2024届辽宁省五校联考高三期末考试数学试题含答案

2024届辽宁省五校联考高三期末考试数学试题+答案

P

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.己知43均为集合。={1,2,3,4,5的子集,1UB={1,2,3},Zfl8={l}，

勉={3,4,5},则/=

A.{1}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.z=(l+2i)(2-i),则z的共物复数、等于

A.3+4iB.3—4iC.4+3iD.4—3i

3.若sina+sin£=乎，cosa-cos=»则

A.cos(a+0=_gB.cos(a+〃)=,

0

C.cos(a-j3)=~-D.cos(a-/3)--

88

.4.(x—3)(x+2)5的展开式中/的系数为

A.-40B.40C.120D.200

5.设。>0,b>0,2a+b=l,则的最小值为

ab

A.2y/2B.I+2V2C.2+2>/2D.3+2V2

6.函数=2sin(3+0(xeR,a>>0,OW0<2")的部分图象如图，则

7t7t7137r

A.0)=一,(P=~B.CD——,

8444

713兀冗71

C.d>=—,(P=­D.69=一,(p=~

8444

7.已知函数/(%)=」一+'+」一，设甲：a=l

乙：/(x)是奇函数.则

x-\xx+a

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊，阿波罗尼奥斯(前262-前190)的《圆锥

曲线论》全书8篇，共487个命题.16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是

自然界物体运动的普遍性形式.17、18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立

高三年级数学试卷第1页共4页

发展，18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述.

现有圆锥尸。顶点为尸，底面圆心为。，，母线与底面直径的长度相同.点4在

侧面上，点5在底面圆周上，MN为底面直径，二面角2-8为30。.己知

平面力断与圆锥P。，侧面的交线是某椭圆的一部分，则该椭圆的离心率为

A立C.iD.在

225

选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.X是随机变量，

A.若X~P),则E(X)=,D(X)=npQ_p)

B.若X〜则石(X)=也

N

C.若X〜N(〃02),则E(%)=〃,D(X)=o-2

D.若X〜N(0,9),贝!)0<尸(X20)<0.5

10.已知正方体在8TBCPi的棱长为1,贝!！

A.直线4c与。”所成角的正弦值为斗

B.直线4c与平面O/C所成角的正弦值为半

C.点用到直线。/的距离为。

D•点用到平面的距离为当

11.已知点45在双曲线C：，-歹2=1上，点〃(%%)是线段Z8的中点，贝I」

A.当今2_%2>］时，点2,8在双曲线的同一支上

B.当％2-招2<。时，点48分别在双曲线的两支上

c.存在点45,使得与2-%2=0成立

D.存在点43,使得0<%2—%2<］成立

12.己知函数/㈤=办2_%+sinx,则

A.当a>0时，/(0)是的极小值

B.当°=工时，/(二)是/(%)的极大值

712

C.当a<l-sinin寸，ax2-x+sinx<0(xG(0,1))

D.当a>l-sinl时，ax2-x+sinx>0(xe(0,1))

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量|a|=2,|b|=3,且。6=1,贝！｝12a+61=.

14.己知数列｛。“｝是首项为25,公差为-2的等差数列，则数列｛|4』｝的前30项的

和为.

15.在正三棱台居C-/AG中，45=2,4与=1,力4=1,则该棱台的体积为

16.点/在圆(x-3)2+V=2上，点8在抛物线必=船上，则线段A8长度的最小

值为.

四.解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)

△ABC的内角N,8。的对边分别为a,b,c.

已知(sinB+sinC)2=sin2A+sin5sinC.

(1)求4；

(2)若抬a-26=c,求8.

18.(12分)

为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠,

给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同.经过一段时间后用某种

科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比.根据试验数据得到如下直方图：

(1)求残留百分比直方图中a的值；

(2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表)；

(3)在体内药物残留百分比位于区间［5.5,7.5］的小鼠中任取3只，设其中体内药

物残留百分比位于区间［65,7.5］的小鼠为X只，求X的分布列和期望.

高二生州新堂卡卷笛2而北4而

19.（12分）

如图，在平行六面体458-44GA中，AB=AD=AA}=\,ZDAB=90°,

■,

cos<AA],AB>=cos<AA1,AD>=>点M为BD中点.

(1)证明：平面4G。；

(2)求二面角朋1-。的正弦值.

20.(12分)

记数列｛%｝的前九项和为邑，数列｛"｝的前〃项和为看.已知邑=3-1,

(1)求｛%｝的通项公式；

131

(2)求证：T<——(H+6)—.

n22

21.(12分)

在平面直角坐标系中，已知点耳(-2,0),耳(2,0),点尸满足|产兄|+|尸乙|=276.

记尸的轨迹为C.

(1)求。的方程；

(2)已知点4(0,1),设点〃,N在C上，且直线MN不与x轴垂直，记用，总分

别为直线4M,ZN的斜率.

(i)对于给定的数值；I(XeR且若22=%,证明：直线MN经过

定点；

(ii)记(i)中的定点为。，求点0的轨迹方程.

22.(12分)

(1)已知函数/(x)及其导函数的定义域均为｛xeR|x>0｝,设y=g(x)

是曲线y=/㈤在点(%,/(x,))处的切线的方程证明:当r(x)是增函数时，

/W*(外

(2)己知e'Nlnx+c(x〉0),设c的最大值为7,证明：2.30<c0<2.35.

