2023年高三数学高考模拟试卷六附参考答案

2023年高三数学高考模拟试卷(6)

一、单选题

3

1.复数QT)_()

2i一

A.1—iB.-1—iC.1+iD.-1+i

2.已知集合力={(久，y)|x-y+1=0},B={(x,y)\x2+y2=1],则集合ZnB的子集个数为

()

A.4B.3C.2D.1

3.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍

童，其中上下底面为正方形边长分别为6和2,侧面是全等的等腰梯形梯形的高为2鱼，若盆中积水

深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为()

4.已知以A(—2,0),%(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的

长轴长为()

A.3V2B.2V6C.2V10D.4>/2

5.在△力BC中，M是AC边上一点，且宿=；瓶，N是BM上一点，若丽=/近+6近，则实数m

的值为()

A.-1B.-1C.1D.J

3663

6.欧拉函数9(n)(nCN*)的函数值等于所有不超过正整数71,且与n互素的正整数的个数，例如，

租(1)=1,@(4)=2.若N*,且2岂9(2。=13,则以㈤=()

A.3B.4C.5D.6

7.已知正实数久，y满足<则2町/一2支一'的最小值为()

4y

A.2B.4C.8D.9

ex—ln(x+1)—1,%>0

8.已知函数/(%)=1若f(e*-2)+f(e2x)<0,则实数x的取值范围为

1-+】7l(l—%),XV0

)

A.(—oo,0]B.[0,+oo)

C.[—伍2,0]D.（一oo,—ZTI2]

二、多选题

9.为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测.某班级体温检测员对一周内

甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）

A.乙同学体温的极差为0.3。。

B.甲同学体温的中位数与平均数相等

C.乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小

D.甲同学体温的第60百分位数为36.5T

10.已知函数/（X）=COS（3X+0）（3>O,-1<<P<-f）.其图像上相邻的两个最高点之间的距离

为兀，/（%）在信，白上是单调函数，则下列说法不正确的是（）

A.0的最大值为一百

B./（%）在[0,用上的图像与直线y=1没有交点

C./（%）在（0,刍上没有对称轴

D./（%）在[一5，一勺上有一个零点

11.函数/（切=炉一。/一%+1,则下列结论正确的是（）

A.若函数/（%）在（一，当上为减函数，则—iSa4

B.若函数/（x）的对称中心为（1,一2）,则a=|

C.当a=l时，若/'（%）=m有三个根％i，x2<x3,且则打<9'：?6

D.当a=l时，若过点（―1,m可作曲线y=/（久）的三条切线，WJ0<n<fy

12.已知正四面体P-ABC的棱长为1,M,N,E分别为正四面体棱BC,AC,PA的中点，尸为面

4BC内任意一点，则下列结论正确的是（）

A.平面EBC截正四面体P-A8C的外接球所得截面的面积为筹

O

B.若存在九n，使得两=2而+〃丽，则线段CF长度的最小值为空

C.过点P作平面a〃平面EBC,若平面an平面ABC=匕，平面an平面P4C=%，则匕，%所成角

的正弦值为学

D.平面EMN与平面ABC夹角的余弦值为字

三、填空题

13.已知nCN*且n>l,-的展开式中存在常数项，写出九的一个值

为.

14.已知函数/'（%）=sbi2x-cos2x,曲线y=f（x）在点（出,/'（x。））处的切线与直线*x+交y=0垂

直，贝!|tan%o=.

15.已知点C的坐标为（2,0）,点4B是圆0：/+、2=I。上任意两个不同的点，且满足尼.近=

0,设P为线段4B的中点，则|CP|+|OP|的最大值为.

16.在1,2,…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为.

四、解答题

17.设又为数列｛即｝的前九项和，已知VnwN*,an>0,+1=2anSn.

（1）求an；

(2)求证：an+1<an.

18.如图，在四棱锥P—ZBCD中，AD//BC,AB=BC=2,AD=PD=4,Z.BAD=60°,AB=

BC=2,点E为24的中点.

(1)求证：BE〃平面PCD；

(2)若平面PAD1平面力BCD,求直线CD与平面24c所成角的正弦值.

