直击2024年高考-高三数学高考模拟卷（新高考2卷地区）-答案解析

高三数学高（新高考2卷地区）

一、选择题（共8题，共40分）

1.（5分）复数2=高的共轨复数在复平面内所对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知集合4={2,5},B={x\ax-4=0},若BUA,则实数a的取值集合为（）

A.{2,|}B.{0,2,|}C.[0,2}D.{（J,?}

3.（5分）12名同学合影，站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,

若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.C|A1B.CiAiC.CiAlD.C/g

4.（5分）已知函数f（%）=a%-山（眇+l）（aER）为偶函数，贝Ija=（）

A」B.2C.iD.3

5.（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为%,a2a4=9,9S4=10S2,则口2+。4的

值为（）.

A.30B.10C.9D.6

6.（5分）如图，F为椭圆捻+卷一口端点渊右焦点，过尸作无轴的垂线交椭圆于点P,点4,B

分别为椭圆的右顶点和上顶点，。为坐标原点，若AOAB的面积是AOPF面积的|倍，则该椭圆的

离心率是（）

A.|或|B.1或gC.?或卑D.?或当

7.（5分）已知tana=tan（a-£）=-|,那么tan（「一2a）的值是（）

A0BTC,D噌

8.(5分)若函数〃切=。尤-111%在区间(0,可上的最小值为3,则实数a的值为()

A.e2B.2ec0.-

.ie

二、多选题(共4题，共20分)

9.(5分)如图，4c为圆锥S。底面圆。的直径，点B是圆。上异于力，C的动点，SO=OC=2,则下

列结论正确的是().

A.圆锥S。的侧面积为8或兀

B.三棱锥S-4BC体积的最大值为：

C.的取值范围是

D.若4B=BC,E为线段4B上的动点，则5E+CE的最小值为2(遮+1)

10.(5分)已知抛物线f=叙的焦点为尸，过原点。的动直线［交抛物线于另一点P,交抛物线的

准线于点Q，下列说法正确的是()

A.若。为线段PQ中点，则|PF|=2B.若|PF|=4,则|OP|=2而

C.存在直线2,使得PF±Q尸D.APR?面积的最小值为2

11.(5分)下列命题中，正确的是().

A.已知随机变量X服从二项分布BS，p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=|

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C.设随机变量f服从正态分布N(0,l),若P(f>l)=p,贝!jP(-l<f40)=T-p

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X-5(10,0.8),则当X=8时概率最大

12.(5分)设函数f(x)=-ex和g(x)=Inx-k/+(1-2k)x+|(keR),其中e是自然对数的

底数(e=2.71828…)，则下列结论正确的为().

A.f(x)的图象与x轴相切.B.存在实数k<0,使得g(x)的图象与x轴相切.

C.若上=号则方程f(x)=g(x)有唯一实数解.D.若g(x)有两个零点，贝心的取值范围为(0》

三、填空题（共4题，共20分）

13.（5分）已知向量房力满足同=1,恢+,=«,a>，的夹角为120。，则同的值

是.

14.（5分）在正四棱台上、下底面边长分别为3e、4V2,该正四棱台的外接

球的表面积为100兀，则该正四棱台的高为.

15.（5分）已知直线Z：租出+y+3m-遮=0与圆/+y2=12交于4,B两点,过A,B分别作2的

垂线与x轴交于C,。两点，若|4B|=2g,则|CD|=.

16.（5分）函数/'（>：）=2sin（a）x+/）（3>0,［如<］）的部分图象如图，A,B,C是曲线y=f（x）与

坐标轴的交点，过点C的直线y=1与曲线y=/（%）的另一交点为D.若|CD|=宗，则

阴=-

四、解答题（共6题，12小题；共70分）

17.A/IBC中，。是BC上的点，AD平分NB4C,△4B。的面积是△4DC面积的2倍.

（1）（5分）求襄.

（2）（5分）若4。=1,DC=—,求BD和AC的长.

2

18.已知数列｛an｝的前n项和为为=卓.

(1)(5分)求数列｛册｝的通项公式.

(2)(7分)令匕=(£)"：an，试问：数列｛%｝是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没

有，请说明理由.

19.中国女排曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎

实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神

对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.

（1）（5分）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主

题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得

到如下表格：

月份r12345

体■超重的人数MOMO420300200

若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量久依次为1,2,3,4,5,…，12）具有线性相关

关系，请预测从第几月份开始该大学学生体重超重的人数降至10人以下.

