第20讲：空间几何平行证明讲义（原卷+解析）-高考数学二轮复习讲义

第20讲：空间几何平行证明原卷版

【基础知识回顾】

一、两条直线平行证明方法

1、三角形中位线2、平行四边形的性质

3、等比例线段4、线面平行的性质

5、面面平行的性质6、线面垂直的性质

二、线面平行证明方法

1、线面平行的判定定理

平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与平面平行

2、面面平行的性质

若两面平行，那么一个平面中任意一条直线都与另一个平面平行

三、面面平行证明方法

1、面面平行的判定定理

一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，那么两个平面平行

【典型题型讲解】

考点一：线面平行

例1.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形A2CZ)是平行四边形，AB=1,AD=2,E,F^-

别为棱尸C,AB的中点.

(1)证明：EP〃平面ADP；

CQBP2

例2.已知正方体ABC。-4用GA中，P、。分别为对角线30、CQ上的点，且启=而二4・

D，M、----

（1）求证：尸Q//平面A"D4；

【方法总结】

中位线、平行四边形的性质、等比例线段

【练一练】

1.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，设G,〃分别为期，/C的中

点，求证：GH〃平面A4D.

D

2.如图，直四棱柱26切-4笈G”的底面是菱形，E,M,儿分别是64BB、,42的中点.证

明：腑〃平面&DE；

3.若图，三棱柱ABC-A瓦G的侧面BCG片是平行四边形，BQ1CQ,AC,且石、

产分别是8C、44的中点.

⑴求证：跖〃平面4GCA；

由ABCD为直角梯形'-2EM时，直线CE"

入比。中，底面ABW证明.'当MA""

，四棱镀E-ABC：,点M在梭瓶上

4.如图

由BE=2B。

AB=

平面BDM

E为棱DD的中点.求

，底面ABCD为平行.形'

6.如图，在四棱锥尸-ABCD中，R4_L平面ABCD,BC//AD,ADJ.AB,过AO的平面

与PC,PB分别交于点M,N,连接MN,AN,MD.

(1)证明：BCHMN.

7.己知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，设平面PAO与平面P8C交线为/.

(1)证明：〃/平面ABCD；

考点二：面面平行的证明

例1.如图，在多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，面ABEE和面ADGE为全等

的矩形，求证：平面〃平面CNG

【方法总结】

线面平行

【练一练】

1.如图，在正方体力&*46K4中，S是合〃的中点，E,F,G分别是8GDC,SC的中点,

求证：

(1)直线£67/平面"吻为；

(2)平面EFG//平面BDD限.

考点三：线面平行的性质

例1.如图，四边形A3CD中，ABYAD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,

AD上，EF//AB,现将四边形ABCD沿EF折起，使BE1EC.

⑴若8E=3,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP〃平面ABEF?若存在，求出

4p

一的值；若不存在，说明理由.

例2.如图所示，在多面体ABCD跖中，AB//CD,ABLBC,AB=2BC=2CD,四

边形ADEF为矩形，证明：DF〃平面BCE

AB

【方法总结】

线面平行得到线线平行

面面平行得到线面平行

【练一练】

1.如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与相交于“，平面ADM平面

BCEF=直线EF,求证：EF//DA

AB

PA=PB,。、E分别是棱BC、，阳的中点.

(1)证明：AB±PC；

⑵线段AC上是否存在点尸，使得〃平面也尸？若存在，指出点尸的位置；若不存在,

请说明理由.

【巩固练习】

1.已知〃，〃是不同的直线,d〃是不同的平面,下列命题中真命题为()

A.若机utz,“〃火则机〃〃B.若能〃a,/“〃〃，则a〃6

C.若a〃尸，机u£,则7〃aD.若a〃尸，机〃e,则机(3

2.在如图所示的几何体中，正方形ABCD与梯形AB所所在平面相交,EB//FA,

FA=AB=-EB.

2

(1)证明：叱〃平面3CE；

3.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形.

(1)证明：BC//平面PAD；

4.如图，在四棱锥尸-ABC。中，四边形A8CD为平行四边形，AC,8。相交于点。，点E

为PC的中点.求证:

⑴直线R4，平面BDE；

5.在正方体ABCD-A4GA中，加4下分别是人民0/九想的中点.

