新高考数学人教版一轮学案高考大题规范解答系列（六）-概率与统计含答案

需考大題规范解答糸列(今)——枷率与统计

考点一离散型随机变量的分布列与期望

»■例1(2021・山西联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球,

球除颜色外完全相同.现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.

(1)求乙盒中红球个数X的分布列与期望；

(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率.

【标准答案】——规范答题步步得分

(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=^^，=*,P(X=1)=^^3=4,2分得分点①

P(X=2)=7j=疝,尸(X=3)=疝'4分得分点②

所以X的分布列为

X0123

1991

P

20202020

5分|得分点③

1QQ13--------------

所以£：(岀=0*砧+1*与+2*诟+3*而=字6分|得分点④'

(2)当乙盒中红球个数为0时，P=0,7分|得分点⑤

当乙盒中红球个数为1时，22=暴/=焉8分|得分点⑥

当乙盒中红球个数为2,/,3=20X6=20,9分|得分，反◎

当乙盒中红球个数为3时,24=+义焉=击，10分|得分点⑧

所以从乙盒中任取一球是红球的概率为Pi+P2+P.+P^A2分|得分点⑨

【评分细则】

(1)第一问中，正确算出P(X=0),尸(X=l),尸(X=2),P(X=3)各得1分，列出分布列得

1分，求出期望得1分.

(2)第二问中，分类讨论，每种情况各占1分.

(3)其他方法按步骤酌情给分.

»■例2(2019•课标丨，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种

新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试

验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安

排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并

认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠

治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施

以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得一I分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得

0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和尸，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求*的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pM=O,l,…，8)表示“甲药的累计得分为

i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=O,p8=l，pi=api-i+bpi+cpi+i(i=\,2,…，

7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=\).假设a=0.5,^=0.8.

①证明：⑵+1一2}«=0,1,2,…，7)为等比数列；

②求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

【标准答案】——规范答题步步得分

(1)X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)B，

P(X=0)=磔+(l-a>(l一份，

P(X=l)=a(l—用.

所以X的分布列为

X-101

p(1-a)pa£+(l-a)(l一4)

4分|得分点①

(2)①由(1)得a=0.4,6=0.5,c=0.L5分函分点②

因此pi=0.4Pi1+0.5/?,+0.1p,+i,

故0.1(pi+1—pi)=0.4(p(—pi-1),

即Pi+l~Pi—4(Pi—Pi-1).6分得分点③

又因为pi-po=pi#o,

所以加+1一0,}«=0,1,2一“，7)是公比为4,首项为日的等比数列.7分[g踵⑥

②由①可得

P8=P8-P7+P7-P6H-----卜PLPo+p()

48-1

=(P8—P7)+(P7—P6)H-----H(/71—po)=3pi.

3

由于P8=1'故Pl=48_]'

所以P4=。4—pi)+⑦3~P2)+(P2—pi)+(pi-po)

44-11---------------

=—/7|=257.10分I得分点⑤I

P4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药

治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为网=击-0.0039,11分|得分点⑥

此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12分|得分点⑦|

【评分细则】

①每个式子1分，表格1分；给出X的可能取值给1分；

②得出a、b、c的值（有正确的）得1分；

③得到P,+LE=4（PLPLI）得1分；

④给出结论得1分；

⑤得出R,PA,PI的表达式各得1分；

⑥说明为非常小得1分；

⑦说明实验方案合理得1分.

【名师点评】

1.核心素养：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、方差的应用、二

项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想，考查的核

心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析.

2.解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会利用导数求最值;

三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决决策

型问题.

（变式训练1〕

（2021・湖南五市十校教研教改共同体联考）某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预

防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5

题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲

同学答对每道必答题的概率为点4答对每道选答题的概率为方2

（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；

（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已

知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为去试求甲同学在选答题阶段,

得分X的分布列.

［解析］（1）甲恰好答对4遒必答题的概率为

I256

尸

5-625-

121

(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为

选择回答且答错的概率为"113=方3，

选择放弃回答的概率为今

甲得分的可能性为一4分，一2分，。分，3分，5分和10分.

9

所以尸(X=-4)=砺，

P(X=-2)=吗X^U，

11233

P(X=3)=C与义炉/5二药

1121

P(X=5)=C22X2><5=5,

产底=10)=1/炉1©-=31.

所以X的分布列为

X-4-203510

931311

P—!■■

10010425525

考点二线性回归分析

»■例3(2018・全国2)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资y(单位：亿

元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回

A

归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量「的值依次为1,2,…，17)建立模型①；y=

-30.4+13.56根据2010年至2016年的数据(时间变量，的值依次为1,2,…，7)建立模型

②：£=99+17.5厶

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

【分析】⑴模型①中取f=19,模型②中取f=9,求出对应的函数值即可；(2)利用所给

折线图中数据的增长趋势，加以分析即可.

