2024年高考复习数学第8章第5节椭圆

第五节椭圆

考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.

、必备知识•回顾教材重“四基”/

一、教材概念•结论•性质重现

1.椭圆的定义

平面内与两个定点F1,尸2的距离的和等于常数(大于尸情21)的点的轨迹叫做椭

圆.这两个定点叫做椭圆的嫂臣，两焦点间的距离叫做椭圆的焦理，焦距的一半

称为半焦距.

微提醒・・・，

集合P={MIMR|+|MF2|=2a},|FIF2|=2C,其中a>0,c>0,且a,c为常数.

⑴若a>c,则集合尸为椭圆.

(2)若a=c,则集合P为线段F\Fi.

⑶若a<c,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

记一］国+京_1

标准方程

(<2>Z?>0)(a>b>0)

y

A2

J/

图形B\bOB、x

巴少Aix

Biy

小

—aWxWa,一bWxWb,

范围

—aWyWa

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

Ai(—a,0),Ai(0,—a)9

性质

A2(Q,0),A2(0,a),

顶点

Bi(0,-/?),0),

及(0,b)Bz(b,0)

轴长轴A1A2的长为须；短轴的长为为

焦距|FIF2|=2C

离心率e、G(0,1)

Q,人，C的

c1=a1—b2

关系

微提醒■■■■

(1)椭圆焦点位置与x2,V系数间的关系：

22

给出椭圆方程上+匕=1时，椭圆的焦点在光轴上椭圆的焦点在y轴

mn

上<=>0<〃2<〃.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个方程，再结合序=/一/就可求

得e(O<e<l).

3.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系有三种：杞直、相切、«.

4.常见结论

(l)a+c与a—c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值.

(2)过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|A3|=(,称为通径.

(3)若过焦点Fi的弦为AB,贝的周长为4a.

(4)e=越大,椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.

22

(5)A8为椭圆3+k=13>匕>0)的弦，A(xi,yi),Bg*),弦中点M(xo,yo),

则

2

①弦长1=V1+k\x]—X2\=J1+如1—y2|；

②直线AB的斜率kAB=一孕.

a2yo

22

(6)若M,N为椭圆J+3=l(a〉A>0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆上不与

h2

M,N重合的点，则麻

二、基本技能•思想•活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“J”，错的画“X”.

⑴平面内与两个定点回，尸2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(x)

⑵椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（X）

⑶方程m%2+州2=1（m＞0,〃＞0,表示的曲线是椭圆.（V）

（嗜+与3+苴=1（。＞。＞°）的焦距相同.（7）

2.若n（—3,0）,F2（3,0）,点P到R,正2的距离之和为10,则点P的轨迹方

程是（）

%2y2

A.瓦+才1

%2y2

B.-4-^=1

1009

C."=1

2516

D.

A解析：设点尸的坐标为（x,y）,因为|尸Fi|+|P氏2|=10＞历网=6,所以点P的

轨迹是以B为焦点的椭圆，其中Q=5,c=3,h=y/a2—c2=4,故点P的

轨迹方程为^—F—=1.

2516

2

3.已知正数机是2和8的等比中项，则圆锥曲线f+5=1的焦点坐标为（）

A.（+V3,0）

B.（0,+V3）

C.（+V3,0）或（土西，0）

D.（0,土8）或（土而，0）

B解析：因为正数是2和8的等比中项，所以〃=16,即优=4,所以椭圆

22_

X2+\=1即f+?=l的焦点坐标为（0,+V3）.故选B.

4.若直线x—2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程

为（）

A.y+y2=l

%2y2

B.—+—=1

45

c.9+户1或？+3=1

D.以上答案都不对

C解析：直线与坐标轴的交点为（0,1）,（-2,0）,

由题意知当焦点在x轴上时，c=2,h=1,

2

所以/=5,所求椭圆的标准方程为言+)2=1.

当焦点在y轴上时，b=2,c=l,

22

所以次=5,所求椭圆标准方程为匕+±=1.

