甘肃省天水市2021年中考数学模拟试题

甘肃省天水市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）

1.（4分）已知同=1,6是2的相反数，贝!|a+b的值为（）

A.-3B.-IC.-1或-3D.I或-3

2.（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为米，将用

科学记数法表示为（）

A.73X106B.X104C.X104D.X105

3.（4分）如图所示，圆锥的主视图是（)

4.（4分）一把直尺和一块三角板/8C（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三

角板的两直角边分别交于点D和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点尸和点儿

且NCED=50°,那么N瓦弘的大小为（）

A.145°B.140°C.135°D.130°

5.（4分）下列运算正确的是（）

A.（aZ?）2—a2b2B.a2+a2—a4C.（a2）3—a5D.a2*a3—a6

6.（4分）已知a+b=则代数式2a+26-3的值是（）

1

A.2B.-2C.-4D.-3-

7.（4分）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚

小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）

11TCTC

A.-B.-C.TD.—

4284

8.（4分）如图，等边△0/8的边长为2,则点8的坐标为（）

A.(1,1)B.(1,V3)C.(V3,1)D.(V3,V3)

9.（4分）如图，四边形是菱形，。。经过点/、C、D,与8c相交于点E,连接

AC.AE.若/。=80°,则/以1C的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

10.（4分）已知点尸为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P岀发，沿其边界顺时针

匀速运动一周，设点"的运动时间为x,线段尸M的长度为力表示y与x的函数图象大

致如图所示，则该封闭图形可能是（）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）

11.（4分）函数、=2中,自变量x的取值范围是.

12.（4分）分式方程二7—2=0的解是.

13.（4分）一组数据，，，，a.其中整数。是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数

是.

14.（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016

年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入

平均增长率为.（用百分数表示）

15.（4分）二次函数歹=4『+加：+<?的图象如图所示，若M=4a+2b,N=a-b.则A/、N的

大小关系为MN.（填“〉”、“=”或“<”）

16.（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点。，与x轴、y轴分别交于N、

B两点,8点坐标为（0,2V3）,OC与。。交于点C,/0。=30°,则圆中阴影部分

的面积为.（结果保留根号和TT）

17.（4分）如图，在矩形中，AB=3,AD=5,点E在。C上，将矩形48C。沿/£

折叠，点。恰好落在8c边上的点F处，那么sin/MC的值为.

18.（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第

2019个图形中共有个。.

三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19.（10分）（1）计算：（-2）3+VTS-2sin30°+（2019-TT）°+|V3-4|

（2）先化简，再求值：（等一1）+•2L，其中x的值从不等式组七的整

立xz+xxz+2x+l（2%—1<5

数解中选取.

20.（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了

部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动"项目中，围绕你最喜欢哪一项活

动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请

你根据统计图解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽查了名学生.

（2）请你补全条形统计图.

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为度.

（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

21.（10分）如图，一次函数^=履+6与反比例函数的图象交于/（w,4）、B（2,”）

两点，与坐标轴分别交于A/、N两点.

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出6+6-9>0中x的取值范围；

（3）求△Z08的面积.

四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）

22.（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为1：1,文化

墙尸”在天桥底部正前方8米处的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定

降低坡度，使新坡面的坡度为1：V3.（参考数据：V2«,V3«）

（1）若新坡面坡角为a,求坡角a度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙尸〃

是否需要拆除？清说明理由.

23.（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，己知销售价不

低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商

品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：

（2）求每天的销售利润%（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销

售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

24.（10分）如图，AB、NC分别是的直径和弦，丄4c于点D.过点力作。。的切

线与

0。的延长线交于点P,PC、的延长线交于点凡

(1)求证：PC是的切线；

(2)若//BC=60°,AB=\Q,求线段CF的长.

25.(10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形中，AB=AD,CB=CD,问四边形是垂

美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,四边形N8CD的对角线4C、83交于点O,ACLBD.试证明：

AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解决问题:如图3,分别以的直角边ZC和斜边为边向外作正方形4C尸G

和正方形连结CE、BG、GE.已知/C=4,AB=5,求GE的长.

