基本不等式-2021年新高考数学一轮复习

基存系等式

【命题解读】

基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用

基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵

扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。

【命题预测】

预计2021年的高考对于基本不等式的考察还是和往年一样，变化不是很大，主要集中

在应用上。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解基本不等式以及几个重要的不等式；

2.掌握基本不等式求最值等方面的应用。

考向一基本不等式

1.基本不等式欣等

(1)基本不等式成立的条件:a>o,b>0.

⑵等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

2.几个重要的不等式

(1)〃2-^-b2>2ab(a,bRR).

(2)5+食2mb同号).

(3)°后(⑶2(mbGR).

(4)(早)2驾4，beR).

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>Q,则a,b的算术平均数为一，几何平均数为面，基本不等式可叙述为：两个

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x＞0,y＞0,则

（1）如果积孙是定值p,那么当且仅当4y时，x+y有最小值，是2A历（简记:积定和最小）.

⑵如果和x+y是定值P，那么当且仅当x=y时，孙有最大值，是《（简记:和定积最大）.

典例剧折

1.若实数。，b满足。匕＞0,则。2+〃+二一+1的最小值为（

)

2ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因为Clb>0,则1+ZrH-----F1..2abH-----卜1..2*]2ab.----1-1=3,

2ab2ab\lab

1、历

当且仅当2a匕=——且。=〃时取等号，即q=/?=注时取等号，

2ab2

此时取得最小值3.

故选：B.

2.【2020甘肃省高三其他（理）】若圆（x-2）2+（＞-=5关于直线

21

ax+加-1=0（。＞0力＞0）对称，则一+一的最小值为（）

ab

A.4B.472C.9D.972

【答案】C

【解析】由题意知圆心（2,1）在直线以+勿-1=0上，则2a+b=l.又因为。＞0力＞。，

所以2=竺+*+5..9,当且仅当竺=学时，即a=b=，时

ab\ab）abab3

取等号，

此时，[2+:]=9

U切min

故选c

3.12020河北易县中学高三其他】已知加，〃是函数〃x）=gx3—x?+取（a＞0）的两

41

个极值点，则一+一的最小值为()

mn

95

A.—B.9C.5D.

22

【答案】A

【解析】由题可知/'(力=必—2x+a(a>0).

因根，〃为函数〃力的两个极值点，

所以加+川=2,mn=a>0,故相>0,n>0,

又A=4—4a>0,则且0<。<1

41If41V、1<m

所以一+一二7一+—(加+〃)二75+一

mn2\mn)2\nm)

当且仅当m一=—4〃,即加=4;,〃=2—时取得最小值Q一.

nm332

8

此时。=mn=—,符合条件.

9

故选A

考向二基本不等式应用

L基本不等式与函数相结合，在函数中的应用;

2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。

典例剧新

1.12020浙江省单元测试】已知不等式(x+y)-+-29对任意实数X、y恒成立,

Uy)

则实数。的最小值为()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

c1、

/\Iaaxy«

【斛析】•「(x+y)—1—=---1---Fa+l.

Vxy)yx

v6zxy

若孙＜0,则上＜0,从而一+上+〃+1无最小值，不合乎题意;

%y%

若孙＞0,则上＞o,-＞o.

%y

_axy

①当。＜0时，---I'J+a+l无最小值，不合乎题意；

yx

依']、

②当a=0时，—+—+«+1=—+1＞1,则(x+y)—+—29不恒成立;

'xxy)

③当a＞0时，

x1aaxy«一

(zx+y)—d--=----1----l-a+1＞2

Vxy)yx

当且仅当＞=G》时，等号成立.

所以，(6+1『29,解得。之4,因此，实数a的最小值为4.

故选C.

2.12020湖南省雅礼中学月考[函数/0)=1+108°•¥(。〉0,。彳1)的图像恒过定点4,

若点4在直线mx+胡一2=0上，其中/削＞0,则工+工的最小值为()

mn

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意可得函数/'(x)=1+logflx(a〉0,aw1)的图象恒过定点A(l,l),

又点4在直线mx+〃y-2=0上，加+〃=2,

.1111I、,nm.八几m一

・・—F—=—(——F—)(m+n)x=Id-----H-----＞1+2./—x——=2,

mn2mn2m2nV2m2n

rim

当且仅当一=—,即加=〃=1等号成立，

2m2n

所以—।—的最小值为2.

mn

故选B.

金检测训练

题组一(真题在线)

1.[2020年高考江苏】已知5x12/+/=1(尤,yeR),则%2+y2的最小值是

11Q

2.【2020年高考天津】已知a>0,b>0,且ab=l,则+——的最小值

2a2ba+b

为.

3.【2020年新高考全国I卷】已知a>0,b>0,且a+》=l,则

A.2+b2>-B.2a-b>-

a22

C.log2a+log2b>—2D.&+扬<>/2

(x+l)(2y+l)

4.【2019天津高考理科】设x>0,y>0,x+2y=5,则而的最小值为

5.12017山东高考】若a泌>0,且油=1厕下列不等式成立的是()

1I)匕1

A.a+-<—<log2(o+b)B.—<log2(a+b)<a+-

1匕1b

c.a+-<log2(a+b)<—D.log2(a+b)<a+-<—

6.12018天津卷】已知a,bGR,且a-38+6=0,则2"+3的最小值为.

