中考数学拉分压轴题专题12 二次函数与字母参数的关系（含答案与解析全国通用）

第第页专题12二次函数与字母参数的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)a开口向上抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)a开口向上(2)b左同右异(3)c抛物线与y轴的交点位置(4)a＋b＋c系列，当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c的位置；(5)判断a与b的关系，看对称轴；(6)b2－4ac>0看抛物线与x轴交点个数；(7)判断a与c，b与c，先搭建一个有关a、b、c的平台，再利用对称轴找到a与b的关系，替换掉不需要的字母，即出现目标。(8)遇到新的参数比如：，关注最值就行。1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则应满足的条件是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0【答案】D【解题过程】试题解析：根据开口向上可判断a＞0，对称轴在y轴左侧可判断b＞0，与y轴交于负半轴可判断c＜0，故选D．2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0【答案】B【解题过程】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0，抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，所以b＜0，抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，∴abc＞0，∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选B．【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴可确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号是解题的关键．3．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．若和均在该函数图象上，且，则【答案】B【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【解题过程】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线与轴的另一个坐标为，把代入，可得：，解得，，故C错误；抛物线开口方向向下，，，，，故A错误；，，，又，，即，故B正确；抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，可知二次函数，在时，随的增大而减小，，，故D错误，故选：B【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．4．已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；③；④（其中，为任意实数）；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由图像可知，，，根据对称轴在抛物线的右侧可得,即可得；根据对称轴为得，即可得；当时，即当时，，即可得，即可判断；当时，y有最大值：，所以当时，，即，进行计算即可得；当时，，，即，即可得，综上，即可得．【解题过程】解：由图像可知，，，∵对称轴在抛物线的右侧，∴,即，故结论①正确；∵对称轴为，∴即，故结论②正确；∵当时，∴，∴当时，，即，故结论③正确；∵当时，y有最大值：，∴当时，，即，，故结论④正确；当时，，∴，即，∴，故结论⑤正确；综上，①②③④⑤正确，正确的个数为5个，故选：D．【我思故我在】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．5．如图，抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（

）．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】由抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a,即可得到2a+b=0，则可对③进行判断；由抛物线的位置可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解题过程】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程的两个根是，，故②正确；故，即，故①正确；∵x=-=1，即b=-2a，∴2a+b=0，故③正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴-＞0，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，故⑤正确．综上，①②③⑤共4个正确．故选：C．【我思故我在】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=0时，抛物线与x轴有1个交点；＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．【解题过程】解：根据抛物线的开口朝下可知：，根据对称轴是1：，得到：，，与y轴交于正半轴：，与x轴有两个交点：，顶点坐标：（1,3），有两个相等的实数根．综上：，，，有两个相等的实数根．正确的是：①②④，共3个．故选：C．【我思故我在】本题考查二次函数图像和系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用数形结合的思想可以快速的解决此类问题．7．如图，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C．则以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减少；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向与y轴的交点可判断①；利用抛物线的对称轴直线对称轴判断②；利用抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，可得到抛物线的最小值，进而可判断结论③；利用抛物线的增减性可判断④；利用一元二次方程的判别式结合即可求解⑤．【解题过程】对于①：二次函数开口向上，故a＞0，与y轴的交点在y的负半轴，故c＜0，故ac＜0，因此①错误；对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（−2，0）、B（4，0），由对称性可知，其对称轴为：，又对称轴直线为，所以，所以因此，故②正确；对于③：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，∴当时，，∴，则∴因此③正确；对于④：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而减少，则有当时，y随x的增大而减少，故④正确；对于⑤：∵若方程没有实数根，∴＜0，解得，故⑤正确；∴正确的有②③④⑤，故选：C．【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．8．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1；⑥．其中正确的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据二次函数的图象，逐一进行判定即可．【解题过程】解：由图象可知：开口朝上：；对称轴为：，∴，；与轴交于负半轴：；与轴有两个交点：；与轴交于，故：；根据对称性：与轴的另一个交点为：；综上：，①正确；，②错误；，③正确；，④错误；方程的两个根是和1，⑤正确；，，故：，⑥错误；综上分析可知，正确的有3个，故A正确．故选：A．【我思故我在】本题考查二次函数的图象和二次函数系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，从图象中挖掘有效信息是解题的关键．9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，）和点（，）离对称轴的远近对④进行判断．【解题过程】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，）离对称轴要比点（，）离对称轴要远，∴，所以④错误．故选：A．【我思故我在】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置∶当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称∶左同右异)，抛物线与y轴交于(0，c)．熟练掌握二次函数的各项系数与对称轴的关系是解题的关键．10．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；；；；其中正确结论的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，．再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断①④；根据当时，即可判断②；根据当时，，即可判断③；由，，即可判断⑤．【解题过程】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，，．对称轴是直线，，，，故①④错误；当时，．，故②错误；当时，，，故③正确；，．，故⑤错误．综上可知正确结论的个数是1个．故选A．【我思故我在】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．11．如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确结论的有（

）A．3个 B．4个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x==1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x==1，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴（a-b+c）（a+b+c）＜0∴∴所以②正确；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y有最大值a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），∴a+b＞m（am+b），所以④错误．故选：A．【我思故我在】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x=时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．12．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你认为其中错误的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】D【分析】由抛物线与x轴交点情况判断与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及a的范围推理的符号，根据当x＝1的函数值判断的符号．【解题过程】解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，∴；故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，∴；故本选项错误；（3）由图示，知对称轴；又函数图象的开口方向向下，∴，∴，即，故本选项正确；（4）根据图示可知，当x＝1，即，∴；故本选项正确；综上所述，其中错误的是（2），共有1个；故选：D．【我思故我在】此题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．13．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定