26.(13分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点/(-3,0)、B(9,0)和C(0,4),

8垂直于y轴，交抛物线于点。，OE垂直于x轴，垂足为E,直线/是该抛物线的对称

轴，点厂是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)若RtZMOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴/重合，再沿对称轴/向上

平移到点C与点尸重合，得到Rt^/hOi尸，求此时Rt^ZiOF与矩形OCDE重叠部分图

形的面积；

(3)若RtZ\/OC沿x轴向右平移f个单位长度(0<fW6)得到RtAy42(92C2,RtA^2O2C2

与RtZSOE。重叠部分图形的面积记为S,求S与f之间的函数表达式，并写出自变量f

的取值范围.

甘肃省天水市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确的选项选出来)

1.(4分)已知同=1,6是2的相反数，贝Ua+b的值为()

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

【解答】解：♦.•闹=1,6是2的相反数，

.,.4=1或a=-l,b--2,

当。=1时，a+b—l-2--1；

当a=-1时，a+b=-1-2=-3；

综上，a+b的值为-1或-3,

故选：C.

2.（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为米，将用

科学记数法表示为（）

A.73X10-6B.X10-4C.X10-4D.X10-5

【解答】解：用科学记数法表示为X10P,

故选：D.

3.（4分）如图所示，圆锥的主视图是（）

【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示:

故选：A.

4.（4分）一把直尺和一块三角板Z8C（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三

角板的两直角边分别交于点D和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点尸和点4

且NCED=50°,那么N8必的大小为（）

A.145°B.140°C.135°D.130°

【解答】解：NFDE=NC+NCED=90°+50°=140°,

'：DE//AF,

：.ZBFA=ZFDE=140°.

故选：B.

5.（4分）下列运算正确的是（）

A.（ah'）2—a2h2B.a2+a2=a4C.（a2）3=a5D.a2,a3=a（＞

【解答】解：

/选项，积的乘方：（ab）'Wb?,正确

8选项，合并同类项：。2+片=2次，错误

C选项,幕的乘方:（『）3=看,错误

。选项，同底数幕相乘：。2./=°5,错误

故选：A.

6.（4分）已知”+6=今则代数式2a+26-3的值是（）

1

A.2B.-2C.-4D.-3-

【解答】解:

2a+2b-3=2(a+h)-3,

11

・•・将〃+6=/代入得：2乂*-3=-2

故选：B.

7.（4分）如图，正方形Z8C。内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚

小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（)

11

--n71

A.4B.2C-8D-4

【解答】解：设正方形的边长为2”,

针尖落在黑色区域内的概率=J—=I.

4a，o

故选：C.

8.（4分）如图，等边△0/8的边长为2,则点8的坐标为（)

A.(1,1)B.(1,V3)C.(V3,I)D.(V3,V3)

【解答】解：过点8作8,丄/。于，点，•••△0/5是等边三角形,

BH=V3.

.•.点8的坐标为（1,V3）.

故选：B.

9.（4分）如图，四边形"88是菱形，。。经过点力、C、D,与8c相交于点E,连接

AC.AE.若/。=80°,则NE/C的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：•••四边形/BCD是菱形,ZZ)=80°,

11

:.ZACB=RDCB=*(180。-ZD)=50。，

V四边形AECD是圆内接四边形,

AZAEB=ZD=80°,

：.NEAC=NAEB-N4CE=3Q°,

故选：C.

10.（4分）已知点尸为某个封闭图形边界上一定点，动点/从点P出发，沿其边界顺时针

匀速运动一周，设点M的运动时间为x,线段的长度为y,表示y与x的函数图象大

致如图所示，则该封闭图形可能是（）

OQo△

A.7B.pC.p*D.p

【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而8选项和C选项中的封闭图形都有4条

线段，其图象要分四个部分，所以8、C选项不正确；

力选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以4

选项不正确；

。选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM

的长有最小值.

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）

11.（4分）函数y=V*—2中,自变量x的取值范围是x22.

【解答】解：依题意，得x-2》0,

解得：x22,

故答案为：x》2.

12,

12.（4分）分式方程—：——=（）的解是x=2.

x—1x

【解答】解:

X—2(x—1)

原式通分得:=0

x(xT)

去分母得：x-2(x-1)=0

去括号解得，x=2

经检验，x=2为原分式方程的解

故答案为x=2

13.（4分）一组数据，，，，其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是

5

【解答】解：•••整数。是这组数据中的中位数,

.•・4=4,

.•.这组数据的平均数=/（）=5・

故答案为5.

