辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）

大连市2022〜2023学年度第一学期期末考试

d⅛-必JJ”.

高一数学

第I卷(选择题)

一、单项选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

1,已知集合A=。'？"},集合B={x∣(x+l)(x-3)<θ},则AnB=()

A.{-l,0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2}

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合B,再利用交集的定义运算即得.

【详解】因为3={x[(x+l)(x—3)<θ}={+l<x<3},又A={l,2,3,4},

所以AB={l,2}.

故选：C.

2.已知向量，=。,2),b=(x,-4)>且二〃]，则实数X=()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】：向量α=(l,2),b=(x,-4),且二〃%,

.∙.lx(Y)-2x=0,解得χ=-2.

故选：D.

3.若4，...,x∣o的方差为2，则3x∣+l,3Λ∙2+1,...,3x∣o+l的方差是()

A.18B.7C.6D.2

【答案】A

【解析】

【分析】设百，々，…，XK)的平均数为亍，写出方差的表示式，同样地表示出所求的方差，利用两式的整

体关系求解.

222

【详解】解:设玉巧，…，MO的平均数为无，方差-X)+(Λ2-X)+...+(X10-X)]=2

又易知3%+1,3X2+1,...,3χo+l的平均数为3++1.

且(3七+1)_(3彳+1)=3((一了),

所以其方差；2222

S=T)[9(X1-%)+9(Λ2-%)+...+9(X10-Λ)]=9SI=18.

故选：A.

4.中国共产党全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕.内涵丰

富.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会(其中教师2份，学生3份)，现从中随机抽选2份参

展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是()

1339

A.—B.一C.—D.—

2051010

【答案】B

【解析】

【分析】先求出基本事件的样本空间，再根据古典概型计算.

【详解】在5份优秀报告中，设教师的报告为4,出，学生的报告为2,仇，从中随机抽取2份的样本

空间为：

(αl,02),(αl,⅛l),(α∣,Z72),(a∣,^),(<¾,Zjl),(<¾,⅛2),(tz2,⅛),(Z7l,⅛2),(∕>l,∕j3),(Zj2,⅛3),

共10个，

恰好是学生，教师各一份的概率为〃=挤=|；

故选：B.

5.下列函数中，其图像如图所示的函数为()

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的性质逐项分析即得.

【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为(一。,0)U(O,+8),且在(0,+8)单调递减，

,11I

对于A,y=X3=M=,定义域为(y,0)u(0,+∞),〃_力=_£3

所以函数为奇函数，在(0,+8)单调递减，故A正确；

对于B,y=jJ=yj,定义域为R,故B错误；

对于C,ʃ=Λ5=3/7.定义域为R，故C错误；

2ɪɪ

对于D,y=χ3=Jτ,定义域(-0),0)U(0,+∞),"一*)=丁T=G=，函数为偶函

√Λ∖∣∖~x)7X

数，故D错误.

故选：A.

6.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件.随着管道泄漏，大量

天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响.假设海

水中某种环境污染物含量尸(单位：mg∕L)与时间/(单位：天)间的关系为：P=POeTL其中此表示

初始含量，火为正常数.令M=号9为，之间海水稀释效率，其中4，鸟分别表示当时间为4和J

∕2τ∣

时的污染物含量.某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，

共分为四期，即(0,5],(5,10],(10,15],(15,20]分别记为I期，∏期，IH期，IV期，则下列哪个时期的

稀释效率最高().

A.I期B.IH期C.DI期D.IV期

【答案】A

【解析】

【分析】利用两点的斜率公式及函数图象的特点即可求解.

【详解】由题意可知，μ表示两点心,6)和«2，6)间的斜率绝对值，但函数P=4∙e*'的图

象特点是递减同时后面会越减越慢.

故选：A.

9

7.己知x>0,y>O,且满足x+2y-xy=O,则7；-----的最大值为()

2x+y

A.9B.6C.4D.I

【答案】D

【解析】

21

【分析】由题可得一+—=1,利用基本不等式可得2x+yN9,进而即得.