54

5.设椭圆的两个焦点分别为乃，F2,过点b2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若

△RPB为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()

A.也B.生

22

C.2-V2D.V2-1

D解析：由题意可知，\PF2\=2C,\PFI\=2V2C.

因为|PB|+|PB|=2a,所以2c+2企c=2a,

解得£=四一1.

a

---------、关键能力•研析考点强“四翼”/----------

考点1椭圆的定义——基础性

「多维训练」

1.圆A的半径为4,圆心为A(—1,0),8(1,0)是圆A内一个定点，P是圆上任

意一点，线段的垂直平分线与半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点

Q的轨迹方程为()

A.—+—=1B./+y2=]6

34,

22

C.?+g=lD.(x+l)2+/=16

C解析：如图，直线/为线段BP的垂直平分线，

所以连接B。，由线段垂直平分线的性质得：BQ=PQ,

而半径AP=AQ+PQ,且A,8两点为定点，

所以AQ+BQ=4＞AB=2,

所以由椭圆定义得点Q轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2,

所以a=2,c=l,所以

所以椭圆方程为日+亡=1.故选C.

43

2.在平面直角坐标系X。）'中，椭圆。的中心为原点，焦点R1,尸2在光轴上，离

心率为号，过点F1的直线/交C于A,B两点,且△ABB的周长为16,那么C

的方程为（）

A.日+g=1B.日+生=1

36181610

%2y2y2

C.—+—=1D.—+—=1

42168

D解析：设椭圆的方程为0■+等=由=—r=1——T=-,得〃2=2Z?2.

根据椭圆的定义可知△A8F2的周长为4〃，所以4。=16,即。=4,〃=16,b2=

8,

22

则椭圆的标准方程为^—F—=1.

168

22

3.已知Fi,人分别为椭圆C：程=1（。＞匕＞°）的左、右焦点，过人且垂直

于x轴的直线/交椭圆。于A,8两点.若是边长为4的等边三角形，则

椭圆C的方程为（）

%2y242y2

A.——F—=1B.——I--=1

4396

C.-4-^=1D.-+^=1

164169

B解析：如图所示，

因为△ABF2是边长为4的等边三角形，

所以|AB|=4,\AFi\=^AB\=2,所以2a=|AB|+|A尸2尸6,所以a=3.

又因为|nF2|=2c=J|AF2|2-|/Fi|2=2g,所以c=8,则〃=/一,2=6,

22

故椭圆C的方程为---F—=1.故选B.

96

解题通法

椭圆定义的应用技巧

⑴椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦

长、最值和离心率等.

（2）椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和

面积问题.

考点2椭圆的标准方程——综合性

「典例引领」

22

例⑴“一3〈加V4”是“方程'+'=1表示椭圆”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

’4—TH>0,

22

B解析：因为方程二+三=1表示椭圆的充要条件是《根+3>0,

4-mm+3

k4—mm+3,

解得一3<〃?<4且〃料，所以''-3V〃zV4”是“方程三+痣=1表示椭圆”的

必要不充分条件.故选B.

（2）已知椭圆C：总+?=13>0）的右焦点为F,。为坐标原点，C上有且只有一

个点尸满足。回二炉川，则椭圆C的方程为（）

A.日+廿=1B.兰+日=1

12383

C.立+^=1D.立+乃=1

6343

D解析：根据对称性知点P在x轴上，QFInlfPI,故。=2c,/=3+。2,解得

。=2,c=1,

22

故椭圆C的方程为^—F—=1.

43

同源异考/

22

本例(1)中椭圆的方程式变为高+段=1，若焦距为4,则他的值为________.

丫2“2

7或11解析：在椭圆上-+工-=1中，由已知可得2c=4,解得c=2.

16-mm-2

16—m>0,

若椭圆的焦点在X轴上，可得■m—2>0,解得加=7;

、(16-m)—(m—2)=c2=4,

16—m>0,

若椭圆的焦点在y轴上，可得<m-2>0,解得m=11.

\(m—2)—(16—m)=c2=4,

因此，机=7或11.

解题通法

1.求椭圆标准方程的两种方法

(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定/,h2

的值，再结合焦点位置写出椭圆方程.特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条

件2。>|尸|尸2|.