19.某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，

食品，日常用品等.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100人，访问结

果如下表所示.

使用人数未使用人数

女性顾客4020

男性顾客2020

(1)从被访问的10()人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；

(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为X,问

k*=0,1,2,…，10)为何值时，P(X=k)的值最大？

20.记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c＞已知cos力=2s讥9

(1)证明：a+c=2b；

S

(2)若△ABC的面积为S,求当的最大值.

b

21.已知双曲线Qq_卷=1，直线(过C的右焦点F且与C交于M,N两点.

11

(1)若M,N两点均在双曲线C的右支上，求证：向+而为定值；

(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理

由.

22.已知函数/(x)=a(l—与)——+(%—1)2.

(1)当a=；时，求/(x)的单调区间；

(2)证明：当0＜a＜；B寸，对任意％€弓一1,+8),总有/(%)＞。一2)2.

参考答案

L【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】B,C,D

10.【答案】B,C,D

11.【答案】A,C,D

12.【答案】A,B,D

13.【答案】5或者4k+l(kGN*))

14.【答案】V2-1

15.【答案】2V5

16.【答案】击

17•【答案】(1)解：由题意知，出+1=2Q]SI=2底，

又的>0,得的=1.

当九>时,由成+得〃得隆一，

21=2anSnf(S-Sn-i)2+1=2(Sn-Sn_i)Sn,Si=1.

则数列｛S/｝是首项为搭=1,公差为1的等差数列.

所以=1+(n—1)=n.

又Sn>0,则S九=Vn.

时，，

—jn22an—Sn—Sn-i—y/ri—Vn—1

又劭=1满足上式，

所以=Vn—yjn—1

。)证*由干气±1—&+1-下_GM+1~•㈤(而+标二p

(2)1止月.田一麻—R—1-(历_标_1)(而+标_1)

(Jn+1—Vn)(Vn+vn—l)(Vn+1+Vn)

=(Vn+1—Vn)(Vn+Vn—1)—

Vn+1+Vn

y/n+yjn—1

一,--------<1

Vn+14-Vn

又a”>0,所以即+i<%.

18.【答案】(1)证明：取PD中点F,连接CF,EF.

因为点E为PA的中点，所以EF||an且EF=\AD,

又因为BC〃/1D且BC=^AD,所以EF〃BC且EF=BC,

所以四边形BCFE为平行四边形.

所以BE〃。尸.

又BEC平面PCD,CFu平面PCD,所以BE〃平面PCD.

(2)解：在平面ABC。中，过。作CGIAO,在平面PA。中，过。作DH1AD.

因为平面PAO1平面2BCD,平面PADC平面ABC。=AD,DGu平面ABC。

所以DG上平面PAD.

所以。G_LDH,所以ZM,DG,DH两两互相垂直.

以。为原点，向量育，DG,丽的方向分别为久轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。-xyz

(如图)，则4(4,0,0),C(l,V3,0),P(-2,0,28)，0(0,0,0),

所以前=(一3,遮，0),AP=(-6,0,2遮)，DC=(1,遮，0),

设完=(久，y,z)是平面H4C的一个法向量，

则产.至=0,即卜3%+加=0,

(n-AP=0,1—6%+2V3z=0,

取x=1,得道=(1,V3,V3).

设直线CO与平面PAC所成角为。.

则s讥。=\cos{n,DC)|=-r=~~-j==-y-y

所以直线CD与平面PAC所成角的正弦值为等.

19.【答案】(1)解：设事件4为“从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用

该软件”，从被访问的100人中随机抽取2名，共有窗°。个基本事件，事件4共有以。个基本事件，

则PQ4)=/襦

c100

(2)解：由题意，X服从二项分布，且使用该软件的概率为盖=|,

则X〜6(10,|).

所以P(X=k)=傲x(|)Mx(|)i°-"(k=0,1,2,…，10).

kOA

k3一

cz

1oX(-X

x5

P(X=k)3(11—/c)cvcAn\

=k~~-(/c=0,1,2,…，10).