14.（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016

年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入

平均增长率为40%.（用百分数表示）

【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为X,

20000（1+x）2=39200,

解得，Xl=,X2=-（舍去），

，该地区居民年人均收入平均增长率为40%,

故答案为：40%.

15.（4分）二次函数^=4/+云+。的图象如图所示，若A/=4a+2b,N=a-b.则M、N的

大小关系为〃<N.（填或“<”）

【解答】解：当工=-1时，y=a-h+c>0,

当x=2时，y^4a+2b+c<0,

M-N=4a+2b-（a-b）

=4a+2b+c-（a-b+c）<0,

即M<N,

故答案为：V

16.（4分）如图，在平面直角坐标系中，己知。。经过原点。，与x轴、夕轴分别交于/、

8两点，8点坐标为（0,2V3）,0c与交于点C,ZOCJ=30°,则圆中阴影部分

的面积为2n-2H.（结果保留根号和n）

【解答】解：连接48,

：405=90°,

：.AB是直径，

根据同弧对的圆周角相等得/OR4=NC=30°,

：。8=2技

/.OA=OBtanAABO^O5tan300=2遅x孚=2,/8=ZO+sin30°=4,即圆的半径为

2,

阴影=S芈囲-S"BO=-1X2X2V3=2TT-26.

故答案为：2n-2g.

17.（4分）如图，在矩形N8CZ）中，48=3,40=5,点E在。C上，将矩形/8CD沿4E

4

折叠，点。恰好落在8c边上的点F处，那么sin/EFC的值为

【解答】解：•.•四边形/8CC为矩形，

：.AD=BC=5,AB=CD=3,

•.•矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在8c边上的尸处，

：.AF^AD^5,EF=DE,

在Rt"BF中，BF=\/AF2-AB2=4,

:*CF=BC-BF=5-4=1,

设CE=x,贝iJZ）E=EF=3-x

在RtA£CF中，VCE2+FC2^EF2,

.*.x2+l2=（3-x）2,解得x=|,

:.EF=3-x=I，

CF4

/.sinZEFC=前=耳.

4

故答案为：

18.（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第

2019个图形中共有6058个O.

【解答】解：由图可得，

第1个图象中。的个数为：1+3X1=4,

第2个图象中O的个数为：1+3X2=7,

第3个图象中O的个数为：1+3X3=10,

第4个图象中。的个数为：1+3X4=13,

...第2019个图形中共有：1+3X2019=1+6057=6058个O,

故答案为：6058.

三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19.（10分）（1）计算：（-2）3+ag-2sin30°+（2019-n）°+|V3-4|

X2_if—X<1

⑵先化简,再求值：（不7）一品r今,其中x的值从不等式组［“二<5的整

数解中选取.

【解答】解：（1）原式=-8+4-2X*+1+4—V3

=-8+4-1+1+4—V3

=-V3；

%—%2—

（2）原式=

X(%+1)X-1

X，+1

X

-l-xf

(―X<1

解不等式组,~不得-lWx<3,

(2%—1<5

则不等式组的整数解为-1、0、1、2,

Vx^±l,xHO,

♦•x=2f

则原式=之=一2.

20.（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了

部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活

动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请

你根据统计图解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽杳了次名学生.

（2）请你补全条形统计图.

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为一度.

（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

【解答】解:（1）8+16%=50,

所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；

（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），

条形统计图为：

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°；

故答案为50；；

17

（4）1200=288,

所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生.

4

21.（10分）如图，一次函数》=公什6与反比例函数歹=亍的图象交于力（加，4）、B（2,n）

两点，与坐标轴分别交于〃、N两点.

（I）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出去+6—*>0中x的取值范围；

（3）求△408的面积.

【解答】解：（1）：点/在反比例函数上，

4

—=4,解得"7=1,

m

二点4的坐标为（1,4）,

又•.•点8也在反比例函数y=（上，

4

=〃，解得〃=2,

・••点5的坐标为（2,2）,

又：点4、8在歹=b+b的图象上，

噓工，解得仁/

一次函数的解析式为y=-2x+6.

（2）根据图象得：fcv+8一］>0时，x的取值范围为xVO或1<XV2；

（3）•.•直线y=-2x+6与x轴的交点为N,

.•.点N的坐标为（3,0）,

11

S&AOB=S&AON-S^BON=2x3X4-）x3X2=3.

