专题02平方根重难点题型专训（9大题型15道拓展培优题）（原卷版）

专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优题）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一：平方根、算术平方根1.（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．3.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【例1】（2023秋·安徽芜湖·八年级校考开学考试）下列说法正确的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是【变式训练】1．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）若2023的两个平方根是和，则的值是（

）A．0 B．2023 C． D．40462．（2022秋·浙江·七年级期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是．3．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）阅读与理解阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值．我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一节课的探究学习片断：步骤一：再探公式，猜想规律，，．发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存在“知二求三”的一般性规律呢？步骤二：推导变形，得出公式由可得，．由也可得______，______．综合这两个公式还可得出：______，______．进一步综合变形推导可得：或（依据是______）或，同理可得：求的公式为______．步骤三：迁移运用，提升能力若，，请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求，，的值．【经典例题二求一个数的算术平方根】【例2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022上·广东河源·八年级统考期中）已知，那么下列结论正确的是（）A． B．C． D．2．（2023下·山西吕梁·七年级校考期中）若与的和是单项式，则的算术平方根是．3．（2024上·湖南衡阳·七年级校考期末）已知的平方根为，且的平方根为，求的算术平方根．【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）关于代数式的说法正确的是（

）A．时最大 B．时最小C．时最大 D．时最小【变式训练】1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知，满足，则的值是（）A． B． C． D．2、（2023上·湖南株洲·八年级校联考期末）若实数，满足，则．3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知：，求：的平方根．【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【例4】（2022春·山东日照·七年级校考期末）关于“”，下面说法不正确的是（）A．它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数B．它是一个无理数C．若a<<a+1，则整数a为3D．它表示面积为10的正方形的边长【变式训练】1．（2023上·辽宁辽阳·八年级阶段练习）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值是（）A． B． C． D．2．（2023上·安徽宿州·八年级统考期末）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n2=．3．（2022下·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；【经典例题五与算术平方根有关的规律探究题】【例5】（2021秋·广东茂名·八年级校联考期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022下·贵州遵义·七年级统考期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．， B．， C．， D．，2．（2023下·北京丰台·七年级北京丰台二中校考期中）数学解密：若第一个式子是，第二个式子是，第三个式子是，…，观察以上规律并猜想第五个式子是．3．（2023下·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）阅读下面材料，解答问题：【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动___________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位；(2)已知，请运用、上述规律直接写出各式的值：___________，___________．(3)你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．【经典例题六求一个数的平方根】【例6】（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知，则的平方根是（

）A．2 B． C． D．【变式训练】1．（2024上·辽宁辽阳·七年级统考期末）若，，且，则（

）A．1或7 B．或 C．或7 D．1或2．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）若，则的平方根是．3．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期中）已知实数，满足，求的平方根．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【例7】（2023春·山西大同·七年级大同市第三中学校校考期末）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【变式训练】1．（2021上·四川乐山·八年级统考期末）已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（

）A．1或9 B．3 C．1 D．812．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）若一个正数a的两个平方根分别是和，那么a等于．3．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）解答下列问题：(1)已知a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，，求的值；(2)已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根．【经典例题八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江苏南京·七年级校联考期中）若，，则的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【变式训练】1．（2023下·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或32．（2023上·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）在实数范围内定义一种运算“※”：※，按照这个规则，的结果刚好为0，则x的值为．3．（2023下·福建福州·七年级校考期中）已知正实数x的两个平方根是m和．(1)当时，求m；(2)若，求x的值．【经典例题九平方根的应用】【例9】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的总面积为m，小正方形的面积为n．若用x、y表示长方形的两边长（），请观察图案，指出下列关系式：①、②、③、④若，则．这四个结论中正确的有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍2．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为．3．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为cm．【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是，设这个圆的周长为，这个正方形的周长为，则（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一块面积为的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【重难点训练】1．（2024下·全国·七年级假期作业）已知，则的平方根是（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川达州·八年级校考期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（

）A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤3．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（

）A．11 B．10 C．6 D．54．（2023下·湖北黄石·七年级统考阶段练习）设，，，…，，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图1，一个边长为5的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形的四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形．对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（

）结论I：若阴影小正方形的边长为2，则大正方形的边长为；结论Ⅱ：若大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长是A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对6．（2024上·甘肃酒泉·八年级统考期末）若x，y为实数，且，则=.7．（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．8．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为．（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为．9．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）中国古代有一种求算数平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设N为被开方数，a为首根，b为次根，若将根记为，则．以为例：（1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；（2）估首根a：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；（3）估次根b：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；（4）重复如上操作．则的算术平方根为．10．（2023上·北京石景山·八年级校考期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.下面有四个推断：①②一定有个整数的算术平方根在之间③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于④比大所有合理推断的序号是.11．（2023下·七年级课时练习）已知正数x的平方根是m和m＋b．(1)当b＝8时，求m的值；(2)若，求x的值．12．（2021下·浙江台州·七年级统考期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由，(2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．13．（2023上·浙江衢州·七年级校联考期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，．(1)请根据这种新运算定义计算：________，________．(2)若实数a，b满足．①请直接写出a，b的值．②求的值．14．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）归纳与探究：(1)计算：_______