湖北省孝感市2022-2023学年高二年级上册1月期末考试数学试卷

湖北省孝感市2022-2023年高二上学期1月期末考试

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知空间向量五=(一1,2,-1),3=(尤,—l,y)者必"，贝版)

A.x—y=1B,x+y=1C.x+y=QD,x+y=—2

：m

2.设不同的直线2x-my-1=0,Z2(.~l)x-y+1=0.则=2"是的

()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.将字母a,b,c分别填入标号为a,b,c的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格

的标号与所填的字母均不相同的概率是()

11C1

A.6-B.3-2-

4.过点4(1,—1),8(—1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()

A.(%—3)2+(y+I)2=4B.(%+3)2+(y—I)2=4

C.(x—I)2+(y-I/=4D.(x+I)2+(y+1)2=4

5.已知直三棱柱ABC-Ci中，/.ABC=y,AB=2,BC=CCX=1,则异面直线网与

BQ所成角的余弦值为()

AaB逗C-aD一逗

5555

6.已知双曲线的渐近线方程为y=±2%,则双曲线的离心率为()

A.苧B.V5C.g或遮D.苧或遮

7.在等差数列｛%J中，其前几项和为无,若的>0,S8=SW,则％中最大的是()

A.S7B.S8C.SgD.Si。

8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法

几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆C:卷+?=l(a>

b>0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为

圆心、以，a2+炉为半径的圆,这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆c：3+q=l(0<m<4)的

蒙日圆为E：x2+y2=7,过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P,Q两点，

直线PQ与椭圆C交于4B两点，则下列结论不正确的是()

A.椭圆C的离心率为:

B.M到C的右焦点的距离的最大值为V7+1

C.若动点N在C上，记直线4V,BN的斜率分别为七，k2,则仅矽=—:

D.AMPQ面积的最大值为(

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.己知等差数列为递减数列，且。3=1,a2a4=［，则下列结论中正确的有()

A.数列｛册｝的公差为一:B.an=-1n+|

C.数列｛的%｝是公差为-1的等差数列D.a逆7+a4=-1

10.已知圆C:(%-I/+(y-2/=25,直线Z:(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0.则下列

命题中正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.圆C被y轴截得的弦长为4

C.直线/与圆C恒相离

D.直线/被圆C截得最短弦长时，直线1的方程为2%-y-5=0

11.抛物线C:*=轨的焦点为F,直线/过点F，斜率为k(k>0),且交抛物线C于2、B两点

(点2在久轴的下方)，抛物线的准线为7n,4411ni交zn于A1，BN11m交zn于Bi，点E(l,3),P

为抛物线C上任一点，则下列结论中正确的有()

A.若丽=3FA,则k=V3B.|PE|—|PF|的最小值为—2

C.若k=1,则|AB|=12D.^A1FB1=90°

12.如图，在正方体力BCD—ABiGDi中，点P在线段BC］上运动，有下列判断，其中正确的

是（）

A.平面PBi。_L平面力CD］

B.4P〃平面AC/

C.异面直线4P与力Di所成角的取值范围是（0,刍

D.三棱锥久―HPC的体积不变

第n卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知直线1的斜率为［且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线1的方程为.

14.圆％2-4%+y2=0与圆％2+y2+4%+3=0的公切线共有条.

15.设数列｛5｝的前几项和为无,点eN*）均在函数y=3x-2的图象上，则数列｛即｝

的通项公式为.

16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点6、F2,M是它们的一个交点，且cos4&MF2=J，记

1

椭圆和双曲线的禺心率分别为e〉e2,则/的最大值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为工且三人是

545

否通过测试互不影响.求：

（1）3人都通过体能测试的概率；

⑵只有2人通过体能测试的概率.

18.（本小题12.0分）

已知公差大于零的等差数列｛a“｝的前n项和为%,且满足：a3a4=117,a2+a5=22.

(1)求数列｛an｝的通项公式a.

(2)若数列｛%｝是等差数列，且垢=,，求非零常数c.

19.(本小题12.0分)

已知28为过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的弦，M为力B的中点，［为抛物线的准线，MN

垂直于/于N,点N(—2,—3).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求ZAOB的面积(。为坐标原点).

20.(本小题12.0分)

已知三棱柱4BC-&名6中，AC=AA1=4,BC=2,AACB=90°,

(1)求证：平面214CG1平面ABC;

(2)若N&4C=60。，在线段AC上是否存在一点P使平面B&P和平面&4CC1所成角的余弦值

为苧?若存在，确定点P的位置;若不存在，说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知圆心在光轴上的圆C与直线1:4x+3y—6=0切于点

(1)求圆C的标准方程；

2

(2)己知N(2,l),经过原点且斜率为正数的直线4与圆C交于PO"i),Q(.x2,y2).^\PN\+

|QN『的最大值.

