新教材一轮复习人教A版第9章第3节成对数据的统计分析学案

第三节成对数据的统计分析

-----------\必备知识•回顾教材重“四基”/------------

一'教材概念・结论•性质重视

1.相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程

度，这种关系称为相关关系.

2.散点图

将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数

据的图形，这样的图形叫做散点图.利用散点图，可以判断两个变量是否相关，

相关时是正相关还是负相关.

3.正相关和负相关

(1)当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们

就称这两个变量正相关.

(2)负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势,

则称这两个变量负相关.

微提醒・・・一

相关关系与函数关系的区别与联系

(1)相同点：两者均是指两个变量的关系.

(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系；

②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随

关系.

^~4.线性相关和非线性相关

(1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条

直线附近，我们就称这两个变量线性相关.

(2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这

两个变量非线性相关或曲线相关.

5.样本相关系数

n

∑(Xi-X)(W—ɪ)

(I>=∕Z^_∣

ʌ/Σ(xj—x)2Λ/Σa(v/-ɪK

ΣXiyi-nxy

=一"_”_，称「为变量X和变量y的样本相关系数∙

、!占An72、JjWV一石2

(2)样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对

值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：

①当r>0时，称成对样本数据亚相关；

②当r<0时，称成对样本数据负相关.

(3)样本相关系数r的取值范围为样本相关系数r的绝对值大小可

以反映成对数据之间线性相关的程度：

①当团越接近1时，成对数据的线性相关程度越强;

②当团越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱.

6.经验回归方程

我们将£=源+2称为Y关于X的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回

∑(∙Γ.∙-χ')(yi—y)

ʌZ=I

b=---------------------------------

归公式，其图形称为经验回归直线，其中支F)2

i=}

a=^y-bX.

微提醒・・・

(1)经验回归方程不一定都有实际意义.回归分析是对具有相关关系的两个

变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才

有实际意义.

(2)根据经验回归方程进行预报，得到的仅是一个估计值，而不一定是真实

发生的值.

(3)经验回归直线一定过样本点的中心.

7.利用R2刻画回归效果

，ΛC

Σ(ʃ/-ʃ/)

i=ln

R2的计算公式为R2=l----------------,其意义是R2越大，残差平方和E(W

n.

Σ(ʃ/-y)2J

/=1

一工)2越小,即模型的拟合效果越野；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合

效果越差.

8.独立性检验

rd∩d—

(I)/2的计算公式：iβn=a+b+c+d,则—=/、小(二-

ʌʌ(α十⅛>)(c十G(α十C)(匕十d)

(2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为Z2独立性检验，

读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

(3)应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节：

①提出零假设H。：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；

②根据抽样数据整理出2X2列联表，计算/的值，并与临界X“值比较；

③根据检验规则得出推断结论；

④在X和y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y

间的影响规律.

微提醒・・・

2

根据好的值可以判断两个分类变量有关的可信程度.若z的值越大，则两

个分类变量有关系的把握越大.

二'基本技能・思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“，错的打“X”.

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关

系.(J)

(2)通过经验回归方程£=源+2可以估计预报变量的取值和变化趋势.(J)

(3)经验回归方程£=源+2中，若短0,则变量X和y负相关.(X)

(4)因为由任何一组观测值都可以求得一个经验回归方程，所以没有必要进

行相关性检验∙(X)

2.(多选题)关于回归分析，下列说法正确的是()

A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自

变量唯一确定

B.线性相关系数可以是正的也可以是负的

C.在回归分析中，如果r2=l或r=±l,说明X与y之间完全线性相关

D.样本相关系数rG（-l,l）

ABC解析：选项D中，样本的相关系数应满足一IWrW1,故D错误，ABC

都正确.

3.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量X,y的回归模型时，分别选择了4

种不同模型，计算可得它们的心分别如下表:

甲乙丙ɪ

R28

建立的回归模型拟合效果最好的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

A解析：R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.