7.【2019年新高考全国I卷】已知。，"c为正数，且满足abc=l,证明：

(1)—+-+-<«2+b2+C2

abc

(2)(«+Z?)3+(/7+c)3+(c+«)3>24

题组二

1.12020河北省正定中学高三质量检测数学】圆好+/+4》-6丁+1=0关于直线

32

依一力+8=0(〃>0力>0)对称，则一+一的最小值是

ab

A.276B.3C.—D.面

2.12020浙江省高一单元测试】已知不等式（%+y）-+-29对任意实数X、y恒成

Uy）

立，则实数4的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

3.【2020山东省高三其他】在三棱柱A3C—4与。1中，AB=5C=AC,侧棱A4，底

面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球。的表面上，且球。的表面积的最小值为

4万，则该三棱柱的侧面积为（）

A.66B.38C.3行D.3

4.12020浙江省单元测试】已知函数丁=%+工+1。<0）,则该函数的（）.

x

A.最小值为3B.最大值为3

C.没有最小值D.最大值为-1

5.12020河北易县中学高三其他（理）】已知函数/（x）=|x+l|-|x-2|.

（1）求不等式/（无）21的解集；

（2）记九）的最大值为相，且正实数a,b满足^^+^^=相，求。+人的最小

值.

6.【2020河北省衡水中学高三三模（理）】已知函数/（力=麻-3|,不等式的

解集为{x|lVxV5}.

（1）解不等式/（x）<2〃x+l）—l；

⑵若m23,n>3,f（m）+f（w）=3,求证：—+—>1.

mn

事答案解析

题组一

4

1.y【解析】V5x2r+/=l

…。且x”

41,,即人㈠J.

丁当且仅当歹

2

时取等号f+y2的最小值为1..

4

故答案为g.

-,一八7八7八118abab8

2.4【解析】a>0,b>0,「.a+b>0,ab=1,-----1------1--------=------1------1--------

2a2ba+b2a2ba+b

=£±^+_§_>2l±^x-^-=4,当且仅当a+b=4时取等号，

2a+bv2a+b

结合ab=l,解得a=2—6力=2+6，或a=2+石/=2—石时，等号成立.

故答案为4

3.ABD【解析】对于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2a2—2a+l=+g2g'

当且仅当a=b=!时，等号成立，故A正确；

2

对于B,a-b=2a-l>-l,所以2"一">2一1=!，故B正确；

2

-

对于C,log2a+log2b=log2ab<log2]？J=1°§2--2,

当且仅当a=b=工时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为(6+扬)=1+2y[ab<l+a+b-2,

所以JZ+JFw、历，当且仅当a=b=g时，等号成立，故D正确;

故选ABD.

(x+l)(2y+1)_2xy+x+2y+l

4.4币【解析】

x>0,y>0,x+2j=5,xy>0,.,.

2xy+6>2-2yl3y/xy

=4百,

而

当且仅当孙=3,即x=3,y=1时成立,

故所求的最小值为46。

5.B【解析】利用特殊值法检验排除，当。=2力甘时，选项A,C,D对应的不等式不成立，故选B.

6.i【解析】由已知得a-3g6,由基本不等式得2"+於所=M当且仅当-3/=1时

取等号.

7.【解析】(I)*cibc—I,—I----1—=be+etc+ctb.

abc

A2+r2+22J2

由基本不等式可得：bc<^—^-,ac<^—^-.ab<^—^-

222

十日，曰却111^b^+c1a2+C1a1+b2,

于是得到一+—+-<------+-------+-------=/2+/2+/2

abc222

3

(2)39

由基本不等式得到:a+b>14ab=>(tz+b)>S(aby

33

b+c>2y[bcn(b+c)3>8(/?c)^yc+a>2y[ac(c+tz)3>8(tzc)^,

于是得到

333333

(〃+6)3+(。+c)3+(c+a)3>8[(Q。)'+(Ac)"+>8x3v{aby(Z?c)^(ctz)二24

题组二

LB【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为C(-2,3),而直线经过圆心，所以

一2〃一3人+8=0,

得2〃+3力=8,因为。＞0力＞0,

371/32、1/9b4a、319b4a

所以—+—=—x(2〃+3b)x—+—=-x12+—+—>—+—x2./—x-=3,

ab8')I。b8Iab,28ab

故选B.

(1

1a、axy1

2.c【解析】；(x+y)—+—=——+—+a+l.

Uy)yx

v6zxy

若孙＜0,则上＜0,从而一+上+〃+1无最小值，不合乎题意;

%y%

若孙>0,则上>o,->o.

%y

_axy

①当。＜0时，---I'J+a+l无最小值，不合乎题意；

yx

依']、

②当a=0时，—+—+«+1=—+1＞1,则(x+y)—+—29不恒成立;

'xxy)

③当a＞0时，

x1aaxy«一

(zx+y)—d--=---1---l-a+1＞2

Vxy)yx

当且仅当＞=G》时，等号成立.

所以，(6+1『29,解得。之4,因此，实数a的最小值为4.

故选C.

3.B【解析】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为。「02,则OQ的中点为0,

设球。的半径为R,则。4=R,设AB=5C=AC=a,AAl=h,

则。。2』，02A=2x走A5=旦，

-22323

22222

则在R/ZXOaA中，7?=0A=(9O；+O2A=-h+-a>2x-hx^-a=—ah,

43233

当且仅当人=立4时，等号成立，

3

所以5球=4%R2>4TTXah>所以，个""=4兀,所以。/?=6，

所以该三棱柱的侧面积为3Q/Z=3A/3-

故选B.

4.CD【解析】Qx<0,.,・函数

y=X+-+1=-(―尤)+,+1„-2j(-X)-^—+l=-l,当且仅当X=—l时取等

x(-x)Jy(-x)

号，..・该函数有最大值-1.无最小值.

故选CD.

4

5.(1)[1,+8)；(2)-【解析】(1)当x»2时，/(x)=x+l—(x—2)=321恒成

立，x>2,

当一1W无<2时，/(x)=x+l+x-2=2x-l>l,解得lVx<2,

当x<—1时，/(x)=—(x+l)+x—2=-321不成立，无解，

综上，原不等式的解集为[1,y).

(2)