⑴证明：平面ACVE〃平面BCR；

6.如图，正方形ABCD和直角梯形ABEF不在同一个平面内，AF//BE,ZABE=90°,

AB=AF=1,BE=2,CE=45,尸是BE的中点.

⑴证明：平面DEF〃平面PAC；

7.如图，在等腰直角三角形PAD中，/A=90°,AD=8,AB=3,B、C分别是外电＞上的

点，且AD/ABC,M.N分别为BP、C£＞的中点，现将43CP沿BC折起，得到四棱锥

P-ABCD,连接MN.证明：MN//平面上4。；

8.如图，在长方体A8CZJ-4与GR中，E,P分别是线段4月，BC的中点，证明：EFII

平面441GC

第20讲：空间几何平行证明解析版

【基础知识回顾】

一、两条直线平行证明方法

1、三角形中位线2、平行四边形的性质

3、等比例线段4、线面平行的性质

5、面面平行的性质6、线面垂直的性质

二、线面平行证明方法

1、线面平行的判定定理

平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与平面平行

3、面面平行的性质

若两面平行，那么一个平面中任意一条直线都与另一个平面平行

四、面面平行证明方法

1、面面平行的判定定理

一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，那么两个平面平行

【典型题型讲解】

考点一：线面平行

例1.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形A2CZ)是平行四边形，AB=1,AD=2,E,F^-

别为棱尸C,AB的中点.

(1)证明：EP〃平面ADP；

证明：取PO的中点。，连接AQOE.

QVPCD中，。,£分别为尸£＞了＜?的中点，，。初/。,。石=；。，

改/分别为PCA8的中点，：.AF//CD,AF=-CD,AF//OE,AF=OE,

2

故四边形A/石。为平行四边形，，瓦7/Q4,

EFZ平面尸AD,OAu平面尸AD,二〃平面PAD.

p

c

CQBP2

例2.已知正方体ABC。-A旦GA中，P、。分别为对角线30、8上的点，且京=访=『

(1)求证：尸。//平面ARD4;

d)连结CP并延长与ZM的延长线交于M点,

COBP2COCP2

又因为虐=而=.，所以焉=万彳=2,所以尸Q//MR.又平面4RD4,Pgcz

平面A^DA,

故尸Q〃平面ARD4.

【方法总结】

中位线、平行四边形的性质、等比例线段

【练一练】

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，设G,H分别为PB,4C的中

点，求证：GH〃平面A4Z).

【答案】证明见解析.

【节选】证明：连接BD,易知ACiBD=H,BH=DH.

又由BG=PG,故GH//PD.

又因为平面为〃PDu平面用。，

所以GH〃平面为〃

2.如图，直四棱柱力6切-4旦G"的底面是菱形，E,M,"分别是64微，42的中点.证

明："V〃平面&DE；

【答案】证明见解析

【解析】证明：连结合GME.

因为〃，£分别为郎，8。的中点，所以跖〃8c且延工6c

2

又因为"为42的中点，所以巾工4〃由题设知463%,可得a42,WME11ND,

2一-一

因此四边形仞磔为平行四边形，MN//ED.又椒(Z平面功G,所以JW平面0座.

3.若图，三棱柱ABC-A4G的侧面BCG片是平行四边形，BQ1CQ,8£八4C,且E、

产分别是BC、的中点.

(1)求证：EF〃平面AGCA；

(1)

证明：取AG中点G,连接FG、CG.

因为F、G分别是4田、AG的中点，

所以尸G〃4G且=

在平行四边形BCQBI中，B'CJIBC且Bg=BC,

因为E是BC的中点，所以EC//8G且EC=g耳G.

所以EC〃bG且EC=FG,所以四边形正CG是平行四边形，所以小〃GC,

又因为在平面AGC4,GCu平面AC|CA,所以所〃平面AC|CA.

4.如图，四棱锥E-A5CD中，底面ABCD为直角梯形，且

帅=4£=5£=25。=2。0=4,点M在棱AE上.证明：当M4=2£M时，直线CE〃

平面皮如■

【答案】证明见解析

【解析】证明：连结AC与3。交于点N,连结肱V

CDCN_1

QAB//CD,AB=2CD=4,.•.△CNDsAANB，

AB~AN~2

EM_1EMCN

:.MN//EC

MA~2MA~^N

又肱Vu面JBDM,。£(2面50”，，。£〃平面5。河.

