三角形中的导角模型-平行线+拐点模型（学生版）-2024年中考数学常见几何模型全归纳

三角形中的导角模型一平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定

理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块

内容,熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（M型）、

铅婚头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点

叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法:见拐点作平行线；基本思路:和差拆分与等角转化。

模型1：猪蹄模型（M型）

【模城读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM7/BN,结论：ZAPB=/A+；②已知：ZAPB=/A+,结论：4河〃BN.

如图2,已知：AM〃BN,结论:乙8+乙4=乙4+乙8+42

如图3,已知：AM7/BN,结论：//+/A+…+产ZA+ZB+ZP2+...+

题工（2022.河南洛阳.统考二模）如图，AB〃CD,4LBAG30°,/CZW=45°,则/87WD的度数为（）

A.105°B.90°C.75°D,70°

画2（2023春•安徽蚌埠•九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有

关.如图，从点。照射到抛物线上的光线OB,OC反射后沿着与P。平行的方向射出，已知图中

=46°,/OCD=88°,则/BOC的度数为（）

@18（2023春泗川泸州•七年级校考期末）如图所示，若用含a、0、？的式子表示必应为（）

B.0+7—aC.180°—a—7+6D.180°+^—7

回工（2023•广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少

年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉,但是第一次走进滑雪

场的你,如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的,正确的滑雪姿势是上身挺直略

前倾,与小腿平行,使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，//CD,当人脚与地面的夹角2CDE=

60°时,求出此时上身AB与水平线的夹角/R4F的度数为（）

A.60°C.50°D.55°

吼包（2023春・河南驻马店•九年级专题练习）已知AB〃CD,/EAF=±/EAB,4ECF=J/ECD,若ZE

oJ

=66°,则/干为（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

吼色（2022.浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形,你可能注意过，木尺折断后的断口一般

是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”.

（1）如图（2）所示，已知AB〃CD,请问/E有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知请问/B,4E,又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知AB〃CD,请问/七+/3与/6+/9+/。有何关系并说明理由.

⑴

•M

B

BB

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：/I+/2+/3=360°；②已知：/I+/2+/3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知:AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,已知：结论：Zl+Z2+---+Zn=(n-l)180°.

网］7（2023・广东・统考二模）如图所示，已知那么4BAC+4ACE+4CEF=（）

C.360°D.540°

厕8（2023.山西吕梁・校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若

/1=32°,/2=62°,则/3的度数为（）

C.150°D.162°

网］9（2023•河南三门峡•校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数

MW

学图形.已知CD垂直地面上的直线DF于点D,当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点C

缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升（即始终平行于DF）.在该运动过程中，当乙4BC=

112°时，/BCD的度数是（）

网］10（2023春・新疆•七年级校考阶段练习）如图，如果AB〃CD,那么乙8+/F+/E+乙0=

的11（2022春・河北保定•七年级校考期中）如图，已知A.B//4C,则/4+/42+/4=,则ZA

+ZA2+—F/4等于（用含n的式子表示）.

模型3:牛角模型

如图1,已知：AB//DE,结论：&=6—厂

如图2,已知：4B〃DE,结论：&=£+7-180°.

蒯卫（2023•安徽滁州•校联考二模）如图，若AB〃CD,则（）•M

E

A.Z1=Z2+Z3B.Z1+Z3=Z2

C.Z1+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

网］13（2023•江苏•七年级假期作业）如图，若AB〃CD,则/I+/3—/2的度数为

题14（2022•湖北洪山•七年级期中）如图，已知ABIICD,P为直线AB,CD外一点，平分AABP,DE平

分/CDP的反向延长线交。E于点E,若NFED=a，试用a表示ZF为.

卿］15（2023春•广东深圳•九年级校校考期中）已知直线AB〃CD,点P为直线AB,CD所确定的平面内的一

点，（1）问题提出：如图1,乙4=120°,/C=130°.求N4PC的度数:

（2）问题迁移:如图2,写出AAPC,乙4,/。之间的数量关系,并说明理由：

（3）问题应用：如图3,ZEAH:ZHAB=1:3,ZECH=20°,/OCH=60°,求孑含的值.