Xy

【详解】因为x+2y-孙=0,χ>0,y>0,

21

所以—+—=1,

Xy

所以2x+y=(2x+y)(2+U=0+卫+522庐必+5=9,

lɪy)Xy∖Xy

2y2x

当且仅当上=—,即％=y=3时等号成立，

Xy

9八9

所以能力’即E的最大值为L

故选：D.

8.已知定义域为。的函数/(x),若∀χ∈D,者∣5W∈D,满足X+[∕)=",则称函数/(x)具有

性质P(α).若函数/(x)具有性质P⑴，则“/(x)存在零点”是"2∈ZT的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据新定义寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.

【详解】若/(χ)存在零点，令/(x)=3x-l,x∈[0,l],

则用)=0，

因为VXl∈[0,1],取A2=I-g玉，

则且士IJgI=土土2二a=ι,

1_3」22

所以函数/(尤)具有性质尸(1),但是2<[0,l],

故充分性不成立，

若2c。，

因为函数/(x)具有性质P⑴,

取士=2,则m/e。，使得

%+/(々)_2+∕(⅞)_

——J

22

所以/(Λ2)=0,所以/(x)存零点々，

故必要性成立，

综上所述：若函数/(x)具有性质P⑴，

则“/(%)存在零点”是“2w。”的必要不充分条件，

故选：B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.)

9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利

奥特首次使用“V”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若mb,CeR,则下列命题正

确的是()

A.若且“<b,则一>一B.若α>b,0<c<1,贝∣Jc"<c"

ab

(∖<∙/.∖<,

—>—

b)∖a)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用不等式性质结合可判断A,根据指数函数的性质可判断B,根据不等式性质结合对数函数的

性质可判断C,根据哥函数的性质可判断D.

【详解】A中，4<()<h时，则错误；

ab

B中，因为α>b,O<C<1,所以c"<<?成立，正确；

C中，因为a>3>l,c>l,所以IOgca>log<∙b>0,-------ʒ-----r>θ,

logctz∙logf⅛

11

所以■；-----<■；一7»即Iog“c<k‰c,正确;

logt.aIogcb

D中，由α<h<-l,可得0>1>2>O,又c>o,所以(N]>f->∣,正确.

baIaJ

故选：BCD.

10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5"，事件B表示“红色骰子的

点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件。表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则()

A.A与C互斥B.B与。对立C.A与方相互独立D.8与C相互独立

【答案】AD

【解析】

【分析】根据互斥的意义判定A；利用对立事件定义判断B；

利用独立事件的概率公式判断C、D.

【详解】事件4两枚骰子的点数之和为5,

则为(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)

事件C：表示“两枚骰子的点数相同，

则为(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)

故事件A与事件C互斥，所以A正确；

事件8中与事件。会出现相同的情况，例如(2,1)(4,3)等

故事件B中与事件/)不对立，故B不正确；

事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”

事件D的对立事件D表示“掷出的点数都是偶数点”

所以P(A)=后4=§1,P(-D)=五91二,P(A-0=°

所以P(A5)HP(A)PC5)

故C不正确;

P⑷T=K(C)=MMM)总4

所以P(BC)=P(B)P(C)

故D正确;

故选：AD.

II.已知点P为，ABC所在平面内一点，且PA+2P8+3尸C=0,若E为AC的中点，尸为8C的中点，则

下列结论正确的是()

A.向量PA与Pe可能平行B.点P在线段EF上

,

C.∣PE∣:∣∕F∣=2:1D.SAPAB:SΔPAC:SAPBC=1:2:3

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算化简PA+2P6+3PC=0得到PE=-2PQ即可判断ABC选项；

