2021年北京某中学分校初二（上）期中数学试卷及答案解析

2021北京陈经纶中学分校初二（上）期中

数学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）

g

WH—))))］；

W-W-

A.N——^赵爽弦图B.费马螺线

o

C.科克曲线D.1O斐波那契螺旋线

2.（2分）下列计算正确的是（）

A.a3+a2=o'B.a3-a2-a5C.(tz2)3=a5D.a*+a?=a"

3.（2分）如图，NACO是&48c的外角,CE平分NAC。，若NA=60。，4=40。，则NEC。等于()

A

C.50。D,55。/

A.40°B.45°

，如图，能得出=的依据/。\/

4.（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角

BcD

是（）

二X

B,

A.（SAS）B.（S55）C.（ASA）D.（AAS）

5.（2分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相

等，凉亭的位置应选在（）

A

A.A4BC的三条中线的交点B.A4BC三边的中垂线的交点

C.AA8C三条角平分线的交点D.&4BC三条高所在直线的交点

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6.（2分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长

方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）

A.(a-b)2=a2-2ab+b1B.a(a-b)=cr-ab

C.(a-b)2=<r-b2D.a2-h2=(a+h)(a-b)

7.（2分）如图，已知为&48c边AB的中点，E在AC上，将AA8C沿着OE折叠，使A点落在BC上的F

处.若NB=65。，则NBQF等于（）

8.（2分）如图，在&4BC中，ZC=90°,ZB=30°,以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N,

再分别以M、N为圆心，大于IMN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长交8c于。，下列四个

2

结论：

①A。是N8AC的平分线；

②ZADC=60°；

③点力在A8的中垂线上；

④^tsACD：

SMCB=1：3

其中正确的有（）

A.只有①②③B.只有①②④C.只有①③④D.①②③④

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二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）计算：28*4丁+7%5=.

10.（2分）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携

带，但唯一的缺点就是没有固定的支点.为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图

所示的手机支架.把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的—.

11.（2分）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到。的过程中，通过隔离带的空隙P,刚

好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB//PM//CD,相邻两平行线间的距离相

等，AC,相交于P,垂足为。.已知CO=16米.请根据上述信息求标语AB的长度.

人行道

\一车行道

，"一"FM隔离带

车行道一—►

A-B人行道

人们对美好生活的向往就是我们奋斗的目标

12.（2分）己知点P（3,-l）,关于y轴的对称点的坐标是

13.（2分）若等腰三角形的顶角为30。，腰长为6,则此等腰三角形的面积为

14.（2分）如图，AABC=AADE,BC的延长线交D4于尸，交DE于G,ZD=25°,ZE=105°,

ND4c=16°,则NDGB=

15.（2分）如图，是某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分

析.在讨论中得到了NB=NC=60。，F、，都在线段BC上，EF//GH//AC,尸，//GF//AB的正确结

论.接着，小聪又提出了如下结论线路AfC与线路B-EfPfC一样长.请判断小聪

提出的结论正确吗？—（填"正确”或"错误”）.

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16.(2分)如图，已知四边形ABCZ)中，A8=12厘米，8c=8厘米，C£>=14厘米，NB=NC,点E为线段A8

的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点。在线段C£>上由C点向。

点运动.当点。的运动速度为一厘米/秒时，能够使A8PE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等.

三、解答题(本题共有68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分)

17.计算：(x-2)(x-5)-x(x-3).

18.计算：(8/—+5a~)+(2a)，.

19.因式分解：ax2-6ar+9a.

20.因式分解：a2(x-y)+(y-x).

21.如图，点8、F、C、E在直线/上(F、C之间不能直接测量)，点A、。在/异侧，测得=

AB!/DE,ZA=ZD.

(1)求证：\ABC^\DEF；

(2)若BE=1O,H,BF=3m,求FC的长度.

22.已知：如图，在等腰A4BC中，AB=AC,ZBAC=80°,A。平分NBAC,且4O=AE；求NEDC的度数.

23.已知3/-》-1=0,求代数式(2x+5)(2x-5)+2x(x-l)的值.

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24.如图，在AABC中，AB>AC>BC,尸为BC上一点(不与8,C重合).在A8上找一点M,在AC上找一

点N,使得AAMN与APMN全等，以下是甲，乙两位同学的作法.

甲：连接AP,作线投A尸的垂直平分线，分别交A8,AC于M,N两点，则M,N两点即为所求；

乙：过点P作RW//4C,交AB于点过点交AC于点N,则M,N两点即为所求.