血］16（2023・余干县八年级期末）已知直线AB〃CD,（1）如图1,直接写出ZBME、NE、/END的数量关系

为;（2）如图2,与/CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究/P与/E之间的数

量关系，并证明你的结论；（3）如图3,NABM=L/MBE,ZCDN=L2NDE,直线MB、ND交干前F,

nn

模型4：羊角模型

\\

._______________*V

EDDE

图1图2

如图1,已知：AB〃DE,结论：a=7一8

如图2,已知：4B〃DE,结论：a+6+7=180°.

厕17（2023春・上海•七年级专题练习）如图所示，AB〃CD,Z力=37°,/。=20°,则/EAB的度数为

A------------------B

D

E

网］18二（2022•江苏七年级期中）如图所示，已知AB〃CD,=50,°,NC=4E.则/C等于（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

网］19（2023春・浙江•七年级专题练习）已知AB〃CD，求证：NB=/E+ND

AB

D

E

回丝（2023•河南•统考三模）如图，已知4B〃DE,150°,/CDE=75°,则/BCD的度数为（）

C.45°D.50°

血］21（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图,乙4=58°,/。=122°,Z1=3Z2,/2=25°,点P是上一点.

⑴/。FE的度数为；⑵若ZBFF=50°.则CE与PF（填“平行”或“不平行”）.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型:如图，AB〃CD,结论：/I+/3—/2=180°.

图1图2

如图1,已知：〃。石，结论：a=£+180°—广

如图2,已知：4B〃DE,结论：a=7+180°—民•M

的22（2023•四川广元•统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、。三点，拐弯后与原来方向相同，如

图，若乙43。=120°,乙8。。=80°,则/8石等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

血］23（2023•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若AB〃CD,/&=65°,/7=25°,则的度数是（）

Ary--------------------------B

A.115°B.130°C.140°D.150°

血124（2023•河南周口•校联考三模）如图，AB//EF,NB=100°,ACDE=25°,则/.BCD的度数是（）

B4

L

EDF

A.125°B.75°C.95°D.105°

血］25（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，4B〃CD,CD力EF,CE平分2BCD,若AABC=58°,则

/CEF的度数为（）

A----------------

/EF

A.131°B.141°C.151°D.161°

血］26（2023•江西•九年级校考阶段练习）如图ABAC=10',,ZACn=125°,CD于点。，将AB绕点A

逆时针旋转&，使AB〃EF,则a的最小值为.

EDF

课后专项训练

题目1）（2023•山东临沂・统考二模）如图，a〃b,/l=45°,则/2的度数为（）

A.105°B.1251C.1351D.145°

题目团（2023春・安徽・九年级专题练习）如图，已知：求证：BCV/DE.在证明该结论

时,需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）

A.延长交FE的延长线于点G

B.连接BE

C.分别作/BCD,ACDE的平分线CG,DH

D.过点。作CG〃AB（点G在点。左侧）,过点D作DH//EF（点H在点D左侧）

题目①（2023•浙江台州•统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若/1=

30°,/2=50°,则N3的度数为（）.

A.130°B.1401C.150°D.160'

题目1（2023•江苏•八年级假期作业）如图，两直线AB.CD平行测/I+/2+/3+/4+/5+/6=（）.

H

________0_________

CD

A.630°B.720°C.800°D.900°

题目可(2023•辽宁抚顺・统考三模)如图，若AB〃CD〃EF,/1=15°,/2=60°,那么乙BCE=()

A.120°B.125°C.130°D.135°

题目⑤（2022•安徽芜湖•七年级期中）如图，AB〃CD,BE,DF分别平分乙ABE和ZCDE,BF〃DE,ZF

与/ABE互补，则/F的度数为

uE

A.30°B.35°C.36°D.45°

题目可（2023•内蒙古呼伦贝尔・统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB〃CD,/1=24°,Z3

=148°,则/2的度数为（）

题目同（2023春・重庆江津•七年级校联考期中）如图，AB〃CD,=/。。£=2/夙加,设

/O

/45£;=3/七=£,/干=7，则&/，7的数量关系是（）

B

DC

A.40—0+7=360°B.30—0+7=360°C.—a—y—360°D.30—2a—7=360°

豆目⑥（2022.江苏七年级期末）如图，AB〃CD,则/I+/3—/2的度数等于

题目®（2023•湖南长沙•校联考二模）如图所示，AB〃DE,/1=130°,/2=36°,则/3=度.