四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）

22.（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面8c的坡度为1：1,文化

墙尸团在天桥底部正前方8米处（P8的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定

降低坡度，使新坡面的坡度为1：V3.（参考数据：V2«,V3«）

（1）若新坡面坡角为a,求坡角a度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙尸M

是否需要拆除？请说明理由.

【解答】解：(1)•••新坡面坡角为a,新坡面的坡度为1：V3,

..173

,•tana=75=T'

...a=30°；

(2)该文化墙尸历不需要拆除，

理由：作CD丄于点。，则。=6米，

:新坡面的坡度为1：V3,

.•.*tan/宀/C八3而CD=而6=后1

解得，/。=6百米，

•.•坡面8。的坡度为1：1,8=6米，

.*.8。=6米，

:.AB=AD-BD=(6V3-6)米，

又•.•尸8=8米，

：.PA=PB-AB=8-(6V3-6)=14-6b#14-6X七米＞3米，

...该文化墙尸M不需要拆除.

23.(10分)天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不

低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商

品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求每天的销售利润〃(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销

售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：(1)设y与x的函数解析式为＞=丘+6,

将(10,30)、(16,24)代入，得:隐步

116k+匕=24

解得：仁,

S=40

所以y与x的函数解析式为y=-x+40(100W16)；

(2)根据题意知，少=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=-X2+50X-400

=-(X-25)2+225,

-KO,

.•.当xV25时,少随x的增大而增大，

...当x=16时，沙取得最大值，最大值为144,

答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.

24.(10分)如图，AB、ZC分别是的直径和弦，丄/C于点。.过点/作的切

线与

0。的延长线交于点P,PC、的延长线交于点R

(1)求证：PC是OO的切线；

(2)若/Z8C=60°,4B=10,求线段CF的长.

【解答】解：(1)连接0C,

'：OD±AC,经过圆心。，

；.AD=CD,

:.PA=PC,

在△0/尸和△OCP中，

0A=0C

'：\PA=PC,

,OP=OP

.♦.△0/P空△OCP(SSS),

：.ZOCP=ZOAP

是。。的切线，

：.ZOAP=90°.

；./OCP=90°,

即OCLPC

是。。的切线.

(2)'：OB=OC,NO8C=60°,

...△08C是等边三角形，

：.ZCOB=60°,

"：AB=10,

；.OC=5,

由（I）知ZO"=90°，

CF=OCtanZCOB=5y/3.

25.（10分）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形力8c。中，AB=AD,C8=CO,问四边形Z88是垂

美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1,四边形N8CD的对角线4C、83交于点O,ACLBD.试证明：

AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题:如图3,分别以的直角边ZC和斜边为边向外作正方形4C尸G

和正方形连结CE、BG、GE.已知/C=4,AB=5,求GE的长.

【解答】解：（1）四边形/8CQ是垂美四边形.

证明：'.'AB—AD,

...点A在线段BD的垂直平分线上，

'：CB=CD,

点C在线段BD的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

：.ACLBD,即四边形/8CO是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.

如图2,已知四边形48CZ）中，AC丄BD,垂足为E,

求证：AD1+BC2=AB2+CD2

证明：；4c丄BD,

：.ZAED=ZAEB=ZBEC=ZCED=90Q,

由勾股定理得，AD2+BC2^AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

:.AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2^AB2+CD2.

（3）连接CG、BE,

:NCAG=NBAE=90°,

NCAG+NBAC=ZBAE+ZBAC,即NG4B=NCAE,

AG=AC

在△GZ8和中，,NGAB=/CAE,

.AB=AE

：,^GAB^/\CAE(S4S),

：.N4BG=NAEC,又NAEC+NAME=90°,

AZABG+ZAME=90°,即CE丄BG,

四边形CGE8是垂美四边形，

庄|⑵得，CG2+BE2^CB2+GE2,

*C=4,4B=5,

:.BC=3,CG=4V2,BE=5近,

：.GE2=CG2+BE2-CB2=13,

：.GE=y/73.

26.(13分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点/(-3,0)、B(9,0)和C(0,4),

8垂直于y轴，交抛物线于点。，OE垂直于x轴，垂足为E,直线/是该抛物线的对称

轴，点厂是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)若RtZMOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴/重合，再沿对称轴/向上

平移到点C与点尸重合，得到Rt^/hOi尸，求此时Rt^ZiOF与矩形OCDE重叠部分