(参考数据：1.648<1.649,20.0<e3<20.1,0.693<In2<0.694)

高三年级数学试卷第4页共4页

数学试卷参考答案

1-4.BDBA5-8.DACB9.ABC10.BC11.ABC12.ABD

13.V2914.45815.递16.V2

12

17.解：(1)因为(51113+$111。)2=5］11224+511130111。，

所以(Z?+C)2=〃2+bc........2分

n\\b2+c2-a2=-bc.所以，.从而4=］20。.……4分

__2bc2

(2)因为ga-2Z?=c,所以J^sinA-ZsinBusinC.

3

所以——2sinB=sin(60。—5),其中0。<5<60。.……6分

3

所以——2sinB=sin60°cosB-cos60°sinB.

2

整理得，—sinB+^cosB^—,所以5亩(8+30。)=3.……8分

2222

解得8=30。.……10分

18.解：(1)因为0.15+0.20+4+0.20+0.10+0.05=1,所以。=0.30.……2分

(2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值为：

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.……4分

(3)药物残留百分比位于区间［5.5,7.5］的小鼠有15只，其中位于区间［6.5,7.5］的

小鼠有5只.

离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.(或X"(15,3,5))……6分

3X2

X的分布列为：P(X=0)=士r°C?=?44,P(X=1)=ECC^=竺45，

Cl9191

C2cl20C3co2

P(X=2)=^^=—,P(X=3)=-^^=—.......10分

C：591C：591

244S2025

X的期望为E(X)=0义一+lx上+2x、+3x—=1.(或E(X)=3x±=l)

9191919115

……12分

19.(1)证明：连结BQ,交AG于点N,连结DN.

在平行四边形342。中，B[N=MDRB、N〃MD,

所以4M)暇是平行四边形，从而……2分

因为4M不在平面AG。内，ND在平面46。内，

所以4M〃平面AG。.……4分

(2)解：如图，以A为坐标原点O,A月为x轴正方向，A£j为y轴正方向，向上

高三年级数学参考答案第1页共4页

方向为2轴正方向，建立空间直角坐标系。-孙z.所以A(0,0,0),3(1,0,0),

£>(o,i,o),c(i,i,o).设点a为(尤,y,z),其中z>o.

|A4J=1,

A^ABV2

由题意得＜

\AAi\-\AB\~^'

A\AD_1

JMTiADri'

J,,[也

x2+y2+z2=1,X~~T

即,(x,y,z)(1,0,0)=也解得<1

1-12'"2'

(x,y,z)-(0,1,0)11

Z=一.

bl2

设平面的法向量为〃1=(x,y,z),有.

nx-AA^—0.

(%,y,z).(l,0,0)=0,x=0,

所以l、，逝11、c即11令"i=(0,1,—1).

(x,y,z)-(—=0.-x+-y+-z=Q.

、乙乙乙l乙乙乙

n2-AD=0,

设平面胡。的法向量为〃2=(%,y,z),有＜

n2-AAi=0.

(x,y,z).(0,1,0)=0,y=0,

即4〈及11令%=(i,o,-&).8分

(x,y,z)-(—=0.---x+—y+—z=0.

I222

(0,1,-1).(1,0,-V2)V2_=

所以cos<nvn2>=

I«1IIW2।府+F+(_1)2.J]2+02+(_a)2V2-V33

……io分

从而二面角A-A。-a的正弦值为彳・12分

21+I1

20.解：(1)当”=1时，a=S=-----1二—1分

]i1+23

2向2〃

当*2时，%=S〃-%=(•-1)-(-1)=-----------2\……3分

〃+2〃+1(〃+2)("+l)

高三年级数学参考答案第2页共4页

/2.T*

所以｛4｝的通项公式为4----------------2J,neN.4分

(n+2)(〃+1)

、〃〃

⑵/c有-27=—1=1(—+2)(—+1)-—1=(_«+3_+-2,)—1

ann2n2

(八12、1

,6分

2〃n2n

设凡=(1+3>摄+(2+3>*++(〃+3)-/，

所以;凡=(1+3)]+(2+3).?++("+3).击•

从而;3=(1+3)。+(4++,)-(〃+3)焉,

乙乙乙乙乙

整理得&=5—(〃+5).£.

9分

1

设也=令《+(|)+(-)

•9+§•*+n2"

所以叱＜(,)•11

H——++—)

232〃

=(+j+「」n分

r：22232"22"

131

从而，=耳+叱4耳一(〃+6＞吩.12分

21.(1)解：因为2〃=2几，c=2,2分

22

所以P的方程；为匕+匕=1.3分

62

(2)设直线ACV的方程为：y=kx+m,其中K女+机wl.

22

%Q

----1-----1

点M,N满足：\62'所以满足：%2+3(Ax+m)2=6.

y=kx+m.

h6km3m2-6

从H而与+/=-中,w=iF7T-5分

43k-m+1

(i)证明：因为加T.〉NT=(%+>—1)("N+加-1)

X_左+

XM一6N(xM-43)(XN-A/3)3(J5m+l)

所以—*—2=4,整理得加=—2担(6k+i).

8分

3(y/3k+m+l)3A-1

所以直线MN的方程为：…-叁(改+-"f+打,

高三年级数学参考答案第3页共4页

所以直线跖V过定点(6•到「2).……10分

3A-132-1

q_33.+1,

(ii)解：由厂。产「得为=-f%(其中为工⑻.

32+1»3

/e--32-l'

所以点。的轨迹方程为直线>=-£x(除去点(G,-l)).