22.（本小题12.0分）

已知点&（一1,0）,圆尸2：（%-IT+y2=8,点Q在圆F2上运动,Q0的垂直平分线交QB于点P-

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）动点P的轨迹C与x轴交于4B两点（4在B点左侧），直线I交轨迹C于M,N两点（M,N不在x

轴上），直线AM,BN的斜率分别为灯，k2,且七=2的，求证：直线I过定点.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，由日〃b，设b=t即(%,—l,y)=t^—1,2,—1)=(—力,2t,—t)解可得：t

-1

则有久=y=2，由此得x+y=l.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了两直线平行的判定，属于基础题.

【解答】

解：当巾=2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当I"/"时，显然小40,

从而有2=771—1,即小？一T-2=0,解得m=2或m=—1,但当m=—1时，两直线重合，不

m7l

符合要求，故必要性成立.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题.

【解答】

解：将字母a,6,c填入标号为a,6,c的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性

是相等的.而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法.故所求概率P=|=1.

63

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题.

【解答】

解：法一设点C为圆心.「点C在直线％+y-2=0上，.•.可设点C的坐标为(a,2-a).

又,••该圆经过4B两点，・•.|C4|=\CB\.

J(a-1)2+(2-a+1)2=J(a+1)2+(2-a―1)2,解得a=1.

...圆心坐标为半径长r=\CA\=2,故所求圆的标准方程为O-1/+(y-I)2=4.

法二排除法.根据圆心在直线x+y—2=0上，排除B,D.根据点B(-1,1)在圆上，排除4

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题.

【解答】

解：解法一：如图所示，设M、N、P分别为28,和BiQ的中点，

则4位、BG夹角为MN和NP夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,5

可知皿=同81=亭NP==壬作BC中点Q,贝(J4PQM为直角三角形;

PQ=1,MQ=^AC,AABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos乙48c=4+l-2x2xlx(-^)=7,.・.AC=小,MQ=

V7.

~2]

在中，MP=JMQ2+PQ2=等;

知/+加一陪：（争+（变-（苧产

V10

在4PMN中,由余弦定理得cos/MMP=

—

2MN-NP-2X^X—

又异面直线所成角的范围是（0,勺，4B1与BC1所成角的余弦值为孚.

乙5

解法二：如图所示，

补成四棱柱ABCD求即可;

2222

BC\=m，BD=2+I-2x2x1xcos与=V3,C1D=甚，:.BC?+BD=CrD,：.z.DBCr=

71

2

V2V10

•'«cos乙BC、Dn—-^==5.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率，属基础题.

【解答】

Jl+(J?=J1+⑵2=V5；

解：当双曲线的焦点在无轴上时，离心率e=

当焦点在y轴上时e=J1+&）2=当

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列前n项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。

【解答】

解：由58=S[o得a[=—由a1〉0,得到d<0.所以Sn=Tia1+史?”=g—18几)，从

而当n=9时立有最大值.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题.

【解答】

解：对于4由题意可得4+m=7,所以m=3,e=|,正确；

对于B:记右焦点为尸2(1,0),设M(%o，yo)，则于尸2/=(x0-1)2+羽=(XO-1)2+(7-喻=8=

2%0,

而通e[-V7,V7],|“尸2『W8+2夕，从而阳尸2|<夕+1，8正确；

2

对于C:由题意易得PQ为圆E的直径，A,B关于原点对称，从而心心=—<=_3,正确；

1zaz4

对于D：易得SAMPQV7=7,。错误.

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项及性质，属中档题.

【解答】

解：由题意知，a2+a4=2a3=2,又a2a4=|,数列｛a"为递减数列，

13

=-f%

・•・公差d=%=6，故A正确；

又=g—d=2,C1n=2+(72—1)X(——)=——72+—,故B正确；

由上可知的a九=2an,则当九>2时，2a九-2&1T=2(an-。九_1)=2x(--)=-1,当九=1时，

谙=4,

二数列｛。遂九｝是首项为4,公差为-1的等差数列，故C正确；

=—13、

a^an=5—71,a^aj+ci457+—,故。错误.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。

【解答】

解：将直线/的方程整理为Q+y—4)+zn(2x+y—7)=0,

由以二与二解得｛；■

则无论m为何值，直线/过定点D(3,l),故A正确；

令x=0,贝|(y-2)2=24,解得y=2±2乃，故圆C被y轴截得的弦长为4伤，故B不正确；

因为(3-+(1—2>=5<25,所以点。在圆C的内部，直线/与圆C相交，故C不正确；

圆心C(l,2),半径为5,|CD|=遮，当截得的弦长最短时，11CD,kCD=

则直线/的斜率为2,此时直线/的方程为y—1=2。—3),即2x-y-5=0,故。正确.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题.

