数学竞赛专题讲座七年级第6讲-话说同类项(含答案)

第六讲话说同类项俗话说“物以类聚，人以群分”．在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．整式的加减实质就是去括号合并同类项．整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的根底，归纳起来就是要注意以下几点：理解“三式”〔单项式、多项式、整式〕和“四数”〔底数、指数、系数、常数〕的概念，熟悉“两种排列”〔升幂、降幂〕，掌握三个法那么．解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化．“实际上，数学是一门艺术，是一门通过开展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而防止蛮力计算的艺术．”——M．阿蒂亚例题讲解【例1】当的取值范围为时，式子的值恒为一个常数，这个值是．(北京市“迎春杯”竞赛题)思路点拨去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“”的项，由此得出的取值范围．链接：数学概念是内容的根底．是数学推理和论证的根底．科学研究说明，概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段：(1)区分不同的事物；(2)抽象一类事物的共同属性；(3)用简洁的语言符号给概念下定义、定名称．在概念学习中，应注意以下策略：(1)关键字词理解的策略；(2)正、反例比照策略；(3)相似概念比拟策略；(4)概念系统化策略．【例2】那么化简得()．A．B．C．2D．(江苏省竞赛题)思路点拨由条件可推得多个关系式，这是解本例的关键．【例3】x＝2，y=一4时，代数式，求当时，代数式的值．思路点拨一般的想法是先求出，的值，这是不可能的(为什么?)解本例的关键是：将给定的、值分别代入对应的代数式，寻找式与待求式之间的联系，整体代人求值．【例4】关于的二次多项式，当x=2时多项式的值为，求当时，该多项式的值．(“希望杯”邀请赛培训题)思路点拨设法求出a，b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．【例5】(1)：5∣(x+9y)(x，y为整数)，求证：5∣(8x十7y)．(2)试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．(全国初中数学联赛试题)思路点拨(1)尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式，(2)逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论．链接：解代数式化简求值问题的根本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等．关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一种常用工具．“回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示．欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换，充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题．数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式．教学中的许多结论就是通过类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法．【例6】如果代数式的值为2，那么代数式的值等于______．思路点拨观察代数式变换的形式，从整体上入手来解题．链接：在解数学题时，我们既要能从局部入手，又要善于着眼于整体，即突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为一个整体来考虑．【例7】设和均不为零，和是同类项，那么=_________．〔华杯赛试题〕思路点拨由同类项的概念建立、的关系式，运用这一关系式求原式的值．【例8】当时，代数式的值为18，这时，代数式〔〕．A．B．C．D．(希望杯邀请赛试题)根底训练1．是同类项，那么=．(江苏省竞赛题)2．代数式．(1)当=，=时，此代数式的值与字母的取值无关；(2)在(1)的条件下，多项式的值为．3．=1999，那么=．4．当时，代数式的值为6，那么当时，代数式的值是．(安徽省中考题)5．火车站和机场都为旅客提供打包效劳，如果长、宽、高分别为、、的箱子按如图的方式打包，那么打包带的长至少为()．A．B．C．D．(太原市中考题)6．同时都含有字母，且系数为1的7次单项式共有()．A．4个B．12个C．15个D．25个(北京市竞赛题)7．有理数在数轴上的位置如下图：那么代数式化简后的结果是()．A．B．C．D．8．，那么的值为〔〕．A．80S．10C．210D．409．把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如下图，：，，，，假设正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F．10．单项式与单项式的和为，求的值．11．对于整式，给定的一个数值后，如果小颖按四那么运算的规那么计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次”．小明同学的说法是的．(填“对”或“错”)〔希望杯邀请赛试题〕12．假设，那么＝．13．当时，代数式的值等于，那么当时，代数式的值等于．(北京市“迎春杯”竞赛题)14．将1，2，3，……，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，代入代数式中进行计算，求出其结果，50组数代人后可求得50个值，那么这50个值的和的最大值是．15．计算，最后结果是()．A．0B．C．1999D．16．，那么等于()．A．B．C．D．17．代数式，当＝l时，值为l，那么该代数式当时的值是()．A．1B．C．0D．2〔希望杯邀请赛试题〕18．如果对于某一特定范围内的任意允许值的值恒为一常数，那么此值为()A．2B．3C．4D．5(安徽省竞赛题)19．(1)、为整数，且，如果，请你证明：．(2)一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数．证明：这个三位数也是11的倍数．20．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数(依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数、、、与的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设N=3194，请你当魔术师，求出数而来．21．、、均为整数，且，求证：．(北京市竞赛题)22．计算多项式的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数．①直接计算：时共有＝6(次)乘法；②利用已有幂运算结果：，计算时共有(次)乘法；③逐项迭代：，其中等式右端运算中含有3次乘法．请问：(1)分别使用以上3种算法，统计算式中乘法的次数，并比拟3种算法的优劣．(2)对次多项式〔其中为系数，〕，分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比拟3种算法的优劣．答案：1.12.(1)-3,1(2)8.3.40000004.-45.C6.C7.A8.A9.D=3x2-7y+4y2,F=9x2-11xy+2y210.12提示:由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125).11.对12.-13.2214.3775提示:不妨设a>b,原式=a,由此知每组数的两个数代入代数式运算后的结果为两个数中较大的一个,从整体考虑,只要将51,52,53,…,100这50个数依次代入每一组中,便可得50个值的和的最大值.15.D16.D17.B18.B提示:2+3+…+9+10=54,而8+9+10=27.19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略20.提示:将abc也加到和N上,由于a、b、c在每一位上都恰好出现两次,所以abc+N=222(a+b+c)①从而1000+3194>222(a+b+c)>3194,于是15≤a+b+c≤18.因为222×15-3194=136,222×16-3184=358,222×17-3194=580,222×18-3194=802.其中只有3+5+8=16满足要求,即能使①成立,故abc=358.21.提示:4(3x-7y+12z)=11(3x-2y+3z)-3(7y+2y-5z).22.(1)3种算法中乘法的次数分别为:①10+9+8+…+2+1=55(次);②2×9+1=19(次);③10次.(2)乘法次数分别为:①n+(n-1)+…+3+2+1=(次);②2(n-1)+1=2n-1(次);提高训练1．观察以下等式：，，，，…，这些等式反映了自然数之间的某种规律．设表示自然数，用关于的等式表示这个规律为_____________．〔莱阳市中考题〕2．以下图案均是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…．依此规律，拼搭第8个图案需要小木棒_______根．〔武汉市中考题〕3．，，，那么___________．〔华杯赛试题〕4．根据如下图的〔1〕，〔2〕，〔3〕三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是〔〕．A．B．C．D．(贵阳市中考题)5．多项式和的差的值与字母的取值无关，求代数式的值．6．假设代数式同时满足条件：〔1〕含字母，；〔2〕含有关于字母，的加、减、乘、除和乘方运算；〔3〕当时，该代数式的值为．请写出一个这样的代数式____________________．(首届江苏省数学文化节根底闯关题)12．如果，那么=______．(希望杯邀请赛试题)13．，其中、、、、为常数，当，；当时，，那么的