根据点为线段靠近点的三等分点得到然

PEFFSPAB=!SABC，SZ)AC=2SABC，Spβc=Sabc,

236

后得至IJS.：SPAC：SPBC=3:2:1,即可判断D选项•

【详解】因为P4+2P8+3PC=0,所以Λ4+PC+2(P8+PC)=2PE+4PF=0,即

PE=—2PF，所以点P为线段Eb靠近点F的三等分点，故A错，BC正确；

设AB边上的高为”，因为E,产分别为AC,BC中点，所以S…卜…

sPAC+sPBC=~sABC'又点尸为线段ER靠近点F的三等分点，SPAC=L.PE∙h，

-I∕1V.IOV/1UVIIZlL2

SPBC=T-PF∙h,所以SPAC=2SPBC，则S=—S,SPBC=ZS)所以

ZJpacabcOabc

SPAB：SPAC：SPBC=不：72=3：2：1,故D错.

ZɔO

故选：BC.

12.已知函数/(X)=f+3χ-5(x>0),力(X)=e"+x-2,力(X)=InX+2x-4的零点分别为x∣,

x『刍，则下列结论正确的是()

x0d

A.xl<%2<%3B.X2+x3=2C.Λ(ι)<-Λ(⅜)=Λ(⅞)

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得毛，巧，七所在区间，进而可判断ACD,由题可知

々，尤3分别为y=e2",y=glnx与直线y=2-x的交点的横坐标，结合反函数的性质可判断B.

(3、997

【详解】因为工(X)=X2+3x—5(x>0)单调递增，又力⑴=T<0,y；-=-+--5=->O,

所以x∣∈μ,∣-,

因为人(X)=e2'+x—2单调递增,^(O)=-1<O,Λ(l)=e2-l>0,

所以％∈(0,l),则%>/，故A错误;

因为力(X)=InX+2x—4单调递增，A(I)=Ing—l<0,力(2)=ln2>0

所以七∈(∣,2∣,又x∣∈(l[),所以力(XJ<0,故C正确；

因为与e(0,l),⅞∈∣^∣,2j,所以力(%)<0,Λ(⅞)>θ>故D错误；

由力(X)=e"+x-2=0,可得e?*=2-x，

由力(X)=InX+2x-4=0,可得glnx=2-x,

又函数y=e2χ与y=ginx互为反函数图象关于y=χ对称，

作出函数y=e2*,y=glnx及y=2—X的图象，

则y=e2*,y=glnx与直线y=2-x的交点的横坐标分别为々，⅞.且々+七=2,故B正确.

故选：BC.

第∏卷(非选择题)

三、填空题(本大题功4小题，每小题5分，共20分.)

l0825

13.2+Iog24=.

【答案】7

【解析】

【分析】根据对数的性质和公式计算即可.

【详解】原式=5+2=7.

故答案：7.

14.已知向量”，6满足0=(—1,2),方=(X,1),∣α+4=3,则实数X=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得α+b=(τ+x,3),根据向量的模的坐标运算列方程即可得

实数X的值.

【详解】解：已知向量α,8满足a=(T,2),U(x,l),所以a+8=(T+x,3),

22

则,+川=|(-1+x,3)∣=λ∕(-l+x)+3=3,解得尤=1.

故答案为：1.

15.在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高

是170cm,女生的平均身高是165cm,则估计该校全体学生的平均身高是cm.

【答案】168

【解析】

【分析】根据平均数公式求平均数即可.

(详解】估计该校全体学生平均身高为170x24+165x16=ɪðɛCrn

24+16

故答案为：168.

16.函数/(x)=(4-巧(d+aχ+与满足：vχeR,都有“X-2022)=/(2024-X),则函数“力的

最大值为.

【答案】16

【解析】

【分析】先根据条件就出。和从再运用换元法构造二次函数，运用二次函数求最大值.

【详解】令∕=χ-2022，则原条件转化为/（f）=∕（2τ）,即“X）是关于x=l的对称的,

/(θ)=∕(2)

解得α=-4,6=0,:./(x)=(4-f),_以)=(f_2》_8乂_》2+2χ),

"T)="3)

令上=》2—2x=(x—1)2—l≥τ,/(X)=-M攵-8),当A:=4时，取得最大值,

/（x）max=Yx（4-8）=16；

故答案为：16.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图所示，在ABC中，。为BC边上一点，且BD=2DC∙过。点的直线所与直线AB相交于E

点，与直线AC相交于尸点（E,尸两点不重合）.