题目兀（2022.四川成都.七年级期末）已知直线4B〃DE,射线BF、DG分别平分乙4BC,/EDC,两射线

反向延长线交于点H,请写出/H,/C之间的数量关系：.

H

题目电（2022.黑龙江.七年级月考）如图，是CD上的点，过点E作EF〃DP,若/PEF=

4PEH,EG平分ZDEH,ZB=152°,/PEG=65°,则/BPD=.

［题目亘（2023•浙江•九年级专题练习）如图，已知AB〃DE,/BCD=30°,/CDE=138°,求/AB。的度

数.

11

A

E

C

题目叵（2023春•重庆南岸•九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，匕8=160°,当/A与满足什么关系时，BC〃DE1

小明认为/D—/A=20°时BCHDE,他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的

作图与填空：

题目亘］（2023春・河北廊坊•七年级校考阶段练习）⑴如图⑴AB//CD，猜想ABPD与乙8、乙D的关系，说

出理由.

（2）观察图（2）,已知48〃CD,猜想图中的ABPD与NB、ND的关系,并说明理由.

（3）观察图⑶和（4）,已知AB〃CD,猜想图中的ZBPD与的关系，不需要说明理由.

题目回（2023秋・广东江门•八年级校考阶段练习）⑴如图①，如果AB〃CD,求证：AAPC=+ZC.

（2）如图②，ABIICD,根据上面的推理方法，直接写出乙4+ZP+/Q+.

（3）如图③，AB//CD,若AABP=x,Z.BPQ=y,Z.PQC=z,Z.QCD=m,］J!|m=（用2、y、z表

示）.

\-----------B/

\cP\A--------yB

P$Q

CL-------D

图①图②图③

：题目〔17］（2023春・山东淄博•九年级校考期中）如图，AB〃CD,点H为两直线之间的一点.

图I图2图

⑴如图1,若NBAE=30°,ADCE=20°,则2AEC=；

如图1,若=ZDCE=6,则；

⑵如图2,试说明，/BAE+/ABC+/ECD=360°；（3）如图3,若/R4E的平分线与/DCE的平分线相

交于点F，判断/力EC与/AFC的数量关系,并说明理由.

题目（2022•湖南株洲市八年级期末）已知直线a〃6,直线EF分别与直线a,b相交于点E,F,点A,B分

别在直线a,b上，且在直线EF的左侧,点P是直线EF上一动点（不与点H,F重合），设4PAE=Z1,

NAPB=N2,NPBF=43.

（1）如图1,当点P在线段EF上运动时,试说明/I+/3=/2；（提示:过点P作PM//a）

（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出/I,/2,23之间的关系并给出证明.

②如图3所示，猜想/I,Z2,23之间的关系（不要求证明）.

题目叵（2023•内蒙古鄂尔多斯•七年级校考期中）问题探究：

如下面四个图形中，AB//CD.

（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，/I与/2、/3三者之间的关系.

解决问题：

（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于。点的灯泡发出两束光线OB、0c经灯碗反射后平行

射出.如果/ABO=57°,ADCO=44°，那么ABOC=°.

题目20（2023春・湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知：点4不在同一条直线，AD//BE

（1）求证：ZB+ZC-ZA=180°：

（2）如图②，AQ,BQ分别为ADAC./EBC的平分线所在直线,试探究与乙4QB的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下,且有AC〃QB,直线AQ、BC交于点P,QP，PB,直接写出/.DAC-.

AACB-.4cBE=.

题目区〕（2023春・广东•七年级专题练习）⑴如图L4B〃CD,/ABE=45°,/CDE=21°,直接写出

NBED的度数.（2）如图2,4B〃CD,点E为直线4B,CD间的一点，BF平分/ABE,OF平分ZCDE,

写出ABED与/F之间的关系并说明理由.（3）如