附1：回归方程j=晨+:中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

A九—71/—/

,_%少_＞上式/一君（英一文）AA

''一密一器式修国2；a=y-bx-

x22222

附2：参考数据：£乙5％=5180,^=1i=I+2+3+4+5=55.

（2）（7分）在某次排球训练课上，球恰由a队员控制，此后排球仅在a队员、B队员和c队员三人

中传递，已知每当球由a队员控制时，传给B队员的概率为|,传给c队员的概率为会每当球由B队

员控制时，传给a队员的概率为：，传给c队员的概率为点每当球由c队员控制时，传给a队员的概

率为I，传给B队员的概率为号记an,bn,%为经过践次传球后球分别由4队员、B队员、C队员控制

的概率.

①若71=3,记B队员控制球的次数为X,求E（X）；

②若an=|bn-i+|cn-i，bn=|即_1cn=\an_r+|bn-i＞几＞2,n6N*.证明：数

列｛与-|｝为等比数列，并判断经过200次传球后a队员控制球的概率与:的大小.

20.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是矩形，PD1平面4BCD,M是棱PC的中点，点N在棱

PB上，且MN±PB.

(1)(6分)求证：P4〃平面BMD.

(2)(6分)若4。=28,直线PC与平面4BCD所成的角为6”‘，求平面DMN与平面P4D所成的

锐二面角的余弦值.

21.已知双曲线C：］—1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右顶点分别为4,B,且它们到渐

a2bz

近线的距离为坦

2

(1)(5分)求C的方程.

(2)(7分)设点P,Q在C的右支上，直线4P,BQ在y轴上的截距之比为1:3,求证：直线PQ过

定点.

22.已知函数/(%)=x2—2%+alnx(a>0).

(1)(5分)当a=2时，试求函数f(%)在点(Lf(D)处的切线方程.

(2)(7分)若函数/(%)有两个极值点%1，%2(%1<%2)，且不等式/(%1)>馆%2恒成立，试求实

数m的取值范围.

参考答案

一、单选题(共8题，共40分)

1【答案】D

i+22,1.

【解析】2=点=-+-1,

(l+2i)(l-2i)555

-21.

Z=——

5

对应点为J,在第四象限.

故选：D.

2【答案】B

【解析】当。=0时，8={%]—4=0}=0,满足BG/；

当aH0时,B=[x\ax-4=0}={t},

因为B5,所以；2或;=5,解得a=2或a=%

综上所述，实数a的取值集合为{0,2,目，

故选：B.

3【答案】C

【解析】解：解决本题可分两个步骤：第一步，从后排8人中抽取2人，有髭种方法；

第二步，前排6人的排列.因为原来前排的4人顺序不变，所以有第=A乳种)方法

(或者第二步是从前排的6个位置中选2个位置让抽出来的2人排好，剩余的4人按原顺序排好，有A1

种方法).

根据分步乘法计数原理得共有禺A煮种方法.故选C.

4【答案】C

【解析】解：方法一：定义法：由/'(一x)=f(x)得，-ax-In(^7^)=ax-ln(ex+1),

ln(e%+1)—In=2ax,

Spinex=2ax,x=2ax,a=|,故选C.

方法二：特值法：f(-l)=f(l)得，一a-In(詈)=a-ln(e+1),l=2a,则a=}

故选：C.

5【答案】B

【解析】由数列{%}是各项均为正数的等比数列，得的＞0,q〉0,

•ct^—a2a4=9,

•・(Z3-3,

a

X*•*9S4=IOS2，即9(%+「2++4)=1031+。2)，

化简得9(。3+。4)=%+。2，

.谭鲁=q2.解得q/

故+a4=^-+a3q=10.

故选B.

6【答案】D

【解析】解：设P(c,y0),则真+普=1,可得网「?).

S^OAB=3ab’S^opF--c•—f

•••△。48的面积是^OPF面积的|倍，

•••ab=--—,=>2a2=5力。，

2a

故选：D.

7【答案】B

【解析】解：由题意可得taM"6)=黑黑=溜=一|

可得tanS=l，

o

a

又有tan2a=2tan4

l-tan2a3

所以代入得tan(0-2a)=-^

8【答案】A

【解析】解：,."(%)=ax-lnx(x>0),

f(%)=0一!=(%>0),

①a40时，f'(%)<0，

则f(%)在(0,e］上为减函数,

此时f(%)7n讥=/(e)=ae—1=3,

解得a=3>0(舍去)，

e

②a>0时，当0<x<(时，尸(生)<0，

/■(无)在(0,£)上为减函数，

当光》即寸,-(%)>0)

/'(X)在［，,+8)上为增函数.