（1）用A8，AC表示AO；

,■、I2

（2）若AE=IAB，AF=μAC>求彳+—的值.

Zλμ

【答案】（1）AD=-AB+-AC

33

（2）3.

【解析】

【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可;

（2）根据（1）的结论，转化用AB，AF表示AD，

根据D,E,F三点共线找出等量关系；

【小问1详解】

在zλABO中，由AD=AB+80，

又BD=2DC，

所以8O=2BC,

3

2

所以AD=AB+3。=AB+-BC

3

=AB+∣(AC-AS)

2O

=AB——AB+-AC

33

=-AB+-AC

33

【小问2详解】

-19

因为AO=-A8+-AC,

33

又AE=XAB,AF=μAC

11

所以A8=-AE,AC=-AF,

λμ

所以AO=±∙AE+∕AF,

323μ

又。,旦尸三点共线，且A在线外，

_12,

所以有：7T+丁=1，

323μ

12C

即∙γ+-=3.

λμ

18.已知集合A={x∣-IWX≤3},集合B={x帆-24X≤∕W+2,∕MWR}.

(1)若ACB={x∣0<x<3},求实数加的值；

(2)若〃：x∈A,q:XGaB,且P是q的充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)加=2

(2))帅〃>5或m<-3}.

【解析】

【分析】(1)结合交集的定义和ACB={x∣0≤x≤3},分析求解即可；

(2)由题可知4B={x∣x<∕κ-2或x>zn+2},

再由已知可知A⊂¾B,由此得出满足题意的不等式求解即可.

【小问1详解】

因为ACB={x∣0≤x43},

m-2=0m=2

所以《所以《所以〃2=2；

m+2≥3m≥1

【小问2详解】

48={%|尤<加一2或%>机+2},

p：xeA9q∖x≡∖B,且P是4的充分条件

由已知可得Aq所以加一2>3或m+2<—1,

所以m>5或mv—3,

故实数m的取值范围为{时”>5或加<—3}.

19.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式.某直播平

台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播

商家所占比例如图1所示.

（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流.如果按照分层抽

样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：

元），所得频率分布直方图如图2所示.请根据频率分布直方图计算下面的问题；

（i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据

用该组区间的中点值作代表）；

（iɪ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数.

【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；

（2）（i）中位数为342.9,平均数为352.5；

(2)128.

【解析】

【分析】(I)根据分层抽样的定义计算即可；

(2)(i)根据中位数和平均数的定义计算即可；

(ii)根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.

【小问1详解】

4()×(l-25%-15%-10%-5%-5%)=16,40xl()%=4,

所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.

【小问2详解】

(i)根据题意可得(0.001χ3+0+0.003+0.005+0.007)χ50=l,解得α=().(X)2,

设中位数为X,因为(0.001+0.003)X50=0.2,(0.001+0.003+0.007)×50=0.55,所以

(X-300)x0.007+0.2=0.5,解得χ≈≈342.9,

平均数为(225X0.001+275X0.003+325X0.007+375X0.005+425X0.002+475×0.001+525×0.001)×50=352.5,

所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9,平均数为352.5.

(450-420、

(ii)---------×0.002+0.001+0.001×50×800=128,

I50J

所以估计该直播平台“优秀商家’’的个数为128.

20.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人

进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且

领先对方至少2分(包括2分)，即赢得该局比赛.在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果

双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权.

3

(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为m,乙

获胜的概率为|,且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概

率；

、2

(2)已知某局比赛中双方比分为8：8,且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为乙发球

时乙得分的概率为g,各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率.