4.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格

统计人数后，得到如下列联表:

优秀及格总计

甲班113445

乙班83745

总计197190

则随机变量Z2的值约为（）

A.C.

A解析：根据列联表中的数据，可得格=9°：8）2-0.600.故

4□ʌ4□^IyAZ1

选A.

5.若变量y与X的非线性回归方程是£=25一1,则当£的值为2时，X的

估计值为.

9ɪ.L99

4解析：由2山一1=2,得X=不即X的估计值为不

∖关键能力•研析考点强“四翼”/

考点1相关关系的判断——基础性

「多维训练」

1.（多选题）下列变量之间的关系是相关关系的是（）

A.二次函数y=加+bx+c中，α,c是已知常数，取。为自变量，因变量

是判别式/=∕-4αc

B.光照时间和果树亩产量

C.降雪量和交通事故发生率

D.每亩田施肥量和粮食亩产量

BCD解析：在A中，若Z?确定，则α,b,C•都是常数，/=∕-44c•也就

唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系.一般来说，光照时间越长，

果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高：施肥量越多，粮食亩产量

越高，所以B,C,D是相关关系.

2.以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格》（单位：万元）和房屋面

积x（单位：π?）的数据：

房屋面积x∕m211511080135105

销售价格W万元44

⑴画出数据对应的散点图.

⑵判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系.如果有相关关

系，是正相关还是负相关？

解：⑴数据对应的散点图如图所示.

60

50

4()

30

20

IO

07090IIO130150χ∕m2

（2）通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间

具有相关关系，并且是正相关.

解题通法

两个变量是否相关的两种判断方法

(1)根据实际经验，借助积累的经验进行分析判断.

(2)通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.

考点2一元线性回归模型及其应用——应用性

「典例引领」

考向1线性回归分析

例维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量,这

个指标越高，耐热水性能也越好.而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生

产中常用甲醛浓度x(g∕L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系.现安

排一批实验，获得如下数据：

甲醛浓度(g∕L)18202224262830

缩醛化度(克分

子％)

⑴画散点图，并判断成对样本数据是否线性相关；

⑵求相关系数r(精确到0∙01),并通过样本相关系数判断甲醛浓度与缩醛化

度的相关程度和变化趋势的异同.

解：⑴画出散点图如图所示.

+缩醛化度(克分子％)

30■β•••

28-**

26-,

Ol18202224262830'

甲醛浓度(β∕L)

由散点图可以看出，成对数据呈现出相关关系.

(2)X=亍=24,y=,7),Zx,y,=4900.16,∑xτ=4-144,Ey七5892,

/i=lZ=IZ=I

由此推断，甲酉荃浓度与缩醛化度正线性相关，即甲醛浓度与缩醛化度有相同

的变化趋势，且相关程度很强.

考向2非线性回归分析

例❷，（2020∙南平质检）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在

古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业

革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报、电话的发明让通信领域发生

了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”

变为现实……此时此刻，5G的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革.“5G

领先”一方面是源于我国顶层设计的宏观布局，另一方面则来自政府高度重视、

企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势.某科技创新公司基于领先

技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司

的5G经济收入在短期内逐月攀升.业内预测，该创新公司在第1个月至第7个

（1）为了更充分运用大数据、人工智能、5G等技术，公司需要派出员工实地

检测产品性能和使用状况.公司领导要从报名的五名科技人员A,B,C,D,E

中随机抽取3个人前往，则A,B同时被抽到的概率为多少？

（2）根据散点图判断，y=0x+Z?与y=c∙∕（α,8,c,d均为大于零的常数）哪

一个适宜作为5G经济收入y关于月份X的经验回归方程类型？（给出判断即可，

不必说明理由）并根据你判断结果及表中的数据，求出y关于X的回归方程.

⑶请你预测该公司8月份的5G经济收入.

参考数据：

777

部ΣXiVi1010

VZ=1

2535

O=Igy,Vi=↑gyi.