【解答】

解：对于2:设|BF|=3\FA\=33过4做AM18当于点M,则|BM|=23\AB\=4t,易得乙4BM=

60°,从而A正确；

对于B:过P、E分别作PPi16于点Pi、％,贝内PE|一|PF||=\\PE\-\PPr\\<\EEr\=2,

从而B正确；

对于C:易得|4B|=4+久B+2=8,C错误;

y，（％_1）得V—%y—4=0,.•.y4yB=-4，FA^-=4+yAyB=0，从而

z&FBi=90°

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题.

【解答】

解：对于4连接DB,因为正方体中，B&1平面4BCD,

ACa^-^ABCD,所以BBTAC,又因为DB14C,

DB,BB]为平面DBB/i内的两条相交直线，所以4cl平面OBBi5,

因为叫u平面。BB/i，所以。Bi1AC,同理可得OB】1ADr,

因为ADi，AC为平面AC。1内两条相交直线，可得DBi1平面AC4,D/u平面P%。，

从而平面PBi。1平面AC%,

故A正确；

对于B:连接AiB,&1Q,416//4（7,.1I,（平面aCD「ACu平面力CD】，

所以&G〃平面AC%,

同理BQ〃平面力CDi，又&Ci、BQ为平面BAG内两条相交直线，

所以平面B&G〃平面AC%,

因为&Pu平面B&C1，所以&P〃平面AC/,故8正确；

对于C:因为AD//8G，所以4P与2/所成角即为&P与BG所成的角，4/=8G=4iCi，则小

B&G为等边三角形，当P与线段BQ的两端点重合时，4P与45所成角取最小值妥当P与线段BG

的中点重合时，&P与A必所成角取最大值》故4P与4。1所成角的范围是有排故C不正确；

对于D：由选项B得BC]〃平面4D1C,故BC1上任意一点到平面力DiC的距离均相等，

所以以P为顶点，平面4。也为底面，则三棱锥P—4。住的体积不变，又/LAPCM/YDIC，

所以三棱锥Di-APC的体积不变，故。正确.

13.【答案】x-6y+6=0或万一6y-6=0

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的一般方程的求法，属于基础题。

【解答】

解：设直线，的方程为2+7=1,\ab\—3,且—2=1,a——6,b=1或a-6,6=—1,.,.直

a。2a6

线/的方程为5+y-1或，-y-1,即x-6y+6=。或x-6y-6=0.

14.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题.

【解答】

解：x2—4%+y2=0=>(%—2)2+y2=22,圆心坐标为(2,0),半径为2;/+V+4%+3=0=>

(x+2)2+y2=I2,

圆心坐标为(-2,0),半径为1.两圆圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系

是外离，

故两圆的公切线共有4条.

15.【答案】an=6n-5(nGN*)

【解析】

【分析】

本题考查数列中与与目的关系，属基础题.

【解答】

解：依题意得，=3n-2,即$=3/-2n.

22

当几>2时，an=Sn-Sn_1=(3n—2n)—[3(n—I)—2(n-1)]=6n—5,

因为a】=Si=1,满足a九=6n—5,所以a九=6n—5(nGN*).

16.【答案】史三

15

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，

属于难题。

【解答】

解：不妨设“为第一象限的点，a为左焦点，设椭圆的长半轴长为的，双曲线的实半轴长为。2，

则根据椭圆及双曲线的定义可得附京|+\MF2\=\MFX\-\MF2\=2a2•所以|MFJ=ar+a2,

\MF2\=ar-a2,|F/2l=2c,在△MF/2中，coszF1MF2=7,由余弦定理得4c2=(的++

(%—a2)?—2(的+a2)(ai—a2)cosN&MF2，化简得3a女+5说=8c?,即1+[=8.

