第5讲一次方程（组）及其应用（讲义）（原卷版）-2024年浙江中考数学一轮复习学案

第二单元方程（组）与不等式（组）第5讲一次方程（组）及其应用课标要求课标要求1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程组等相关概念，理解等式的性质，并能应用等式的性质进行等式变形。2.掌握解一元一次方程的步骤，能够运用代入或加减消元法解二元一次方程组，理解方程（组）的解的意义。3.会应用方程（组）解决生活实际问题，掌握列方程（组）解应用题的一般步骤。备考指南备考指南考点分布考查频率命题趋势考点1等式的基本性质☆一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．考点2一次方程（组）的概念☆考点3一次方程（组）的解法☆☆考点4一次方程（组）的应用☆☆☆知识网络知识网络知识清单知识清单1．一次方程（组）的相关概念：(1)方程是指含有未知数的．(2)只含有未知数，并且未知数的指数是，这样的方程叫做一元一次方程．（3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程.(4)二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有的方程组，叫做二元一次方程组．(5)方程的解：使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解．2.等式的性质：（1）等式的两边都加上(或减去)，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘或都除以，所得结果仍是等式．3．解一元一次方程的步骤：(1)：在方程两边都乘各分母的，注意不要漏乘．(2)：注意括号前的系数与符号．(3)：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要．(4)：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝eq\f(b,a)．4.解二元一次方程组的一般方法解二元一次方程组的基本思想是消元，有消元法与消元法，还有一种常用的解法是换元法．(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解.（2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解.5．一次方程（组）的应用：列方程组解应用题的步骤：①；②；③找出能够包含未知数的；④列出；⑤；⑥．深度讲练深度讲练■考点一等式的基本性质►

典例1：（2023•阳谷县三模）在下列式子中变形一定正确的是（）A．如果2a＝1，那么a＝2 B．如果a＝b，那么 C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a﹣b+c＝0，那么a＝b+c【变式训练】1．（2023•衢江区三模）已知a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．5a＝5b B．a+4＝b+4 C．b﹣2＝a﹣2 D．2．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）■考点二一次方程（组）的相关概念►

典例2：1．（2023•安吉县一模）已知3是关于x的方程2x﹣a＝1的解，则a的值为（）A．﹣5 B．5 C．7 D．﹣72．（2022•上城区一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（）A．B．C． D．【变式训练】1．（2021•杭州一模）已知﹣2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝．2．（2021•凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为．3．（2023•舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为．■考点三一次方程（组）的解法►

典例3：1．（2023•杭州一模）解方程：．2．（2021•嘉兴二模）解方程组：．小海同学的解题过程如下：判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【变式训练】1．（2023•温州一模）将方程去分母，结果正确的是（）A．3（x+3）+6＝2（x﹣2） B．3（x+3）+1＝2（x﹣2） C．3x+3+1＝2x﹣2 D．3x+3+6＝2x﹣22．（2023•浙江模拟）以下是欣欣解方程：的解答过程：解：去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1；……①去括号：2x+2﹣6x+3＝1；…………………②移项，合并同类项得：﹣4x＝﹣4；………………③解得：x＝1．…………④（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）（2）请你完成正确的解答过程．3．（2022•台州）解方程组：．■考点四一次方程（组）的应用►

典例4：1．（2023•龙游县一模）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是元．2．（2023•浙江模拟）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）A12001350B10001200（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？【变式训练】1．（2023•余姚市二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是（）A．4x+2（35﹣x）＝94 B． C．2x+4（35﹣x）＝94 D．2．（2023•柯桥区一模）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜场．3．（2022•椒江区二模）李师傅从杭州驾车到椒江办事，汽车在高速路段平均油耗为6升/百公里（100公里油耗为6升），在非高速路段平均油耗为7.5升/百公里，从杭州到椒江的总油耗为16.5升，总路程为270公里．（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；（2）若汽油价格为8元/升，高速路段过路费为0.45元/公里，求此次杭州到椒江的单程交通费用（交通费用＝油费+过路费）．真题演练真题演练1．（2022•下城区二模）下列说法正确的是（）A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若a＝b，则ac2＝bc2 C．若＝，则a＝b D．若ac2＝bc2，则a＝b2．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（）A． B． C． D．3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x4．（2021•苍南县模拟）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2023•钱塘区三模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+96．（2023•绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（）A．B．C． D．7．（2023•镇海区校级一模）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C． D．8．（2023•丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为．9．（2023•长兴县校级一模）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一个解是，则a＝．10．（2021•浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．11．（2021•温州三模）某商品的买入价为a元，出售价为50元，则毛利率为p＝（0＜a＜50）．若用p的代数式表示a＝．12．（2022•黄岩区一模）方程组的解是．13．（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为里/小时．14．（2021•萧山区模拟）设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝．15．（2021•余杭区二模）已知x＝﹣2是关于x的方程（1﹣2ax）＝x+a的解，求a的值．16．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．（2）写出你的解答过程．17．（2023•台州）解方程组：．18．（2021•台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．19．（2023•金华模拟）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形ABCD，已知EF＝EG＝1，最小正方形的边长为x．（1）用x的代数式表示AB，BC的长；（2）若阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，求x的值．20．（2023•瓯海区一模）如何分配工作，使公司支付的总工资最少素材1某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．素材2经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两