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据3,w)(z=1,2,3,…，〃)，其

经验回归直线，=&+2的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为?=

Il_____

∑xivi-nXV

i=lΛ------A——

na=V—B%.

ΣXι,-∏X2

i=l

解：(1)从报名的科技人员A,B,C,DfE中随机抽取3个人，则所有的情

况为{A,B,C},{A,B,D],{A,B,E},{A,C,D},{A,C,E},{A,D,

E},{B,C,D},{B,C,E},{B,D,E},{C,D,E],共10种.记“A,B

同时被抽到”为事件Q,则事件Q包含的样本点为{A,B,C},{A,B,D},{A,

3

B,E],共3个,故P(Q)=而

(2)根据散点图判断，y=c∙/适宜作为5G经济收入y关于月份X的回归方程

类型.由y=c∕,两边同时取常用对数得Igy=Ig(Cd)=lgc+xlg

设Igy=所以O=Igc+xlgd.

因为嚏=∣×(1+2+3+4+5+6+7)=4,

-I7I717

所以V=∙=∑vi=^∑lgyi=^×10.78=1.54,∑χ}=l2÷22+32+42÷52÷62+

∕z=l/i=∖//=1

72=140,

7_____

ΛWXM—7Xy50.12-7×4×7

所以Igd=-=140-7×42=28=0-25-

Σ√-7X2

/=I

-----AAA

把样本中心(4,1.54)的坐标代入V=Igc+lgd∙x,得1.54=Igc×4,

ΛA

所以Igc=0.54,所以O%

A

所以Igyx,

所以y关于X的回归方程为£=IOrXIQ'

A

(3)当x=8时，y=10-10*8=347,

所以预测8月份的5G经济收入为347百万元.

解题通法

非线性回归分析的步骤

非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知数据的散点

图，把它与学过的各种函数（幕函数、指数函数、对数函数等）图象作比较，挑选

一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性

回归分析问题，使之得到解决.其一般步骤如下：

“作散、根据原始数据（x,y）作出散点图

Λ图

函药才根据散点图，选择恰当的拟合函数

∕x≤≥∖作恰当的变换，将其转化成线性函

、求解数，求经验回归方程

Y4

在上面的基础上通过相应的变换，

即可得非线性回归方程

「多维训练」

（2020.广州一模）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1

5555

ΣXiΣXι,部”）5si"。

Z=IZ=I

1555

⑴根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于X的经验回归方

程为y=e“+收其中e为自然对数的底数），求实数α,b的值（精确到0.1）.

（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间T，e》上的时段为优质产卵期.利

用(1)的结论，估计在第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期

的概率.

附：对于一组数据(01,川),(02,〃2),…,(Mμn),其经验回归直线的斜率

n

∑viui-nV»λ_A_

和截距的最小二乘估计公式分别为夕=、------,«=u-β∙V.

∑vl-nV2

Z=I

解：(1)因为y=e。+”两边取自然对数，得Iny=笈.

令根=犬，"=Iny,得〃=Q+∕WI.

λ54.75-5×y×

因为2=--------------:-,55-5×32)=,10)=0.693,

所以⅛¾0.7.

Λ—Λ

因为α=n—bm=,5)×3=1.088,

所以gjM.l,即∕J≈0.7.

(2)根据⑴得y=e∖

由e6<e'Ve8,得7VχV竽.

所以在第6天到第10天中，第8,9天为优质产卵期.

从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有(6,7),(6,8),(6,9),

(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共10种.

其中恰有1天为优质产卵期的有(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,10),(9,10),

共6种.

设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件

为A,

则P(A)=K=|.

所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概

考点3残差分析——基础性

r典例引领」

例目,2020.聊城6月高三模拟）2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪

瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价

格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方

面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放

猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形

势，决定响应政府号召，扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就“一

天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计

如下表：

生猪存栏数量χ（千头）23458

头猪每天平均成本吠元）2

⑴研究员甲根据以上数据认为y与X具有线性回归关系，请帮他求出y关于

X的线性回归方程佻）=源+氤计算结果精确到0.01）.

