高一年级上册数学人教版（2019）必修第一册-对数函数能力探究+讲义

《对数函数》能力探究

概括理解能力、分析计算能力对数型函数的定义域的求解策略

对数型函数是考查定义域问题的重点函数，求对数型函数的定义域主要从以下几方面考虑:

(1)真数大于0.

(2)底数大于0,且不等于1.

(3)分式中的分母不等于0.

(4)偶次根式中被开方数大于或等于0.

(5)指数为0的幕的底数不等于0.

(6)根据底数的取值确定函数的单调性.

典例1[数学运算、逻辑推理]函数/。)=屈司+吆江二型2的定义域为()

x-3

A.(2,3)

B.(2,4]

C.(2,3)u(3,4]

D.(-1,3)53,6]

解析:求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题，进行推理、运算.本题根据偶次根

式下被开方数非负、对数函数的真数大于0,分式中的分母不等于0列不等式，解不等式得函数

定义域.具体解题过程如下:由/_51+6得1~-5故函数的定义域为(2,3)53,4].

--------------->0x>2且x。3,

I%-3

答案:C

分析计算能力对数型函数的值域与最值的求解策略

1.求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值),一般是根据单调性进行求解，若

需要换元，需考虑新元的取值范围.

2.对于形如y=log,,/(%)(«>0,且aN1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

(1)分解成丁=108“",〃=/0)两个函数；

(2)求/(x)的定义域;

(3)求“的取值范围；

(4)利用y=log“u的单调性求解即可.

典例2［逻辑推理、数学运算］设20,且x+2y=L求函数z=log］(8肛+4y2+1)的最大

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值与最小值.

解析:求函数的最值时，注意定义域对它的影响，再结合函数的单调性进行分析、计算和逻辑推理,

具体解题过程如下：

111门、(］Y5

x+2y=—y=------x,设p=8xy+4y2+1=4x——x+——x+1=-3x2+x+--

-2-42(2J(2J4

+—,X^>0,y>0,x+2y=—-x=2y>0,BPx<—,0<x<—,1<.又因

(6)322223

为z=log〕p是关于p的减函数，因此，函数z=log1(8孙+4/+1)的最大值是log।1=0,最小值

222

是1明~•

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分析计算能力、推测解释能力对数式的比较方法

1.单调性法:比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数，明确所给的两个值是哪

个对数函数的两个函数值,底数与1的大小关系,利用对数函数的单调性比较大小.

2.中间量法:比较不同底数对数的大小，常借助于中间值0进行比较，利用口诀“同大异小”判

断对数的符号;对于对数bg“x和x均与1比较大小，当。和x都同大于(小于)1时』og“x>0,否则

log“x<0.

3.分类讨论法:比较同底数(不是具体的数值)的对数大小,构造对数函数，分类讨论对数函数

的底数与1的大小关系,利用对数函数的单调性比较大小.

4.比较多个对数式的大小,则应先根据每个对数式的结构特征，以及它们与中间量“0”和T

的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可.

5.比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意

挖掘所给对数式的隐含条件.

典例3［逻辑推理］(1)(2018黑龙江哈尔滨三中高一检测)已知/(x)=log3X,则下列函数值的大

小关系是()

AJ(小d扑/⑵

信上/⑵

(2)(2019山东青岛二中期末)三个数a=703,b=0.37,c=In0.3的大小关系是()

A.a>b>c

B.a>c>h

C.b>a>c

D.c>a>b

一<1V

(3)(2019山东曲阜期末考试)已知实数。=k)g23/=—,c=k)go.32的大小关系是()

k.b<c<a

B.b<a<c

C.c<a<b

D.c<h<a

解析:本题主要运用逻辑推理、分析计算和对数式的比较方法解题,具体解题过程如下：

(1)7函数/(X)=log,x的图象单调递增,二(g)</⑵.

(2)Va=703>1,0</?=0.37<l,c=ln0.3<0,

・.(iY

(3):a=log23>log22=l,Z?=l—I=l,c=log032<log03l=0,:.c<b<a.

答案:(1)B(2)A(3)D

分析计算能力对数不等式的三种考查类型及求解方法

1.形如logflX>logwb的不等式，借助y=log“x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分

a>1与0<a<1两种情况进行讨论.

2.形如log“x>b的不等式,应将力化为以。为底数的对数式的形式仅=log〃a"),再借助

y=log“无的单调性求解.

3.形如log/⑴a>log产«(/(%),g(x)>0,且均不等于1,«>0)的不等式,可利用换底公式化为

同底的对数进行求解，或利用函数图象进行求解.

典例4[数学运算]解不等式:log2(2，-l”og2(2，M-2)<2.

解析:解对数不等式的关键在于不等式变形，然后利用对数函数的单调性求解运算.具体解题过

程如下：

原不等式可化为Iog2(2=l){log2(2x-1)+1]<2,即

2

[log2(2'-l)]+log2(2'-l)-2<0,.\-2<log(2'—1)<1,即；<2、一1<2,.弓<2*<3,.\原不等

式的解为1|log2<X<log231.

综合问题解决能力对数型复合函数单调性的求解策略

1.对数型复合函数一般可分两类:一类是对数函数为外函数，即y=log〃/(x)(a>0且。声1)

型;另一类是对数函数为内函数，即y=〃log“x)(a>0月.arl)型.

2.对数型复合函数单调性的求解策略

(1)确定函数的定义域.

(2)判断函数在定义域上的单调性.

(3)结合底数a>1或0<a<1确定函数的单调性.

函数y=k>g/(a>0,且a。1)的单调性函数y=log"/(x)(a>0,且a声1)的单调性

f=/(x)在O,")上单调递增，则y=log“/(x)

当a>1时，函数y=log„t在(0,+oo)上单调

在(加,〃)上单调递增;f=/(x)在(p,q)上单调

递增

递减，则y=logJ(x)在(p,q)上单调递减

当0<a<1时，函数y=log。t在(0,+oo)上f=/(x)在(加,〃)上单调递增，则y=log“/(x)

单调递减在(加,〃)上单调递减"=/(x)在(p,q)上单调

递减，则丁=108“/*)在(〃，4)上单调递增

典例5［数学运算、逻辑推理］(1)(2019山西阳泉统考)已知函数/(x)=alog2X+Rog3X+2,且

/［薪J=4,则.”2019)的值为()

A.-4

B.-2

C.0

D.2

(2)设函数/(%)=111(1+；0-111(1-幻,则/(幻是()

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数

B.奇函数，月.在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数

D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

解析:本题综合了对数函数、其他常用函数的奇偶性、单调性等知识，进行综合运算和步步推理.

具体解题过程如下:

(1)/W+/lUlog2x+Mog3x+2+«log2l+Mog3l+2=4,.../(2019)+/m=4

=4,.'./(2019)=0.

⑵由题意得，函数/(%)定义域为(