9

【答案】(1)—；

(2)

9

【解析】

【分析】(1)由题可知两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，然后根据独立事件概率公式即得；

(2)由题可知甲得11分获胜有两类情况：甲11:8获胜或甲11:9获胜，然后结合条件根据独立事件概率

公式即得.

【小问1详解】

设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件A,

若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，

所以P(A)=

【小问2详解】

设“该局比赛甲得11分获胜”为事件B，

甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲11:8获胜；

甲得3分，乙得1分，则甲11:9获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙

甲，

2211211211122114

所以P(B)=—×-×-+—X—X-X-+-X-X-×-+-X-X-X—=—.

3323322332233229

1,]1、

21.已知函数/(X)=用二+1的定义域为R,其图像关于点5J对称.

(1)求实数〃，%的值；

⑵求/盛卜/盛卜∙∙"13的值;

x+∣j+log2+X

(3)若函数g(χ)=y4不二，判断函数g(x)的单调性(不必写出证明过程)，并解关于f

的不等式g(2∕-l)+g(r+2)>L

【答案】(1)a=2,b=-2

(2)IOll(3)-！<f<0

3

【解析】

【分析】(1)根据对称性列方程解出。和/7；

(2)根据对称性分组计算；

(3)构造函数，根据函数的单调性和奇偶性求解不等式.

【小问1详解】

z(11ʌ

有条件可知函数/(χ)经过点不,不

12Zy/(0)+∕(l)=2×l±+ι+±+ι=ι

21l+44+α

_?4Λ'

解得：a=2,b=-2,/(X)=——+1=-------

')4Λ'+24*+2

【小问2详解】

IlJ1-.__1___|_2_0_2_2_=ɪ,__2___|_2_0_2_1_=1ɪIO__l_l__1|_0_1_2__

20232023—’20232023^^'’20232023

岛卜g∣k⅛⅛M黑卜"/卜〔露=】

(2022)

[2023J=IOll；

【小问3详解】

2+X1

由于y=log4^—是奇函数，根据函数平移规则，Λ(%)=g(%)--也是奇函数，

2—X2

2+V

并且由于“X)是增函数，y=Iog4^也是增函数，.∙∕(x)也是增函数，定义域为(一2,2)

不等式g(2r-l)+g(r+2)>l等价于g(2f-l)-g+g(r+2)-g>0,

即Zz⑵一l)+∕z(r+2)>0,Λ(2ZL-1)>-Λ(∕L÷2)=Λ(-Z-2),由于∕z(x)是增函数，

'2-l>τ-2

-2<2/—1<2,解得—<f<0；

—2C<，C+2C<23

综上,(1)。=2,-2；⑵七)+/(募)++∕g∣"θ5⑶一K<0∙

22.已知函数/(χ)的图像与函数g(x)=3、—1的图像关于直线y=X对称，函数

A(x)=log9(∣x-α∣+l).

(1)若α=4,求F(X)=/(x)∕(x)在X∈[O,4]上的最大值；

⑵设"(x)=max{∕(x),2∕z(X)},x∈[0,4],求H(X)的最小值，其中max{α,"}=<一：

【答案】⑴尸(X)在XG[0,4]上的最大值为g

lθg3(l-6∕),6Z≤0

(2)”(x)的最小值Wmin(x)=<Iog3f→1^0<β<8

log3(β-3),6f≥8

【解析】

【分析】⑴根据反函数的概念得了(x)=l0g3(x+l),当α=4,有MX)=IOg9(|x—4|+1),从而可得

F(x)=Iog3(ɪ+1)∙Iog9(5-x),由x∈[0,4],of#Iog3(Λ+1)>0,log3(5-x)>0,故结合基本不等

式与二次函数即可求得F(X)在X∈[0,4]上的最大值；

⑵根据/(x)<2〃(X)等价于x+l<∣x-α∣+l,即x<∣x-α∣,对“进行讨论，验证/(x)<2∕z(X)的

成立情况，从而可得函数F(X)的解析式，结合单调性确定其最小值取值情况即可。

【小问1详解】

解：因为函数/(x)的图像