大一高数期末考试试题

2023学年第一学期

《高等数学（2-1）》期末模拟试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室高等数学

考试日期2010年1月。日

页号—*二三四五六总分

得分

阅卷人

注意事项

.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

|本页总分值36对1

2.答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

本|1

页3.本试卷共五道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，否那么作废.

得填空题（共5小题，每题4分，共计20分）

1

Ld___lim(ex-x)x2

xf0

12005

、jix（l+x）（^-^）^=

[x+ye-,2dt=x—\=

3.设函数丁=，。）由方程」|确定，那么加.

4.设/GO可导，且⑺力=八）/（。）=1,那么小）=.

5.微分方程胃+4_/+4'=°的通解为.

二.选择题（共4小题，每题4分，共计16分）

f（%）—In%------1-k

1.设常数上＞0,那么函数e在（0，+8）内零点的个数为（）.

（A）3个；（B）2个；（C）1个；（D）。个.

2.微分方程y"+4y=3cos2x的特解形式为（）.

（A）y*=Acos2x.⑻J7*=Axcos2x.

（C）y*=Arcos2x+Bxsin2x.①）y*=Asin2x

3.以下结论不一定成立的是（〕.‘

1A）假设bMd,那么必有L/（*xw£/（x）以；

1B）假设/（X）»。在1用上可积，那么J"°;

1C）假设/（X）是周期为T的连续函数，那么对任意常数。都有工,（”“a―1。,（X）以；①）假

也为奇函数.

1

4.设2+3e,那么x=°是/（%）的〔）.

（A）连续点;（B）可去间断点;

本页总分值12（C）跳跃间断点;①）无穷间断点.

分

本三.计算题（共5小题，每题6分，共计30分）

页y?e~^dx

1.计算定积分J。

缴口总分值12

分rxsinx7

-------ax

本2.计算不定积分」cos5x.

页x=^（r-sinr）,_

得3.求摆线U=a（l—cos/）,在2处的切线的方程.

柄i总分值15分

F（x）=［cos（x2-t）dt口，/、

本4.设J。，求歹（X）.

页

_V（«+!）（«+2）（»+3）---（2«）

得xn----------------------------,lim

5.设〃,求.

*卜总分值18分

四.应用题（共3小题，每题9分，共计27分）

本

i.求由曲线>=与该曲线过坐标原点的切线及无轴所围图形的面积.

页

2.设平面图形。由*+V<2x与y'x所确定，试求。绕直线x=2

得

分旋转一周所生成的旋转体的体积.

_____________

3.设a>L/«）="—G在（-00，+0°）内的驻点为，（a）•问。为何值时'（a）最小?

本页总分值7分

本并求最小值.

页

五.证明题（7分）

得

分

_____________公、/（O）=f（l）=O,/（-）=l,

设函数/（x）在［r。0，111］上连续，在（°」）内可导且2

试证明至少存在一点Je（。/），使得/O-L

填空题（每题4分，5题共20分）:

1.一。e\

J]%（1+铲。）（6"-e_1）dx=—

,、[X+ye，2dt=x当『。=।

3.设函数y=ya）由方程J1确定，那么加“°e-i.

4.设巾）可导，且「阳）力”3/（。）=1,那么小）=尸.

2x

5.微分方程y"+4y'+4y=0的通解为）=（G+C2X）e~

选择题（每题4分，4题共16分〕：

f（x）=inx--+k.„、

1.设常数左＞°,那么函数e在（°，+°°）内零点的个数为（B）.

（A）3个；（B）2个；（C）1个；（D）0个.

2.微分方程y"+4y=3c°s2x的特解形式为（c〕

（A）y*=Acos2x.⑻J7*=Arcos2x.

（C）y*=Axcos2N+Bxsin2x.（口）y*=Asin2x

3.以下结论不一定成立的是（A）'

（A）（A）假设卜，"忆卜，"，那么必有L/⑴心4人"；

⑻⑻假设/（X）»°在[a用上可积,那么1J⑺八"°；

\a+Tf（x）dx=fTf（x）dx

（C）（C）假设了（X）是周期为了的连续函数，那么对任意常数〃都有J"Jo；

攵f（x）为奇函数,那么Io"⑺必也为奇函数.

（D）（D）假设可积函生

1

4.设2+3处,那么x=0是/（X）的[C）.

（A）连续点;（B）可去间断点；

（C）跳跃间断点；（D）无穷间断点.

三.计算题（每题6分,5题共30分）:

1.计算定积分工x%一%dx

设抬=/,贝1」X3e~x2dx=[—te^dt—――ftde~，

解：J。J。22%____2

=—tc-f~e1dt

2[0Jo

-------2

。一212132

2022_____2

xsinx7

-----ax

2.计算不定积分cosx

xrdx

xs?"dx=^xd{—^―)=~

J4I4―

解:cosx4cosx4COSXJCOSX----3

——---—f(tan2x+l)dtanx

4cos晨4J

x131「

---tanx—tan%+C

4cos4%124

%二〃（，-sin，），万

Vt二一

3.求摆线U=a（l—cost）,在2处的切线的方程.

(。(女-1),d)

解:切点为----2

,dyasin/

k=——=---------

dxt，^(1-cosOt=£

22=1----2

y-a=x-«(--1)y=x+(2--)«

切线方程为2即2-2

4,设W(x)=JoCOS(?T)力，那么/(X)=2XCOSX2_(2X—1)COS(X2—X)

((〃+1)(〃+2)(〃+3)-一(2万

,求蚓当

5.设“n

1nj

lnx„=-¥111(1+-)

解：n-in-2

n；1fJ

limIn当=limVln(l+—)—=fln(l+x)dx

M—>00Jo

n—>ooMnn-2

xln(l+x)|o-jx——=21n2-1

=。1+x.2

4

故㈣

四.应用题（每题9分，3题共27分〕

1.求由曲线丁二丁』与该曲线过坐标原点的切线及％轴所围图形的面积.

解：

1

y=—/—%

设切点为（/，％）,那么过原点的切线方程为2J/-2,

由于点（/，为）在切线上，带入切线方程，解得切点为%=4,为=后.___3

过原点和点(4,J5)的切线方程为2亚-------------3

/•V2?/—2A/2

s=j(y2+2-2v2y)Jy

面积Jou力,=3Q-----------3

•21.41I----2,\/2

s=—；=xdx+I(——x—Vx—2)dx-----

或02V2L2V23

2.设平面图形。由炉+V42%与y2%所确定，试求。绕直线x=2旋转一周所生成的旋转体的体积.

解：法一：v=K-%

=J；%"1-J-/)]dy-^7r(2-y)2dy

法一2万J。(2—x)(J2光一九2—x)dx

22

=2TTJ(2-x)V2x-xdx—jo(2%-x)dx

2-114

=71—(2x-x2)2+2x—7rxl---n

3043

+2J2x—X、dx---7i

--------4

3.设“>L/⑺=-G在(一—+8)内的驻点为'(a).问a为何值时XG最小？并求最小值.

由「⑺="Ina-a=0得/(a)=1-.

解：Ina---------3

又由，(a)=11na?=0得唯一驻点a=e,

a(lna)3

当Q>/时,，(a)>0;当a<e，