【标准答案】——规范答题步步得分

(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

f=-30.4+l3.5X19=226.1(亿元).3分|得分点①

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

£=99+17.5X9=256.5（亿元）.6分|得分点②|

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

8分|得分点③

理由如下：

⑴从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线），=-30.4

+13.5/上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境

基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010

年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资

A

额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5/

可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预

测值更可靠.

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预

测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模

型②得到的预测值更可靠.

（以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）

12分|得分力④

【评分细则】

①根据模型①求出预测值给3分；

②根据模型②求出预测值给3分；

③判断模型②得到的预测值更可靠给2分；

④作出正确的判断，写出合理理由，给4分；

【名师点评】

1.核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问

题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查数学的核心素养是数据分析、数学建模、数学

运算.

2.解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率

分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高识图与用图的能力.

〔变式训练2〕

（2021•安徽蚌埠质检）经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数

MOaWlO,xCN）与每辆的销售价格y（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数246810

售价16139.574.5

(1)试求)，关于X的回归直线方程；

(2)已知每辆该型号汽车的收购价格。(单位：万元)与使用年数x(0<xW10,xGN)的函数

关系为o=0.05f—1.75x+17.2,根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一

辆该型号汽车所获得的利润z最大.

n__

»iyi-几x-y

A

尸】A_A_

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为力=------------，a=y-bx.

》,一〃x2

/=!

一1

［解析］(1)由表中数据，得x=§X(2+4+6+8+10)=6,

7=1X(16+13+9.5+7+4.5)=10,

由最小二乘法得

A2义16+4X13+6X9.5+8X7+10X4.5-5X6X10__

b=4+16+36+64+100-5X36=-L45,

a=10-(-1.45)X6=18.7,

所以y关于x的回归直线方程为y=-1.45x+18.7.

(2)由题意，z=y—co

=-1.45x+18.7-(0.05A2-1.75X+17.2)

=-0.05*+0.3x+1.5,

其中0a<10,且X6N,

z=-0.05f+0.3x+1.5

=-0.05(X-3)2+1.95,

所以预测x=3时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.

考点三独立性检验

»■例4(2018•课标全国III)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成

某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们

随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根

据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m

和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过tn

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附"(ad-be辛

阳：~(a+b)(c+d)(a+cXb+d)-

P(即發k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】(1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎，作出判断；

(2)通过茎叶图确定数据的中位数，按要求完成2义2列联表；

(3)根据(2)中2X2列联表，将有关数据代入公式计算得收的值，借助临界值表作出统

计推断.

【标准答案】——规范答题步步得分

(1)第二种生产方式的效率更高.4分|得分点①

理由如下：

⑴由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间

至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79

分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分

钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生

产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；

用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的

效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最

多.关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7

上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布

的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完

成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.

79+81--------------

(2)由茎叶图知=80.6分|得分点②

列联表如下：

超过m不超过m

第一种生产方式155

第二种生产方式515

8分|得分点③

亠十,40(15X15-5X5)2八।用八17

(3)由于心=卡方=六=1°>6.635,11分得分点④

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

12分|得分点⑤

【评分细则】

①答案给岀了4种理由，考生答出任意一种或其他合理理由，均给4分；

②由茎叶图求出中位数，给2分；

③按要求完成2X2列联表，给2分；

④根据公式正确求出依的值，给3分；

⑤借助于临界值表作出判断，给1分.

【名师点评】

1.核心素养：茎叶图及独立性检验是高考命题的重点，在每年的髙考试题都以不同的

命题背景进行命制.此类问题主要考查学生的分析问题和解决实际问题的能力，同时考查

“数据分析”的数学核心素养.

2.解题技巧：(1)审清题意：弄清题意，理顺条件和结论；

(2)找数量关系：把图形语言转化为数字，找关键数量关系；

(3)建立解决方案：找准公式，将2X2列联表中的数值代入公式计算；

(4)作出结论：依据数据，借助临界值表作出正确判断.

〔变式训练3〕

(2021.湖南百校联考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线

学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各髙中学校抽取60

名学生对线上教学情况进行调查(其中男生与女生的人数之比为2：1),结果发现男生中有

10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.

(1)请完成如下2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性

别有关"；

满意不满意合计

男生

女生

合计60

(2)以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若

从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X,求随机变量X的分布

列与数学期望.

附：参考公式及临界值表

)_______n(ad-be辛_____

K(〃+h)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃=a+b+c+d.

P(K2>ko)0.100.050.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

I解析](1)由题意可知抽取60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下:

满意不满意合计

男生103040

女生81220

合计184260

60X(10X12—30X8)2%1.429<2.706,

因为18X42X40X20

所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,由题意可知，X〜B(3,匐，

p(x=z)=c(4)(总3-,

&=0,1,2,3,

随机变量X的分布列为

X0123

34344118927

P

10001000TOGOTooo

39

芯(田=3X行=而

考点四正态分布

»■例5国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过

层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高(单位：cm)在区间

[165,175]内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分

为[165,167),[167,169),[169,171),[171,173),[173,175]五组，得到如图所示的频率分布直

方图，其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.