(1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是—;

A.两人都正确

B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确

(2)选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明.

25.如图，在等边三角形48c中，AE=CD,AD,BE相交于点P,3QJ.4O于Q.

求证：(1)\ABE=\CAD^

(2)BP=2PQ.

26.阅读理解:

®32+42>2X3X4

(2)32+32=2x3x3；

(3)(-2)2+42>2X(-2)X4；

④(-5月+(-5>=2x(-5)x5

(1)观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律;

(2)运用你所学的知识证明你发现的规律；

(3)已知a+6=4,求ab的最大值.

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27.在等边三角形48c外侧作射线AP,N8AP=a，点8关于射线AP的对称点为点Q,连接C。交AP于点

E.

(1)依题意补全图形；

(2)求NAEC的度数；

(3)当0。<“<60。时，用等式表示线段4E,CD,DE之间的数量关系，并证明.

28.对于A48C及其边上的点P,给出如下定义：如果点M，M”例3，…，M“都在AABC的边上，且

PM,=PM2=PM.=...=PMn,那么称点M，％,My,此为AA8C关于点尸的等距点，线段2必，

PM?,PM,....PM„,为AABC关于点P的等距线段.

(1)如图1,AA8C中，ZA<90°,AB=AC,点P是8c的中点.

①点8,C—AABC关于点尸的等距点，线段PA,PB—AABC关于点P的等距线段；(填“是”或“不

是”)

②A4BC关于点P的两个等距点分别在边AB,AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出

线段尸腐，PM］；

(2)如图2,AABC是边长为4的等边三角形，点尸在BC上，点C,力是AABC关于点尸的等距点，且

PC=\,求线段。C的长；

(3)如图3,在RtAABC中，ZC=90°,NB=30。.点P在8c上，MBC关于点P的等距点恰好有3个，且

其中一个是点C.若BC=a,直接写出PC=—.(用含a的式子表示)

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2021北京陈经纶中学分校初二（上）期中数学

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

8、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【分析】根据合并同类项，同底数寨的乘法，塞的乘方与积的乘方，同底数嘉的除法，逐一进行计算即可判

断.

【解答】解：A.因为故A选项计算错误：

B.因为故B选项计算正确；

C.因为（/）3=/,故c选项计算错误；

D.因为/+/=/,故。选项计算错误.

故选：B.

【点评】本题考查了同底数基的除法，同底数塞的乘法，嘉的乘方与积的乘方，合并同类项，解决本题的关键

是掌握同底数罪的乘法，基的乘方与积的乘方法则.

3.【分析】根据三角形外角性质求出44c根据角平分线定义求出即可.

【解答】解：N4=60。,ZB=40°,

ZACD=ZA+ZB=100°,

CE平分ZACD,

ZECD=-ZACD=50°,

2

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键.

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4.【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用

SSS,答案可得.

【解答】解：作图的步骤：

①以。为圆心，任意长为半径画弧，分别交04、0B于点。、C；

②任意作一点0'，作射线O'8',以。为圆心，0C长为半径画弧，交。夕于点C，；

③以为圆心，C。长为半径画弧，交前弧于点。；

④过点。作射线04.

所以ZA'O'B'就是与NAOB相等的角；

作图完毕.

在AOCD与△0C。，

OC=O'C

■OD=O'D',

CD=CD'

△OCD=/\O'C'D(SSS),

ZA'O'B'=ZAOB,

显然运用的判定方法是sss.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形

全等的性质是正确解答本题的关键.

5.【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是AABC三条角

平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.

【解答】解：,,凉亭到草坪三条边的距离相等，

,•凉亭选择AA8C三条角平分线的交点.

故选：C.

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【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用.主要利用了到线段的两个端点的距离相等

的点在这条线段的垂直平分线上.

6.【分析】根据面积相等，列出关系式即可.

【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，

a2-b2=(a+h)(a-b),

故选：D.

【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为

6的小正方形是解此题的关键.

7.【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD=OF,根据等边对等角的性质可得NB=NBFQ,再根据三角形

的内角和定理列式计算即可求解.

【解答】解：•.•△OEF是ADEA沿直线。E翻折变换而来，

AD=DF,

。是AB边的中点，

AD=BD,

BD=DF,

/B=NBFD,

NB=65°,

.../BDF=180°-ZB-/BFD=180°-65°-65°=50°.

故选：B.

【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答

此题的关键.

8.【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可.