⑵待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点

所在位置，然后根据条件建立关于a,匕的方程组.如果焦点位置不确定，可设

椭圆方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0,相加)的形式.

2.椭圆的标准方程的两个应用

2222

(1)方程版•+^2=1(4>。>0)与温+靠=2(4>0)有相同的离心率.

2222

(2)与椭圆弓+卷=l(a>/?>0)共焦点的椭圆系方程为三+~^—=l(a>b>0,b2

+k>0),恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.

「多维训练」

1.一个椭圆的中心在原点，焦点凡在X轴上，PQ,8)是椭圆上一点，且

m，|P冏成等差数列，则椭圆的方程为()

22_

A解析：设椭圆的标准方程为三+白=1(。>力>0).由点P(2,在椭圆上知

------1------=1

a2Tb2

又|PA|,IF1F2I,IPF2I成等差数列，则|「理+|尸冏=2尸|尸2|,即2a=2X2c,£=；.

a2

（

—44--3=1

22

ab22

又。2=层一〃，联立一斤，得〃=8,〃=6,故椭圆方程为互+旺=1.

86

C_1

ka-2'

_22

2.过点（6,一通）,且与椭圆三+3=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________

259

2222

+~=1解析：（方法一）椭圆5+3"=1的焦点为（°，—4）,（0,4）,即C=4.

204259

由椭圆的定义知，2a=J（«—0）+（―V5+4）+J（V3—0）+（―V5-4）,

解得〃=2遥.

22

由/=/―/得从=4.所以所求椭圆的标准方程为匕+-=1.

204

22

（方法二）因为所求椭圆与椭圆会+；=1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且

22

/=25—9=16.设它的标准方程为彳+^r=l（a>/?>0）.因为（?=16,且c2=a2~b2,

所以a1—b2=16.①

22

又点（百，一遍）在所求椭圆上，所以e争+噜=1,即?+4=1.②

a2b2a2b2

22

由①②得廿=4,“2=20,所以所求椭圆的标准方程为—F—=1.

204

考点3椭圆的几何性质——应用性

f典例引领」

考向1求离心率（或范围）

例❷，⑴（2022•全国甲卷）椭圆C：5+会1（a〉">0）的左顶点为A,点P,。均

在C上，且关于y轴对称.若直线AP,A。的斜率之积为%则。的离心率为

（）

出W

2

A.2B.

C.

A解析：A(—a,0),设P(xi,yi),则。(一xi,yi),则MP=』-,kAQ=-yi,

“1+Q—XI+a

故履p.fc4Q=q"..yi¥2产工•又2当+工2=1，则无所2以

2％i+a-x±+a-xl+a4ab八a

12(々2_啕之i------

--y-~^~~=工，即】=工，所以椭圆C的离心率e=-=1—.故选A.

-%i+a24a24a7az2

22

(2)(2022•青岛模拟)已知月,凡分别是椭圆。京+尢=1伍＞。〉。)的左、右焦点•若

椭圆C上存在点P,使得线段PF\的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心

率的取值范围是()

C解析：如图所示,

因为线段PF\的中垂线经过点F2,

所以PF2=FIF2=2C,即椭圆上存在一点P,使得P&=2c.

所以2c2a—c.所以e=£6［工，1Y

解题通法

求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助/=&2—/消去儿转化为含

有e的方程(或不等式)求解.

考向2与椭圆有关的最值问题

22

例❸，已知尸(2,0)为椭圆,+翥=1伍＞。＞。)的右焦点，过/且垂直于x轴的弦

长为6.若A(—2,/),点M为椭圆上任一点，则+的最大值为.

8+V2解析：设椭圆的左焦点为广，

由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过尸且垂直于x轴的弦长为6,即空=

a

6,

则匕=之=3,解得a=4,

aa

所以+\MA\=S~\MF\+\MA\=S+\MA\~\MF\,

当M,A,尸三点共线时，|MA|一|M用取得最大值，

(\MA\~\MF\)max=|AF|=V2,

所以阿同+|陌4|的最大值为8+V2.