.,.当0<(《e时，即a》1时，

x=(为/(尤)在(0,e］上的极小值点也是最小值点,

且最小值为f0=1-In：=3,

2

解得a=e,

当工＞e时，即a＜

ae

此时f(x)在(0,e]上为减函数，

=/(e)=ae-1=3,

解得a=±＞工(舍去)，

ee

综上所述：a=e2,

故选：A.

二、多选题(共4题，共20分)

9【答案】BD

【解析】A选项：在Rt/kSOC中，

'：S0=0C=2,

.,.SC=2V2,

则圆锥S。的侧面积为S=[x2兀x2x2e=4或兀，故A错误；B选项：当B位于衣中点时，4ABe

面积取最大值，为|x2x2=2,

此时三棱锥S-4BC体积的最大值为?X4X2="故B正确；C选项：当B与C趋于重合时，ZSAB

趋于不当B与2趋于重合时，乙4sB趋于0,/S4B趋于今

.../548的取值范围是(%{),故C错误；D选项：若4B=BC,以48为轴把平面S4B旋转至与平面

ABC重合，连接SC,交4B于E,

则/SBC=150。，在ASBC中，SB=BC=242,由余弦定理可得，SC=

J(2加)2+(2V2)2-2x2V2x2V2xcos150°

=Js+8-2x2V2x2V2X(-y)

=2(V3+1),

即5E+CE的最小值为2(g+1),故D正确.故选BD.

10【答案】AD

【解析】抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点”1,0),

若。为PQ的中点，所以如=1,所以|PF|=埠+1=2,故A正确；

若|尸产|=4,则埠=4-1=3,

所以10P|=JXp+yp=J好+44=V21,故B错误；

设P(Q2,2a),则Q(—1,—g,

所以讨=(a2—1,2a)，QF—

所以不•^=2小-2+4=2M+2>0，

所以FP与FQ不垂直，故C错误；

S^PFQ=1,1。尸|•|yp-'QI=[x1x|2a+^|=|a|+j^j>2,

当且仅当㈤=2，即。=±1时，取等号，

所以△PFQ面积的最小值为2,故D正确.

故选：BD.

11【答案】BCD

【解析】A选项：由题意可得:

(np=30

[np(l-p)=20，

两式相比可得：1一。号，故p=?，故A错误；B选项：由。(aX+b)=可知当a=1时,

D(X+b)=D(X),故B正确；C选项：由f~N(0,l)可知P&40)=],且P(f<—l)=P(f>l)=p,

<e<0)=<0)-<-1)=I-p,故C正确；D选项：=

Zr(人一/VT±)

klo-k

c5foO.8O.2_k+1

CfJ10.8k+10.29-fc-4(10—k)，

P(X=k)_味)。8匕0.210T_4(ll-k)

P(X=/c-l)-C^Q10.8k-10.211-k-k，

又kwz,故k=8,故当X=8时，概率最大，故D正确.故选BCD.

12【答案】ACD

【解析】/(%)=ex-ex,则/(%)=e元一e，

g(%)=Inx—kx2+(1—2k)x+1,

则g'(%)=—2收2+(?—1)A1=_(2kx-l)(x+l)>0).

易知％=1是/(%)的极小值点，且/(1)=0,所以f(%)的图象与%轴相切，故选项A正确；

显然当kvo时，Q(%)>0，g(%)无极值点，则g(x)的图象与%轴不可能相切，故选项B错误；

易知函数fO)的最小值f⑴=e1-ex1=0,当k=泄，

则函数g(%)的最大值g点)=g(l)=lnl-1+^l-2x0xi+|=o,因此方程/(%)=g(%)有唯一

解％=1,故选项C正确；

(解法一)易知当々>0时，］=/是g(%)的极大值点，

若函数g(%)有两个零点，则须有g(点)>0,

即In2一々(媒)+(1-2/c)+1>0,

化简得2-1>ln(2fc),不难解得0<fc<1,

当x->0+时，g(x)->—°0,

显然当0<k<；时，有表〉表,

又g偿)=］哈i偌)2+(1-2幻**+统*_1_a+5一声；_a+看=_;