【解答】解：根据作图方法可得AO是N8AC的平分线，故①正确；

ZC=90°,ZB=30°,

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...Z.CAB=60°，

・・・A。是NB4c的平分线，

/.ADAC=NDAB=30°,

ZADC=60°,故②正确；

・.・ZB=30°,Z.DAB=30°,

AD=DB,

.•.点。在A3的中垂线上，故③正确；

­.•ZCAD=30°f

:.CD=-AD,

2

,:AD=DB,

:.CD=-DB,

2

:.CD=-CB,

3

S“cD=gcD-AC,S^CB=gc8•AC,

^AACD:S故cii=1：3，故④正确，

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的性质得出

ZDAC=/DAB=30°是解题关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可.

【解答】解：28//^7?y=4^,

故答案为：4xy.

【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是单项式除以单项式的法则，在计算时要注意系数和指数的变

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化.

10•【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可.

【解答】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，

故答案为：三角形的稳定性.

【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性.

11.【分析】由AB//CD,利用平行线的性质可得NABP=NC£)P,利用ASA定理可得，\ABP=\CDP,由全等

三角形的性质可得结果.

【解答】解：；AB//C。，

:.ZABP=ZCDP,

PDLCD,

NCDP=90°,

:.ZABP=90°,BPPBVAB,

■：相邻两平行线间的距离相等，

PD=PB,

在AABP与XCDP中，

'NABP=ZCDP

■PB=PD,

ZAPB=ZCPD

...△A3尸三AC。尸(ASA),

:.CD=AB=\6(米)，

故答案为：16米.

【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键.

12•【分析】根据关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特征解决问题即可.

【解答】解：点尸(3,-1),

.,.点P关于y轴的对称点的坐标是(-3,-1),

故答案为:(-3,-1).

【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等.

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13.【分析】过点8作BOL4C于点根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求得8。=3,然

后利用三角形面积公式解答即可.

【解答】解：如图所示，过8作BE>_LAC于。,

•/ZA=30°,AB=6,

:.BD=-AB=3,

2

S..=—ACxBD=—x6x3=9,

MBRCr22

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30。角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30。角所对

的直角边等于斜边的一半.

14•【分析】根据全等三角形对应角相等可得NAC8=NE,再求出N4CF,然后根据三角形的内角和定理列式计

算即可得解.

【解答】解：=

ZACB=ZE=]05°,

ZACF=180°-105°=75°,

在AACF和ADG产中，ZD+ZDGB=ZDAC+ZACF,

B|J25°+ZDGB=16°+75°,

解得NDGB=66°.

故答案为：66°.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键.

15.【分析】由N2=NC=60。，即可推出AA2C为等边三角形，再根据平行线的性质，即可推出ABE尸、

△FGH、A//PC均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质，即可推出线路BrAfC与线路

BrETFTGfHTPfC一样长.

【解答】解：正确，

理由：•••NB=NC=60。，

/.ZA=60°

AABC是等边三角形，

又、：EF//AC,

NEFB=NC=60。,

ZB=60°,

NBEF=60°,

，△麻下是等边三角形.

同理可证△FGH、是等边三角形；

\BEF、\FGH、\HPC都是等边三角形，

:.BE+EF=2BF,FG+GH=2FH,HP+PC=2HC,

BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC,

又；AABC是等边三角形，

AB+AC=2BC,

AB+A.C=BE+EF+FG+GH+HP+PC,

线路BfA->C与线路BTETFTGTHTPTC一样长.

故答案为：正确.

【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质

是解题的关键.

16•【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点。的运动速度.

【解答】解：设点P运动的时间为f秒，则BP=3r,CP=8-3r,

•«-ZB=ZC,

:.①当BE=CP=6,8P=CQ时，ABPE与XCQP全等,

此时，6=8-3/,

13/22

解得智'

;.BP=CQ=2,

此时，点。的运动速度为2+：2=3厘米/秒；

②当BE=CQ=6,BP=CP时，ABPE与&CQP全等,

此时,3r=8-3/,

解得?，，

3

4a

.•.点Q的运动速度为6+厘米/秒：

a

故答案为：3或

2

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等.

三、解答题(本题共有68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分)

17.【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得.

【解答】解：原式=x2-5x-2x+10-f+3x

=-4x+10,

故答案为：-4x+10.

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘

另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

18.【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

【解答】原式=(8/-4/6+5/)+4/

=8/+4/-4a/+4/+5黯+4储

一

=2a—h,+5—.

