.已知幕函数f(x)过点(2,苧)，则人支)的解析式是,定义域是,在(0,+8)上的单调性

是.

答案/(%)=：，(0,+8),单调递减

解析y=/(%)是幕函数，，设/(%)=xa,

又过点(2,亨)，2。=乎=2总即a=-g,

1-1

•**fM=X~2=—,/.X>0,即定义域是(0,+8),

y=C在(0,+8)上单调递增，y=尚在(0,+8)上单调递减,

其函数图象如下，

P

8.已知幕函数y=xp7~2p~3(peN*)的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上是减函数，实数a满足(十一1)3<

P

(3a+3)3,贝必的取值范围是.

答案1<a<4

解析:幕函数y=%p2-2p-3@eN*)在(0,+8)上是减函数，

•••p2-2p—3<0,解得—1<p<3,

peN*,p=1或2.

当P=1时，y=X-4为偶函数满足条件，

当p=2时，y=%-3为奇函数不满足条件，

pp11

则不等式等价为(a?-1)5<(3a+3)3,BP(a2