当(2一目―《+J

当0<k(/寸，g位)<。,故选项D正确；

(解法二)g(x)有两个零点qInx—kx2+(1—2k)x+-=0<=>lnx+^=kx+2k—1=—+—=

2XX2x

kx+2k—1,

构造函数a(%)=乎+/和〃(%)=kx+2k—1,

则〃'(%)=胃下易知％=粕是〃(x)的极大值点，极大值以证)=嘉,

函数u(%)=kx+2k—1的图象是过定点(—2,—1)的直线，

直线y+1=k(x+2)与函数a(%)的图象相交于点(%o，a(%o)),

则aGo)=噜9，

尢0十N

lnx1

则l-21n%o_%o02尢0

2XQX0+2

=2—2XQ=(4+4x0)lnx0

<=>1—x0=21nXQ

XQ=1,

则…，⑴二号.

则k的取值范围为(0,：),故选项D正确.

综上所述，选项ACD正确.

三、填空题(共4题，共20分)

13【答案】3

【解析】(2a+力=4a2+4a-b+h2

=4|a|+4向.同cosRb)+同，

即|2a+b[=4+4•何•(-3)+何=7'

即阿2_2阿—3=0，

解得阿=3或同=—1(舍).

故答案为：3.

14【答案】1或7

【解析】设正四棱台的外接球的半径为R,则4兀/?2=io。兀，解得R=5,

连接AC,8。相交于点E,连接46，B/i相交于点F,连接EF,

则球心。在直线EF上，连接。B,0B「

如图1所示，当球心。在线段EF上时，

图1

OB=0B1=R=5,

因为上、下底面边长分别为3鱼、4V2,

所以BE=4,BrF=3,

由勾股定理得。尸=JOB/—少尸2=%OE=>JOB2-BE2=3,

此时该正四棱台的高为3+4=7.

如图2所示，当球心。在FE的延长线上时，

I)

同理可知。5=J困一B/2=4,0E=y/OB2-BE2=3,

此时该正四棱台的高为4-3=1.

故答案为：1或7.

15【答案】4

【解析】解：由题意知，MB|=2g,••・圆心到直线的距离d=3,

.|3m-V3|_

,,一，

•••m=--V-3，

3

•••直线Z的倾斜角为30a.

•••过a,B分别作［的垂线与无轴交于c,。两点，

••・£。1=等=4.

T

故答案为：4.

16【答案】2兀

【解析】由题设，y=/(x)的图象过点(0,1),g,2),

(2sin0=1(sin(p=-

则(sin管+,)=2，即［sin然+@)=1'

又切<或则中=?，

।/6i)7T37r7T7T•-»ii_t1„

故丁+<^=—+7=7+2k兀且keZ,

即3=1+6%,Zc6Z,

显然;>各则T>差，

433

故里〉?且3>0,可得0<3<|,

综上所述，当k=0时，3=1E(0(),

故f(%)=2sin(%+£)，故|4B|=T=27r.

因此正确答案为：27r.

四、解答题(共6题，12小题；共70分)

17(1)【答案】

【解析】方法一：由正弦定理得

AD_BDAD_DC

sinBsinZBAD'sinCsinZCAD'

因为△48。的面积是44DC面积的2倍,

所以=2DC,

由于40平分/B4C,

所以等=器=£方法二:

平分/B4C.

.sinB_AC_CD_S^ACD

sinCABBDt^ABD

_1

-2,

17(2)【答案】BD=a,AC=1.

【解析】方法一：设/力。3=0,则/4DC=TT-0,

由⑴知冷泻，

所以c=2b,

因为CD=辿，所以BD=&.

2

2

在△4CD中,炉=1+停)—2x1xCOS(TT-0)=|+V2cos6>

在AABD中，C2=1+2-2X1xV2cos0=3—2岳os。，

解得b=1,即AC=1.方法二：易知BD=2CD=或.

设4C=x,贝！j4B=24C=2x,

在△4RD中，cosNADB=产’=

2XV2X12V2

l+l_x23_X2

在△AC。中，cosZADC==^=-

_3-2%2

-2V2・

VZADB+ZADC=TT,

**•cosZADB+cosZADC=0,

・3-4x23-2x2_

1•^VT+^VF=n0,

*.AC=1.

18(1)【答案】an=n+L

【解析】•••数列｛时｝的前n项和为%=亨，

・•・当n》2时，册=S…=手—(nT)；3(n-i)=n+1.

；%=Si=।=2适合上式，

故斯=n+1.