解题通法

椭圆的范围与最值问题

⑴在设椭圆盘+，=1(。>A>0)上点的坐标为尸(x,>)时，有国Wa,,可以把

椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值.

(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a+c,最小距离为a—c;椭圆短轴端点与两焦

点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值.

「多维训练」

22

1.已知巧,仍为椭圆E：3+靠=1(。泌〉0)的左右焦点，在椭圆E上存在点P，

满足出尸21=因尸2|且放到直线PR的距离等于4则椭圆£的离心率为()

11

A.-B.-

32

C.2-D.-3

34

B解析：由已知得|PF2l=[F]F2l=2c,

根据椭圆的定义可得[PF/+\PF2\=2a=>\PF1\=2a-2c.

又尸2到直线P乃的距离等于"，即尸2”1=尻

由等腰三角形三线合一的性质可得：FiHLPF\,可列方程：(a—c)2+〃=(2c)20屋

—ac—2，=00(a—2c)(a+c)=00a—2c=00e=[.故选B.

2.设P是椭圆盘+?=1上一点，M,N分别是两圆：。+4)2+产1和。-4)2

+尸=1上的点，则IPM+IPM的最小值、最大值分别为()

A.9,12B.8,11

C.8,12D.10,12

C解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF||

+|P凡|=10,易知|PM+|PN|=(|PM+|MK|)+(|PN+|Nb2|)—2,则其最小值为

|尸乃|+「网一2=8,最大值为小川+/网+2=12.

、一题N解•深化综合提“素养”,

「试题呈现」

22

设椭圆京=1(。＞切＞0)的左、右焦点分别为Fl,尸2.若椭圆上存在点P,使

ZFIPF2=90°,求离心率e的取值范围.

［四字程序］

读想算思

1.在焦点三角形中构建点P的横坐

在椭圆上存在

可利用哪些性质或结标x与a,b,c

点P,使得转化与化归，函

论的关系式，利用

NF1PF2为直数与方程

2.离心率的表达式椭圆的有界性求

角

有哪些解

1.在焦点三角形中

要注意应用：

①椭圆的定义.

1.椭圆的有界

②勾股定理或余弦定

求椭圆离心率性.

7_a2c2-a2b2

理.片a2-b2

e的取值范围2.一元二次方程

③三角形的面积公式

有实根的条件

2.e=£或e=

a

Jl-5

「一题多解」

解法

思路参考：利用曲线范围.

解：设P(x,y),又知B(—C,0),F2(C,0),

则序=(x+c,y),F^P=(x—c,y).

由//砂氏2=90°,知芋J_亏，

则可•哥=0,

即(x+c)(x-c)+y2=0,

得x1+y2=c2.

22

将这个方程与椭圆方程与+彳=1联立,

a2b2

消去y,

由椭圆的取值范围及NFiPFi=90°,

知OWx2。？,

a2c2-a2b2

即0W<a2.

a2-b2

可得c22/,即c2^a2—c2且。2<层,

从而得e=-2",且e=^<l,

a2a

所以ee［孝，1).

解法

思路参考：利用二次方程有实根.

2

解：由椭圆定义知|PFi|+|PF2|=2a=>|PFJ2+|PF2|2+2|PFI|•|PF2|=4a.

又由/RPB=90。，

知IP/iF+|p@|2=的刑2=4c2,

可得IPRillPRI=2（储一。2）.

因此，|「乃|与|P网是方程f-2以+232—/）=0的两个实根，

所以A=4屋一8（4一/）20=02=捺>乎.

所以ed惇，1）.

解法

思路参考：利用三角函数有界性.

解：记NPFiF2=a,4PF2F\=B，由正弦定理有吟=2型=叵且，即空回粤=

sin0smasm90°sina+sin0

IF1F2I.

又|PR|+|PB|=2a,|FIF1=2C,则有e=£='『―J_.=-1_.

2asina+sin/?2sian^coas^限osa?p

由0。★心一用<90。，

知OY邑©<45。，

所以也<COS匕

从而可得学We<l.

解法

思路参考：利用基本不等式.