（2）研究员乙根据以上数据得出y与尤的回归模型：夕2）=/）,请完成以下任

务：

①完成下表（计算结果精确到0∙01）（备注：,称为对于点3,V）的残差）；

生猪存栏数量X（千头）23458

头猪每天平均成本y（元）2

估计值制）

模型甲

残差一）

估计值例2

模型乙

残差ef2）000

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和。及0,并通过比较Q2的

大小，判断哪个模型拟合效果更好.

（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，，饲养一头猪每一天的平均

收入为7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问：

该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润？请说明理由.（利润=

收入一成本）

5__5_

参考数据：∑(χ-X)(ʃɪ-y,W(H—%)2=21.2.

∕=1Z=I

解：(1)由题知：1=4.4,~y=2.2,

n

∑(xi-X)(y,-y)

八I=I

=

b~1=,21.2)=-0.25,

∑(Xi-X)2

ι=l

AΛ,

a—y—bx×4.4=3.30,

故夕以+3.30.

⑵①经计算，可得下表：

生猪存栏数量X(千头)23458

头猪每天平均成本y(元)2

模型估计值W'

甲残差副

模型估计值y超2

乙残差热000

222222

Qi=(0.40)+(-0.15)+(-0.30)+(-0.15)+(0.20),Q2=(0.14)+

(O.1)2Q∣>02,故模型?2)=,X)+0.8的拟合效果更好.

(3)若生猪存栏数量达到1万头，由(2)中模型乙可知，每头猪的成本为,10)+

0.8=1.28(元)，这样一天获得的总利润为(7.5—1.28)X10000=62200(元)；

，由(2)中模型乙可知，每头猪的成本为,12)+0.8=1.2(元)，这样一天获得的

总利润为(7.2—1.2)X12000=72OoO(元).

因为72000>62200,所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.

解题通法

在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行.在求N时，通常采

用分步计算的方法，心越大，模型的拟合效果越好.

「多维训练」

关于X与y有如下数据:

X245ɪ8

y^30^^40^ɪ^50^^70^

有如下的两个线性模型:

(I)Jx+17.5；(2)J=7x+17.试比较哪一个拟合效果更好.

ʌ--

解：由⑴可得y—y与y—y的关系如下表:

Λ

y-yi10

yt-y-20-io10020

55_

所以EcyLV)2=(—0.5)2+(—3.5)2+1。2+(—65)22=155,Σ(y-y)2=(-

Z=Ii=1i

20)2+(-IO)2+102+02+202=1000.

5Λ，

∑(yi-y∖)ιss

所以K=I-—5=1-"J^^QQ0Ξ≈0-845.

∑.yA

/=I

A——

由Q)可得》一»与y—y的关系如下表:

Λ

y-yi-i-58-9-3

y-y-20-1010020

5

所以E(M-Qi)2=(—1)2+(—5)2+82+(—9)2+(—3)2=180,

Z=I

5Λ，

ιζ(yi-yι)-180

所以虺=1-―5=1-]000=O'82∙

∑(ʃʃ-yA

/=1

所以招＞∕⅛

所以⑴的拟合效果更好.

考点4列联表与独立性检验——综合性

「典例引领」

例0，某省进行高中新课程改革已经四年了，为了了解教师对新课程教学模

式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进

行了问卷调查.共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师

对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模

式赞同的有24人，不赞同的有6人.

（1）根据以上数据建立一个2X2列联表；

（2）依据小概率ɑ,能否推断青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有

差异？

解：（1）2X2列联表如下所示.

赞同不赞同总计

老教师101020

青年教师24630

总计341650

⑵假设H0i青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上没有差异.

/口,50×（10×6-24×10）2

2