(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数三和方差52(同一组中的数据用该组区间的

中点值代表)；

(2)根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N3,丁)，其中〃近

似为样本平均数三，『近似为样本方差~

(i)^P(167.86<X<174.28)；

(ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm

以上的概率.

参考数据：若X〜NW，<r),则Pa—<7<X<〃+<7)=0.6826,P(/z-2<r<X</z+2a)=0.9544,

VH5仁10.7,0.9544"%0.63,0.97729心0.8i,o.9772'0«O.79.

［解析］⑴由题知五组频率依次为0.1,0.2,0.375,0.25,0.075,1分

故7=0.1X166+0.2义168+0.375X170+0.25X172+0.075X174=170,2分

.*=(170-166)2X0.1+(170-168)2X0.2+(170-172)2X0.25+(170-174)2X0.075=

4.6；4分

(2)由题知〃=170,

<7=^^=#?5十2.14,5分

,0.9544-0.6826.

(1)P(167.86<X<174.28)=P(/i~a<X</i+2(r)=0.6826+--------------------=0.8185,8分

..1-0.9544

(n)P(X>174.28)=------5------=0.0228,

故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率

P=1-<1-0.0228)'°=1-0.9772l0««1-0.79=0.21.12分

〔变式训练4〕

(2021・贵州遵义模拟)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、

工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打

印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间，某制造企业

向4高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的

零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的

茎叶图如图所示(单位：Mm).

(1)计算平均值〃与标准差6

(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布NQ/,巒)，该团队到工厂安

装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为：86,95,103,109,118(单位：gm),试问：此

打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：P(/i-2a<Z<n+2CT)=0.9544,

尸3-?>a<Z<n+3。)=0.9974,

0.95443=0.87,0.99744=0.99,

0.04562=0.002.

［解析］⑴

97+97+98+102+105+107+108+109+113+114

10

=105jim,

,(-8>+(-8)2+(—7)2+(-3)2+()2+22+32+42+82+92

/=10

=36,

所a=6gm.

(2)结论：需要进一步调试.

理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62),

PQI-3a<Z<fi+3。)=P(87<Z<123)=0.9974,

零件内径在(87,123)之外的概率只有0.0026,

而86阵(87,123),根据3。原则知机器异常，需要进一步调试.(还可有其它解释，合理即

可)

考点五*概率、统计与函数、数列、不等式的综合

»■例6(2021.百师联盟期末)出版商为了解某科普书一个季度的销售量》(单位:千本)

和利润x(单位：元/本)之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到

如下的10组数据.

序号12345678910

X2.43.14.65.36.47.17.88.89.510

y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4

根据上述数据画出如图所示的散点图：

(1)根据图中所示的散点图判断)，=以+6和>=。1必+〃哪个更适宜作为销售量y关于利

润x的回归方程类型？(给出判断即可，不需要说明理由)；

(2)根据(1)中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；

(3)根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为z(单位：千元)，当季销售量

y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？(季利润总额=季销售量X每本书的利

润)

参考公式及参考数据：

①对于一组数据(“1，V1),("2，V2),…，(“"，vn).其回归直线v—a+/3u的斜率和截距

U)(v,—V)

的公式分别为2=------------二，1=7一2戸.

②参考数据:

10-10―

—

10_10—Z(XLx)Z(W/“)

Z(即一X)22i=\/=!

XuZ(«,—u)

y/=1/=1

(yi-y)(yi-y)

6.506.631.7582.502.70一143.25-27.54

表中出=lnx,，M=正堂•

另：ln4.06F.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.

[解析](l)y=dnx+d更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型.

(2)令〃=Inx,先建立y关于〃的线性回归方程，

则一u)(>1,-y)

,工八______________一27.54

由于。="二一=2.7010.20,

軍一U)~

A———

a=y-c-u=6.63+10.20X1.75=24.48,

所以y关于〃的线性回归方程为

A

y=24.48—10.20〃，

即y关于x的回归方程为

A

>'=24.48-10.201nx.

(3)由题意得

z=xy=x(24.48—10.201nx),

z'=[x(24.48-10.201nr)]/

=14.28-10.201IU,

令z'=0即14.28-10.201nx=0,

解得ln%=1.40,所以x^4.06.

当xG(0,4.06)时,z'>0,

所以z在(0,4.06)上单调递增，

当xG(4.06,+8)时，z'<0,

所以z在(4.06,+8)上单调递减，

所以当尤=4.06时，即季销量)=10.20千本时，季利润总额预报值最