解：由椭圆定义,有2a=|PFi|+|P尸*平方后得4/=|PF/2+/尸2『+2|PFJ•

2

|PF|<222当且仅当|尸产||=|尸冏时取等号，得标？

22(|PF1|+|PF2|)=2|FIF2|=8?,

P所以e喈，1).

解法

思路参考：巧用图形的几何特性.

解：由NnPE2=90。，知点P在以71冏=2(:为直径的圆上.

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P,

故有扶=层一，，

由此可得ee[j,1).

解法

思路参考：双焦点最大张角.

解：设Bi为上顶点，则双焦点最大张角为NKBB.

由已知/尸|8尸2290°,

所以NOBiB245°,

tanNOB1F2N1,即£21,心》后,c22/一/,

b

得94所以有e.停,1).

「思维升华」

1.本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式,

利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决.

2.基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，

试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.

3.基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和

综合性.

「类题试练」

22

设A,B是椭圆C：2+匕=1长轴的两个顶点，若。上存在点M满足

3m

120°,则〃2的取值范围是()

A.(0,1]U[9,+00)

B.(0,V3]U[9,+8)

C.(0,1]U[4,+8)

D.(0,V3]U[4,+°o)

设M(xo,yo),不妨设州>0,A(-V3,0),B(V3,0).

则SAMAB=y/3yo=^MA\•|MB|sin\=^-\MA\•\MB\,得•|MB|=4yo.

AM=(xo+V^,yo),BM=(xo—百，yo),

故而•前=(&+V3)(x0-V3)+yl=\AM\•\BM\cos|n,

得贿-3+光=-2yo.

因为M(xo,yo)在椭圆上，

所以逋+逋=1,

3m

得就一3=一?%，

故―5羽+*=-2》。，

得yo=#-<Vm,

,3-m

解得0〈机W1.

当m>3时，如图2,

图2

设A/(xo,yo),不妨设xo>O,

则A(0,—Vm),B(0,Vm),

SAWAB=Vmxo=-|MA|•|Mfi|sin-n=~\MA\•\MB\,\MA\•\MB\=^^xo,

2343

AM=(XO9yo+y[m)9BM=(xo,yo—y/m)9

所以4M,BM=XQ+(yo+yJm)(y()—yfm)=\AM\•|FM|cos|TI,

解得亚+yo-m=一主詈x().

因为M(xo,yo)在椭圆上，

所以/+欧=1,

3m

得%-m=-^xl，

,7m7,o2)3771

故-5玷+%3=-3助

解得回=阻K百，

171-3

解得机29.

综上m29或0<〃zWl.

故选A.

课时质量评价(四十七)

A组全考点巩固练

1.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆

的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆。的中心为原点，焦点人均在x轴

上，椭圆。的面积为28兀，且短轴长为2遮，则椭圆C的标准方程为()

A.^+/=1B.片+乃=1

12z43

C.狂+”=1D.立+二=1

34163

命=返（a=2

B解析：由题意可得口，解得二

,2b=2V3,tb=V3.

22

因为椭圆C的焦点在X轴上，所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

2.已知椭圆〃z/+4y2=l的离心率为日，则实数机等于（）

A.2B.2或g

C.2或6D.2或8

ITJ

D解析：显然机>0且机W4,当0V〃?V4时，椭圆长轴在x轴上，则牛4=这，

低2

FT

解得m=2;当初>4时，椭圆长轴在），轴上，则与卢亨，解得机=8.

A

22

3.（2023•烟台模拟）已知椭圆C：3+3=l（a〉b>0）的左、右焦点分别为F\,F2,

椭圆上点P（x,y）到焦点尸2的最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为

()

A.1B.3

22

2

C.-D.2

3

Q-L.c—3

A解析：设椭圆的半焦距为c,由题意可得一'解得a=2,c=l,所以

、a—c=1,

椭圆C的离心率e=-=-，故选A.

a2

4.已知两圆G：。一4产+产二需/C2：（x+4）2+y=9.动圆M在圆。内部且和

圆G相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

22X2y2

A.%_"=]B.-4-^=1

64484864

%2y2

C.次—"=1D.—+—=1

48646448

D解析：设动圆的圆心M（x,y）,半径为匚因为圆M与圆Ci:（X—4）2+y2=169

内切，与圆C2：（x+4）2+），2=9外切，所以|MG|=13一r，|MC2|=3+r.