以t=P(X=J)=1ak-1711-k乙K

c笈x(|)x(1)

若t>1,则A<6.6,P(X=k)>P(X=k-1);

若t<1,则A>6.6,P(X=k)<P(X=k-1).

所以k=6时，P(X)最大.

20.【答案】(1)证明：由cos42，=2sin得cos与^cos^=Zsin^cos^，

由于A+B+C=n,则cos^=cosg-=sin写C.

rncossin=2sm工cos工=stnB-

所以,(sinA+sinC)=sinB,即sinA+sinC=2sinB.

由正弦定理得Q+c=2b

(2)解：由(1)得a+c=2b,

(a+c)?-2ac-623b23b2]

则cosB=荻一1二二^一1=不当且仅当Q=c=b时等号成

2ac2ac皿2(等)乙

立.

由于0<8<兀，则0<BW不

所以0<s)BW亨，

2

所以工_%cs讥BX竽sinB_包型旦，当且仅当。=c=b时等号成立.

,2-,2-,2-2-4

bbb

所以宗的最大值为冬

另法：由(1)得a+c=2b,

则

cosB=士孑=(也)二位23b2_1

2ac2ac亚彳一f当且仅当a=c=b时等号成

TT

由于WJO<B

所以。耳4，

所以0<tan?W*

由皿8=察1，得人力(1+cosB).

1.DD

所以,=2cLesinBn3sinB32sin2cos23B

-^=4Xl+^g=4X=4tan2^T-

2C052B

所以当的最大值为g

b4

21.【答案】⑴解：如图,

由F(4,0),设MQi，y1)，N(x2,y2),直线MN：x=ty+4，

代入3/—y2=i2,整理得：(3t2-l)y2+24ty+36=0,

由14；』0解得："(一冬,弟

由韦达定理：%+丫2=三聋，y/2=修彳，

DL—1DL—1

2

由|MF|=7(%1—4)+yf=2tyr+6,

同理，|NF|=2ty2+6.

1111

++

",■|MF|pVF|=2^+62ty2+6

索j

2七(%+为)+12

4产y22+129]+丫2)+36144产+泊+36

3产一1

_-12t2-12

为定值.

—36理一36

另法：由|MF|=7(xi-4)2+yl=Vt2+1M卜

2

同理，\NF\=Vt+l|y2|.

由于力当<°，不妨设yi>o，y2<0,

1,11z11二及》

则[ii?可十\NF\一向”及向力、2.

24t,、2_4x36_144(1+1)

由。2-%)2=(为+y)2-4yly2=(一

23t2-l'3t2-l一3t2-l

12Jt2+l

12>/t2+l

所以宓+向」____1*L=工为定值.

J*+173^36-13

2

(2)解：由题意：圆的方程为(X4］皿)2I®力啖及)_(勺-%2)2+仇一丫2)2

4

2

即%2+y-(%1+X2)X-01+y2)y+xxx2+yry2=0

由对称性可知：若存在定点，则必在久轴上

令y=0,有％2-(%]+%2)X+%62+=°

由(1)可知%1+%2=tQi4-y2)+8=3/：]

36户96产

31+4)(ty+4)=12yM+4t(y+y)+16

%1%2212---7-----------2------^16

3产一13/一1

一12产一16

3产一1

代入方程后有：/+久+吗纪=0,

3r-i3r-i

p

即-4)+城々(％+2)=0,

令即％=—2.故圆过定点(一2,0).

22.【答案】⑴解：当aj时，/(x)=1(l-^)-^+(x-l)2,/(%)的定义域是(0,+00),

则f'(x)=3-1谭”+2。-1)=誓+2(x-1).

当0<x<l时，/(x)<0：当％>1时，/(x)>0>

故/(x)的单调递减区间为(0,1)上，单调递增区间为(1,+oo)

(2)解：证法1：当0<a<断寸，j-l>1,

由于y=(x—l)2在(1,+8)上单调递增,

则1,+8)时，有(％—1)2>。—2)2.

11

要证/(%)>弓一2)2,只要证/(%)((%-1)2,%w/-l,+00),

只要证Q(1—妥)—之0,X6-1,+oo),

1

只要证a(%2—1)—Inx30,xG(公一1,+8),

、1

设