5.如图，在四棱柱A8C£)-4BGD中，底面A8CD为平行四边形，E为棱。6的中点.求

证：2。曲平面ACE.

【详解】连接2D交AC于点0,连接EO,

因为四边形ABC。为平行四边形，所以。为8。的中点，

又因为E为。。/的中点，所以E。为aes。的中位线，所以Eoaez%

又因为8。这平面ACE,EC®平面ACE,所以8£>曲平面ACE.

6.如图，在四棱锥尸-ABCD中，R4_L平面ABCD,BC//AD,ADJ.AB,过AD的平面

与尸C,PB分别交于点、M,N,连接肱V,AN,MD.

(2)证明：BC//MN.

证明：因为8C7/AD,3Cu平面P3C,AD<z平面P3C,

所以，">//平面P3C,

因为，过AD的平面与PC,尸3分别交于点M,N,即ADu平面ADMN,平面PBCc平面

ADMN=MN,

所以，AD//MN,

所以BC//MN

7.已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，设平面与平面P3C交线为/.

(1)证明：〃/平面ABC。；

因四棱锥尸-ABCD的底面为菱形，贝!1AO//8C,而A£>u平面PAD,3co平面PAD,

则有BC//平面PAD,又平面F4Oc平面P3C=/,BCu平面PBC,于是得//ABC,

而3Cu平面ABCD,I(Z平面ABCD,

所以/〃平面ABCD.

考点二：面面平行的证明

例1.如图，在多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，面ABEE和面ADGE为全等

的矩形，求证：平面5DE〃平面CNG

【答案】证明见解析

【解析】证明：••,四边形ABCD为正方形，四边形ADGE为矩形，3CEG,且

BC=EG.

四边形BCGE为平行四边形，•••BEHCG.

又：BEa平面CFG,CGu平面CFG,•••BE〃平面CFG.

同理。E〃平面CFG.

又,：BE,OE为平面BOE内的两条相交直线，平面5£>E〃平面CFG.

【方法总结】

线面平行

【练一练】

1.如图，在正方体力6屹4氏4"中，S是氏”的中点，E,F,G分别是8GDC,SC的中点,

求证：

（1）直线）//平面〃取B；

（2）平面EFGII平面BDDA.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）如图，连接的，因为£,G分别是8GSC的中点,

所以£G//M.

又因为Wu平面及以反，EGU平面BDDA,

所以直线£6//平面MA瓦

（2）连接加，因为尸，G分别是次;，SC的中点，

所以囚G//W.

又因为以u平面朋瓜，6G（Z平面及族儿

所以小//平面BDDB,

由（1）有直线旗//平面98；

又£Gu平面厮G,A7U平面厮G,EGC\FG=G,

所以平面EFG//平面BDDA.

考点三：线面平行的性质

例1.如图，四边形43CD中，AB^AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,

AD上，EF//AB,现将四边形ABCD沿所折起，使BE1EC.

A

AF

⑴若3E=3,在折叠后的线段AZ)上是否存在一点P,使得CP//平面ABEF?若存在，求出

Ap

而的值；若不存在，说明理由.

(1)

Ap1

AD上存在一点P,使得CP//平面ABEF,此口寸而=弓，

Ap1Ap1

理由如下：当而=5时,茄7

如图，过点P作尸M〃ED交AF于点M,连接ME,

MPAP_1

则

~FD~AD~3

0BE=3,0FZ)=3,^\MP=1,又EC=1,MP//FD//EC,^MP//EC,

故四边形MPCE为平行四边形，^CP//ME,

又CPE平面ABEF,MEu平面ABEF,EICP//平面ABEF.

综上，存在点P,使得CP〃平面ABEF,­=-.

例2.如图所示，在多面体ABCD跖中，ABHCD,AB±BC,AB=2BC=2CD,四

边形ADE尸为矩形，证明：DF〃平面BCE

E

【答案】证明见解析

【解析】取AB的中点为M,连接引0,CM,DM,因为40//CD且40=CD,

四边形AMCD为平行四边形，所以AD//MC且AZ)=MC,

又因为四边形石户为矩形，所以FE//MC且£E=MC,

所以四边形EFMC是平行四边形，所以FM//EC,

且ECu平面BEC,9仁平面5£。，

所以9//平面BEC,同理可证"D//平面BEC,又FMcMD=M

所以平面"D77//平面BEC,因为。尸u平面MDF

所以£)F〃平面8CE.