\MC\I+\MCi\=16>|CiC2I=8,由椭圆的定义，知点M的轨迹是以Ci,C2为焦点,

长轴长为16的椭圆，则a=8,c=4,所以从=82—42=48,

22

所以动圆的圆心M的轨迹方程为---F—=1.

6448

5.已知椭圆C：<+H=l(a>b>0)的左、右焦点为乃，Fz,离心率为名过上的

a2b23

直线/交C于A,B两点.若△ABB的周长为4旧，则椭圆C的方程为()

y2”2丫2

—+)广=

A.—3I—2—1B.3,1

C2.艺2=1D.立2+旺2=1

128124

A解析：若方山的周长为4A后，由椭圆的定义可知，4。=4>&,所以。=遍.

因为(?=———,所以c=1,所以b?=2,所以椭圆。的方程为—F—=1.故选A.

a332

6.已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为

2四一2.又离心率为?，则椭圆E的方程为.

--FL=1解析：因为椭圆上"一点到焦点的最小距离为a—c,

84

所以a—c=2遮一2,离心率e=当，

所以£=遮，解得。=2&，c=2,则〃=屋一/=4,

a2

所以椭圆E的方程为三—F—=1.

84

2〜>

7.已知点P(0,1),椭圆v亍+y2=,〃(加>1)上两点A,8满足4P=2PB,则当机=

时，点B横坐标的绝对值最大.

5解析：设A(xi,yi),8(x2,yi),则AP=(—xi,1—yi),PB=(X2,y2~1).由AP

=2PB,

—=2X2,x=—2X,

得即12

,YI=3-2y2・

、1=2(y2-1)，

因为点A,B在椭圆上,

(等+(3-2y2尸=m,

所以《2解得y2=^m+|,

(-+y2=机，

8横坐标的绝对值最大，最大值为2.

8.已知两定点A(—l,0)和8(1,0),动点P(x,y)在直线/：丫=尤+3上移动，椭

圆。以A,8为焦点且经过点P,求椭圆C的离心率的最大值.

22

解：不妨设椭圆方程为三+—=l(a>l),

a2a2-l

—+-^―=1

与直线/的方程联立Fa2-l消去y得（2〃2—1.2+6。2尤+1042一。4=0

y=X+39

由题意易知A=36/—4（24—1）（10〃—〃4）N0,解得QN通，

所以6=£=工工底，所以e的最大值为空.

aa55

B组新高考培优练

22

9.（多选题）若椭圆C：•+k=1仍0）的左、右焦点分别为B,F2,则下列人的

值，能使以尸出2为直径的圆与椭圆。有公共点的有（）

A.b=y/2B.h=y/3

C.h=2D.h='j5

ABC解析：以为f2为直径的圆的方程为f+y2=c2,因为圆f+V：/与椭圆

C有公共点，所以即9一从2%所以从咛，即OGW誓，满足条件的

有ABC.故选ABC.

10.已知4,A2分别为椭圆C：盘+《=1（。〉比＞0）的左、右顶点，P是椭圆C上

异于Al,A2的任意一点.若直线用”公2的斜率的乘积为一，则椭圆C的离心

率为（）

4

A.-B.-2

93

C.-D.—

93

D解析：设P（x。，yo）,则含X热=一%化简得否基=1,

~9~

则沪/«=J1-（£）2=.故选D.

11.已知椭圆胃+A=l（a泌＞0）的离心率为右直线y=^与该椭圆交于A,B两

点，分别过A,8向左轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则左等于（）

A.±-B.+-

23

C.±-D.±2

2

y=kx,nh

A解析：联立2=＞（b1+a2^）x2=a2b2,则x=±-f===,

2

^ab2-

由题意知石黑阜=，，①

y/bz+azk2

因为e=£=工，所以a=2c,Z?=Va2-c2=V3c,

a2

代人①可得4^77=。2=左=±2.