所以4+多=822隹，从而，w空，当且仅当e】=g02=卓时等号成立.

e彳4\eie2ele2151222

17.【答案】解：设事件a=”甲通过体能测试"，事件B="乙通过体能测试"，事件C="丙通

过体能测试”，

7Q1

则p(a)=:P(B)裳,p(c)=|

(1)设%表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试"，即%=ABC,则由4,B,C相互独立，可得P(Mi)=

PQ4)-P(B)P(C)=。2x*31=小1

(2)设用2表示“只有2人通过体能测试"，则“2=48^+2豆C+18C,由于事件力与B,4与C,B

与C均相互独立，且事件48乙ABC，ZBC两两互斥，则

P(M2)=PQ4BCUABCUABC)=P(ABQ+P(ABC)+P(ABC)=|x^x(l-1)+jx(l-^)x

1,"2、311,1,323

E+(1-5)X5X3=5+§U+M=M-

【解析】本题考查了相互独立事件的概率的应用，属于基础题.

18.【答案】解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,且d>0.

,,*Q3+&4=。2+。5=22,a3a4=117,

a3,CI4是方程/一22%+117=。的两个根.又,••公差d>0,a3=9,a4=13.

产广工解得an=4n-3.

91+3a=13Id=4

（2）由（1）知，S=nxl+x4=2n2-n,b=^-=

v7v7n2nn+cn+c

.•.&=左，=金，&=磊..•,{%}是等差数列，•••2历=瓦+为，

2c2+c=0c=—^（c=0舍去）.经检验，c=-2符合题意，:c=-g

【解析】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属中档题.

19.【答案】解：（1）依题意准线/的方程为％=—2,即一%—2,则p=4,

抛物线的方程为f=8x

（2）设4B的方程为x=ty+2

,（x=ty+2/口

由。2工得y92-8ty-16=0

依题意yi+丫2=8t则8t=-3x2,：.t=--

___________________925

22

|4B|=Jl+t21yl-y2|=y/l+t-J64t2+64=8（1+t）=8（1+而）=2

28

0到AB的距离d=-f==m，从而得SMOB=1\AB\-d=^-^--l=10

.1l-rt乙3

【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛

物线中的面积问题，属于中档题。

20.【答案】解：（1）证明：在三棱柱ABC—4B1G中，四边形44CG是平行四边形，而2C=441，

则平行四边形44CC1是菱形，连接&C,如图，

则有AciaCi，因a/iaG，A1BnA1C-A1,

A±B,41cU平面41BC,于是得AC11平面力1BC,

而BCu平面&1BC,贝IMGIBC,由z_aCB=90。，得4CJ.8C,AC=A,AC,AC】u平面

AiACCi，

从而得BC_L平面&aCCi，又BCu平面4BC,所以平面所毋1平面ABC.

(2)解：在平面义力CG内过C作Cz1AC,

由(1)知平面4tAeG1平面4BC,平面Ap4CGC平面ABC=AC,

则Cz,平面4BC,以C为原点，射线C4CB,C2分别为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,

如图，

因N&aC=60。，AC=AA1=4,BC=2,则C(0,0,0),4(4,0,0),B(0,2,0),&(2,0,2次),

假设在线段力C上存在符合要求的点P,设其坐标为尸(九0,0),(0<A<4),

贝IJ有西=(2,—2,2遮)，BP=(2,-2,0).

设平面8alp的一个法向量元=(x,y,z),则有E.吧=2x—2y+243z=0

(n-BP=Ax-2y=0

令x=2得元=(2,%等)，而平面的一个法向量沅=(0,1,0),

记〉典=4=V3

依题意，|cos<H,\n\\m\r~-a2\24

产+#+(篝)

化简整理得：342+A—4=。而0<2<4,解得2=1,

所以在线段AC上存在一点P,且P是靠近C的四等分点，使平面B&P和平面&ZCC1所成角的余弦

值为李

【解析】本题考查了面面垂直的证明和直线与平面所成的角的计算，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由圆心在x轴上的圆C与直线Z:4x+3y—6=0切于点”(|2),设C(a,O),

直线4%+3y-6=0的斜率为—2

66

则攵。〃=所以(-1)=-1.

弓一口号-aD

所以。=一1,所以C(一1,0),|CM|=J(_1_|/+C=2,即7=2,

所以圆C的标准方程为(％+I/+y2=上

(2)设直线k：y=fcx(fc>0),与圆联立方程组可得(1+k2)x2+2%-3=0,

23

4=4+12(1+fc2)>0,由根与系数的关系得+%2=-1+*%ix2=一乙肾

222

・•.|PN『+\QN\=(%i-2)2+仇-I)+(%2-2尸+(y2-I)

222

=(%i-2)+(kx1-l)+(x2-2)+(fc%2-I)?