18(2)【答案】数列｛0｝有最大项，第8、9项最大

［解析］•••bn=舄)"1•即=("1•(九+1),

/9\n-1/9\n~2

……(-)•5+1)-(诬)f

卡厂片会一w

=(2产士.

V10710

..q8

.♦.当n=9时，b8=既=市；

当n>9时，bn-<0,数列递减；

当n<8时,bn-bn^>0,数列递增.

数列｛bn｝有最大项，最大项为为==表.

19(1)【答案】7月份.

【解析】设超重人数y与月份变量”的线性回归方程为，=bx+a

>..%—=-1-+-2--+-3-+--4-+-5-=3-,

5

—640+540+420+300+200

y=---------------=420,

.1：2：=1"”一5双

b

「y5x?-5%2

-i=]

_5180-5x3x420

=55-5x9

-1120

10

=-112,

a=y—bx

=420-(-112)x3

=756,

・・y=-112%+756,

令，<10，•'•112%>746,

・、746a”

..%>—~6.66,

112

•••从第7月份开始该大学学生体重超重人数降至10人以下.

19(2)【答案】①白

lo

②证明见解析，大于|.

【解析】①由题意知X可取0,1,2,

若X=0,则只能是

.-.P(X=0)=ix|x1=i

若X=2,则只能是a-BT4TB或arB-C-B,

..P(X=c2、)=-1x-2x-1+,-1x-1x-1=-2

1911

AP(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-1

・・・E(X)=0x1i+lx1-1+2x-2=-19.

k7618918

②由题意可知的=0,fol=pQ=1,

当n》2时，有

22

an+l

2112/I1

O(^an-l+»%—1)+o(^an-l+

3O\乙D/O3\乙2«3J

21/22

=2an-l+2V3bn-1+2Cn-1

_21

=3an-l+,%!，

・_1_£_,2

,,^n+1十g一。九十g。九一1，

，可知％+九一1为常数，

又奥=-b+-c=-+-=-

z3131333

22

.•"2+-C11=-,

・.2_2

・・%1+-^n-l=F

2号(——§，且2

55

・・・{M—才是首项为一|，公比为号的等比数歹U，

22/2\n-1

—=-------I-----I

55V3/

199

・22/2\2,21999

=+X

・"00=]J55>

(1)5

经过200次传球后a队员控制球的概率大于|.

20(1)【答案】证明见解析.

【解析】如图，连接4C交BD于点。，连接0M,

因为四边形48CD是矩形，所以4。=0C,

又因为PM=MC,所以。M〃PA,

又因为P4C平面BMD,OMu平面BMD,

所以P4〃平面BMD.

20(2)【答案】叵.

7

【解析】由已知得DC,DP两两垂直，以点。为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

因为PD1平面ABC。，

所以NPCD就是直线PC与平面4BCD所成的角，

所以r(,l>I，I,故。P=V3£»C,

设CD=1,则。(0,0,0),C(O,1,O),P(0,0,V3),B(2,l,0),

务

于是加=(0彳片)，DP=(0,0,V3),PB=(2,1,-V3).

设同=APB>

则加=DP+APB=(2A,A,V3-V3A)>

MN=DN-DM=(2A,A-|,y-V3A),

由MN1PB,得加.港=0,

即42+a——Vs—V5a)=o,解得a=

所以加=&;,¥).

设平面DMN的法向量为益=(x,y,z)，

则何回=o,即，y+r=：,

Im-DN=01-x+-y4-—z=0

124Z4

令Z=-1,得租=(g,旧,—1),

又平面PDA的一个法向量为］=(0,1,0)，

所以3〈薪的=萧会=蒋=今

所以平面。MN与平面P4D所成的锐二面角的余弦值为手.

21(1)【答案】/一?=1

【解析】双曲线一条渐近线方程为人-ay=0,4(-a,0),B(a,0),

尸

由题意得《防=宜,

7a2+b22

U2+b2=c2

解得忆S

二双曲线C的方程为——9=1.

21(2)【答案】见解析

【解析】设4P,BQ与y轴分别交于M,N,4(—1,0),5(1,0),

设M（0,y。），

•••N（0,3y（））,

•••kAP=kAM=~=y()9kBQ=kBN=_3y0,

*,•々BQ=-3kpA，

设P(%21)，

则有人.%=弋./=隹=1=3,

Xi+1%]-1x^-1M

3

•••kpQ•kBP=--kBQ=-9,

kPA弋

设直线PQ的方程为％=my+t,Q(%2，y2)，

由