4

【点评】本题考查多项式除以单项式.多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后

再把所得的商相加.

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19•【分析】原式提取公因式°,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=a(d-6x+9)

=a(x-3)2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

20•【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=/(x-y)-(x-y)

=(x-y)(a2-1)

=(x-y)(a+l)(a-l).

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

21.【分析】(1)先证明NA8C=/£>",再根据ASA即可证明.

(2)根据全等三角形的性质即可解答.

【解答】(1)证明：:A8//OE,

在AABC与\DEF中

,NABC=NDEF

-AB=DE

ZA=ZD

\ABCsADEF(ASA)：

(2)<,■SABC=\DEF,

BC=EF,

：.BF+FC=EC+FC,

BF=EC,

,BE=10/w,BF=3m,

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FC=1O-3-3=4/M.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条

件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型.

22.【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到NAOC=90。，根据角平分线的性质得到ND4E=40。，再根据等

腰三角形的性质和三角形内角和定理得到NAZ)E=7()。,再根据角的和差关系求得NEZJC的度数.

【解答】解：AB=AC,AC平分NBAC,

ADIBC,^ADC=90°,

ZBAC=80°,

ZDAE=-ABAC=40°,

2

AD=AE,

NADE=70°,

ZEDC=90°-70°=20°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质、角平分线的性质和三角

形内角和定理.

23.【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值

即可.

【解答】解：原式=4--25+2/-2》=6』_2犬-25,

,/3x2-x-1=0,

3x2-x=1.

原式=2(3x?-x)-25=2xl-25=-23.

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺

序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.

24•【分析】(1)结论两人都是正确的.

(2)根据全等三角形的判定分别证明即可.

【解答】解：(1)两人都正确，

故选A.

(2)甲：如图1中,

16/22

图1

vMN垂直平分线段24,

MA=MPfNA=NP,

在A4MN和"MN中，

MA=MP

<NA=NP,

NM=NM

AAMN=APMN(SSS).

乙：如图2中，

•;PM/1AC,PN//AB,

/.四边形AMPN是平行四边形，

/.AM=PN,PM=AN,

在A4MV和APMN中，

AM=PN

<MN=NM,

AN=PM

:.^AMN^\PNM(SSS).

【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题.

25•【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

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(2)先由全等三角形的性质和三角形外角的性质求得N8PQ=60。，得NP8Q=30。，再由“30度角所对的直角

边是斜边的一半''即可得出结论.

【解答】证明：(1)•「AA3C为等边三角形，

/.AB=CAtZBAE=ZC=60°,

在AABE与ACAD中，

AB=CA

<ZBAE=ZC,

AE=CD

:.AABE^ACAD(SAS)；

(2)由(1)知，\ABE\CAD,

/.ZABE=ZCAD,

/.NBAD+乙ABE=/BAD+ZCAD=NBAC=60°,

Z.BPQ=/BAD+ZABE=60°,

•.BQLAD,

NPBQ=30°,

/.BP=2CQ.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；

熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

26.【分析】(1)观察各式，即可得出规律：如果〃、匕是两个实数，则有

(2)根据完全平方的计算结果是非负数证明即可；

(3)根据规律可得而」m+份2.

4

【解答】解：(1)规律是：如果。、。是两个实数，则有"+从2ah.

(2)*：(a-b)20,

ci~—2ab+b~0,

a2+b22ab；

(3)Ya2+及2ab,

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:.(a+b)2-lablab,

(a+b)2>4ab,

11

ab—(a+bf)9=—x16=4.

44

故"的最大值是4.

【点评】此题主要考查了实数的大小的比较以及数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方

公式的变形：因为(a-。)?0,所以储

27•【分析】(1)依题意补全图形；

(2)由等腰三角形的性质可求NAOC的度数，由外角性质可求解；

(3)由“AAS”可证A3CG二ADAE,可得AE=CG,即可求解.

【解答】(1)解：如图，补全图形：

(2)解：如图，连接

由对称可知，NBAE=NDAE=a,

;AD=AB=AC,

ZAEC=60°,

vZACB=60°,ZACD=ZADC=60°-a,

/.Z.BCE=a,

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ZABC=60°,/ABE=ZADC=60°-a，

/.NBEC=60°,

/.NAEC=NBEC；

(3)当0。＜小＜60。时，CD=2DE+AE,理由如下:

如图，在CO上截取8G=6E,

/BEC=60°,

ABGE是等边三角形，