【方法总结】

线面平行得到线线平行

面面平行得到线面平行

【练一练】

1.如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与3。相交于。,，平面ADER平面

BCEF=直线EF，求证：EF//DA

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形ABCZ）为菱形，所以AT）〃BC,

平面BCEF,6。匚平面5。斯.・.4£）〃平面5。即，

因为平面ADEF厂平面BCEF=直线EF,ADu平面ADEF，所以EF//AD；

2.在三棱锥P-ABC中，AC=BC,PA=PB,D、E分别是棱8C、’阳的中点.

（1）证明：ABVPC-,

⑵线段AC上是否存在点尸，使得AE〃平面尸〃尸？若存在，指出点尸的位置；若不存在,

请说明理由.

”=2

【答案】⑴证明见解析；（2）存在，当AC上的点尸满足4尸.

【分析】（1）取A8的中点利用线面垂直的判定、性质推理作答.

（2）AC上的点F满足三=2,连CE,借助三角形重心定理，利用线面平行的

AF

判定推理作答.

（1）

取A3的中点连接产〃，S,如图，因AC=3C,PA=PB,^\CHYAB,PHYAB,

而C"u平面PHC,PHu平面PHC,CHcP"="，于是得AB,平面PHC,又PCu

平面PHC,

所以ABLPC.

(2)

当AC上的点F满足弁=2时，AE〃平面PZ卯

AF

连接CE交心于G,连接尸G,D、E分别是3C、的中点，

则G是的重心，有||=2,即有=因此尸G//AE,

GEGEAF

而AEa平面PED,FGu平面尸FD,

所以AE7/平面PFD.

【巩固练习】

1.已知"7，”是不同的直线,a,£是不同的平面，下列命题中真命题为（

A.若机ue,“〃cir,则为2〃“B.若机〃a,机〃万，则々〃尸

C.若《■〃尸，相u尸，则7〃aD,若a〃£，加〃a,则根/3

【分析】可放在长方体中排除错误选项，选出正确选项.

【详解】解:由题知,不妨将修，”,a,£放在长方体中可知,

关于选项A,如图所示可知A错误，

关于选项B,如图所示可知B

关于选项D,如图所示可知D错误,

根据面面平行的性质定理可知，选项C正确.

故选:C

2.在如图所示的几何体中，正方形ABCD与梯形ABEF所在平面相交，EB//FA,

⑴证明：叱〃平面3CE；

【详解】（1）■.四边形ABCD为正方形，，AD〃3C,又BCu平面BCE,ADz平面BCE,

r.AD〃平面BCE；

EB//FA,£Bu平面BCE,平面BCE,二E4〃平面3CE；

又ADcE4=A,AD,E4u平面E4D,.•.平面EW〃平面BCE,

//u平面EW,.1DR〃平面BCE.

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是正方形.

P

【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以BC//AD.

又因为3CZ平面PAD，A£）u平面PAD,

所以BC//平面PAD.

4.如图，在四棱锥P-A8CZ）中，四边形ABCD为平行四边形，AC,8。相交于点。，点E

为PC的中点.求证：

(1)直线，平面BDE；

【详解】(1)如图，连接。E,因为。为平行四边形ABC。对角线的交点，所以。为AC的

中点,

又E为PC的中点，所以OEPA.

因为OEu平面BDE,PAcZiPffiBDE,所以直线RV/平面BDE.

在正方体ABCD-AB£A中，M,N,E分别是。',的中点.

5.ABA4t

【详解】(1)连接A8,

回N,E分别是。口,用的中点，

0AEUDN豆AE=DN,

回四边形ADNE是平行四边形，

0ENUAD,

又AD//5C,

QEN//BC,

回BCu平面BCR,EN<Z平面BCR,

回硒〃平面2CR,

回M,E分别是A氏惧的中点，

©ME//ABAB//D©,

^ME//DtC,

又2Cu平面BCR,ME.平面BCR,

回MEV/平面BCR,

又UlMEE